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Man kann den Wert auch so ermitteln:
Die Startzahl einer Reihe ist n * (n-1)+1. Innerhalb der Reihe gibt es n Zahlen, die sich (von links nach rechts) durch jeweiliges Addieren von 2 ergeben. Damit lässt sich die Summe einer Reihe darstellen als
Summe_Reihe = (n * (n-1) + 1) * n + (0+2+4+6...)
wobei die Anzahl der Summanden in der letzten Klammer n ist.
Das lässt sich umformen zu
Summe_Reihe = (n² - n + 1) * n + 2 * (1+2+3+...)
wobei die Anzahl der Summanden in der letzten Klammer n-1 ist.
Weiter ausgerechnet ergibt sich
Summe_Reihe = n³ - n² + n + 2 * (n-1)*n/2
und somit
Summe_Reihe = n³
als Ergebnis.

Es hat mal ein Mathematiker in einem langweiligen Vortrag sein Kästchenpapier mit Zahlen so angeordnet dass in der Mitte die 1 und dann als Spirale um diese 1 die anderen natürlichen Zahlen bis zum Blattrand gefüllt waren. Dann hat er darin die Primzahlen markiert, die um diese 1 eine Häuffigkeit hatten und sich zum Rand hin verdünnt haben. Aber überraschenderweise eher "strahlenförmig"

Das Bild, das ich gesehen habe, ähnelte in Form und Verteilung diesen 2 Lagen Graphen die um 1,04 (weiss nicht mehr genau) Grad verdreht aufeinander lagen und man die Anordnung der Kohlenstoffmoleküle markierte, die oben / unten direkten Kontakt hatten

Wenn man in 2 Lagen zurückdenkt: Welche 2 Lagen Raum berühren sich in den Primzahlen und in welchem Winkel sind die Ebenen verdreht und ist die eine Ebene wie Graphen im 6-Eck angeordnet.

Es soll ja auch mathematische "Zufälle" geben aber das beschäftigt mich halt schon ne Weile (Bin aber Gärtner, es beschäftigt mich von der optischen Seite).

Helmut Freidhöfer

Durch die Quersummenregel sieht man das schneller.

Ki sollte als das stilisiert werden, was es ist : Technik. Wer sein selbst sucht , sollte besser zu Jesus gehen. Er verwöhnte uns mit Gott dem Schöpfer, sodass wir wieder unserer eigentliche Identität als gegenüber und Gottes Kinder sein können. Das ist unsere Selbst unsere Identität!

Bei den geometrischen Rätseln bin ich immer sehr gefordert – ich rechne und rechne, komme dann auch zum richtigen Ergebnis, und dann schaue ich mir die Lösung an und habe das große Aha-Erlebnis (z. B. hier: "Ah, ich hätte es nur um 45° drehen müssen!"). Diesmal habe ich mir mit dem Satz des Pythagoras zuerst das Seitenverhältnis des Achtecks zum großen Quadrat (Wurzel(2) - 1) und dann, basierend darauf, das Seitenverhältnis des kleinen Quadrats zum großen Quadrat (1/Wurzel(2)) ausgerechnet.
Jedenfalls bei dieser Gelegenheit auch mal allgemein ein großes Dankeschön für die vielen tollen Rätsel!

Folgender bekannte Zusammenhang besteht zwischen e und π :

e^(iπ) = -1

ich lese Ihre Kolumne immer wieder mit großem Interesse. Und Überschlagsrechnungen, eine leider immer weniger geübte Kunst, zu erleichtern ist ein sicher lohnendes Ziel, auch wenn man dazu mal zufällige Näherungen heranziehen muss. Aber mit zunehmendem Alter fange ich an, mit meinem Merkvermögen hauszuhalten bzw. deren Verlässlichkeit zu misstrauen. Also können Sie mir mal einen Tipp geben, in welchem Zusammenhang man die beiden Potenzen von Pi benötigt? Und lohnt es, sich den Bruch zu merken, oder wäre es da nicht einfacher, sich gleich das Resultat mit sagen wir 13 Stellen hinter dem Komma zu merken? Man kommt dann auch mit 4 verwendeten Ziffern aus und das Muster ist fast einfacher, finde ich zumindest.

:-)

Viele Grüße
Herbert Schalke

Hier habe ich exp(pi × i) = -1 erwartet

Kleine Ergänzung: Dass e^(pi sqrt(163)) bis auf 13. Stelle hinter dem Komma mit einer ganzen Zahl übereinstimmt, wird gemeinhin NICHT für Zufall gehalten.

https://math.stackexchange.com/questions/4544/why-is-e-pi-sqrt163-almost-an-integer

Wie wäre es mit Klammern? X/(x+1)?

... bzgl. des Gefangenenproblems.

Wenn sich beide Parteien gegenseitig bezichtigen, dann müssen beide eine korrekte Note bekommen.
Zitat:

ihr sagt mir, wer abgeguckt hat

Da gibt's viele Optionen;
beide sagen; "die war's" -> korrekte Note
beide sagen; "ich war's" -> korrekte Note
beide sagen; "ich weiss nicht mehr" -> s.o. usw.
Ein Lehrer, der seine Schülis bedroht UND gegeneinander auszuspielen versucht, sollte sich imho einen anderen Job suchen.

Option D: einzeln nachschreiben lassen ist die einzige Möglichkeit, die der Lehrer hat, alles andere ist Willkür.

Die Gefangenendilemma hat weder einen moralischen oder einen mathematischen Wert.
Ich hatte auch selbst die Dilemma damals in der Grundschule mit meinem Mitschüler erlebt.
Wir hatten dem Lehrer verbitten sowas uns zu unterstellen.
Wir verteidigten uns und sagten: Wir hatten es nicht abgeguckt. Und werden den Eltern es sagen, dass der Lehrer zwingt uns sowas tun, was der Schulaufgabe nicht gehört.
Wir bekamen beide 1.
Es ist die vierte Stratege und ohne Dilemma.
Heute kann ich sagen: Solche Lehrer gehören der Schule gar nicht.
Also moralisch ist diese Dilemma Aufgabe ein Nichts. Eine Spinnerei von bestimmten Mathematikern.

Mathematisch, mit der Logik:
Ein Egoist wird mit 4 gar nicht zu Frieden sein. Er strebt nach 1. Aber er weiß, mit dem Verraten wird nicht die 1 erhalten, denn der andere will auch die 1. Er ist schlicht gezwungen zu kooperieren und wird schweigen.
Der andere kommt auch zu dieser Schlußfolgerung und schweigt auch.
So bekommen die beiden die 3.
Ob wie viel mal wird es iteriert, hat dann wohl mit Dilemma nicht zu tun.
Es ist wiederum eine Spinnerei.
Nun für mich hat diese Aufgabe keinen mathematischen Wert.

Es scheint, bestimmte Mathematiker haben enorm Langeweile, um solche Aufgabe auszugrübeln, wohl damit die Fachwelt zu verblüffen.

Ohne Kenntnisse über Topologie, Aussagenlogik, Schaltalgebra,
Heyting-algebra und Wahrheitstafel

Wirst du mir nicht folgen - wollen.
Eine passive Verschränkung - wenn nicht *A* dann nicht *B*
- wenn nicht *B* dann nicht *A*

Beispiel : wenn nicht A ( du kannst nicht 6 Zahlen von 1 bis 24) tippen
Lotto : dann nicht B ( du kannst nicht 6 Zahlen von 26 bis 49) tippen
Das ist auch aus Symmetrischen Gründen ersichtlich.

Jetzt kommt der Beweis dafür

Wenn nicht *B* ( du kannst keine 5 Zahlen von 30 bis 49) tippen
Dann nicht *A* ( du kannst keine 5 Zahlen von 1 bis 20) tippen.

Und jetzt liebe Mitarbeiter ( Spektrum der Wissenschaft) finde
einen mathematischen Beweis, warum du oder wer auch immer
Keine 6 Zahlen von 1 bis 20 tippen kannst.

In der Physik gibt es auch eine - passive Verschränkung -
das ist ein anderes Thema.

Die physikalische Wirklichkeit ist ein großes, phantastisches Wunder. Dem kann ich Warkus Welt nur zustimmen. Aber den Geist, die Seele ebenfalls mit Atomen beschreiben zu wollen ist mir zu kurz gegriffen, da, so denke und fühle ich etwas größeres. Die Atome schenken uns Körper und Materie, der freie Geist schenkt uns den Willen mit diesen Elementen frei zu gestalten. Alles ist eher Kunst.
www.bild-werke.de

Hallo Herr Hemme,

wenn ich die beiden Lösungen nachrechne bekomme ich in beiden Fällen 45 und nicht 43 heraus. Habe ich was übersehen?
Hier meine Rechnung
(5! + 5!)/5 – 5 = 43
(125 + 125) / 5 - 5 = 43
250 / 5 - 5 = 43
50 - 5 = 45 und nicht 43.