Beim Spiel auf Ebene 0 bestimmen zwei Faktoren, welcher Spieler gewinnt: ob im Staupunkt die Anzahl der Ketten im Gitter ungerade oder gerade ist, und wer in diesem Moment am Zug ist. Wenn im Staupunkt eine gerade Anzahl von Ketten vorliegt, gewinnt der Spieler, der die erste Kette öffnet, denn er gibt in jedem Zug eine Kette weg, die kürzer ist als diejenige, die er im Gegenzug erhält. Er verliert dagegen, wenn die Anzahl der Ketten beim Staupunkt ungerade ist, denn sein Gegner wird den letzten Zug im Spiel machen. Deshalb gewinnt in dem Beispiel Bertha gegen Arthur: Die Anzahl der Ketten ist ungerade, und Arthur muss die erste Kette öffnen.

Warum trifft dieses Schicksal gerade Arthur? Weil bis zum Staupunkt eine gerade Anzahl von Zügen vergangen ist. Arthur muss also danach trachten, dass die Anzahl der Züge bis zum Staupunkt und die Anzahl der bis dahin entstandenen Ketten beide gerade oder beide ungerade sind. Im ersten Fall freut er sich darüber, dass er die erste Kette eröffnen darf, in zweiten, dass er es nicht muss. Bertha dagegen muss zusehen, dass eine dieser Zahlen ungerade und die andere gerade ist. Durch sorgfältige Analyse der Stellung einige Züge vor dem Staupunkt gelingt es häufig einem der Spieler, dieses Ziel zu erreichen. Ich nenne diese Strategie ein Spiel auf Ebene 1.

Aber was ist, wenn die Strategie der Ebene 1 versagt? Angenommen, Arthur gerät trotz größter Anstrengungen in die ungünstige Situation nach dem 12. Zug des Beispielspieles. Es stellt sich heraus, dass er dann immer noch gewinnen kann, und zwar indem er der Strategie auf Ebene 2 folgt. In seinem 13. Zug öffnet er die Kette mit zwei Kästchen. In ihrem nächsten Zug heimst Bertha die beiden Kästchen ein und öffnet die Kette mit drei Kästchen. Im 15. Zug aber verzichtet Arthur darauf, alle drei Kästchen dieser Kette zu nehmen. Statt dessen nimmt er nur ein Kästchen und zieht dann eine Linie am unteren Rand des Gitters, sodass ein geschlossenes 2´1-Rechteck entsteht, ein "Domino".

Einen solchen Zug nenne ich einen "Kuhhandel". Arthur verzichtet auf zwei Kästchen in der Dreierkette, aber er bringt Bertha dadurch in eine üble Lage. Wenn sie nämlich im 16. Zug eine Linie in der Mitte des Dominos zieht, gewinnt sie zwar die zwei Kästchen. Aber sie muss dann noch eine Linie ziehen und damit die Viererkette öffnen. Arthur bekommt die vier Kästchen und gewinnt mit 5 gegen 4. Wenn aber Bertha auf die zwei Kästchen des Dominos verzichtet, sieht es für sie noch schlimmer aus. Jeder andere Zug öffnet die Viererkette. Arthur nimmt sie und den Domino dazu und gewinnt mit 7 gegen 2 Kästchen. Bertha hat in dem Moment verloren, in dem Arthur den Kuhhandel macht, denn dann ist nur noch eine Kette auf dem Brett übrig. Aber was ist, wenn noch mehrere Ketten da sind? Kann Bertha Terrain zurückgewinnen, indem sie selbst einen Kuhhandel anbietet?

Die Antwort lautet: Nicht immer. Das Bild oben zeigt ein 6´6-Gitter mit zwei Dominos und vier Ketten. Wenn Bertha am Zug ist, kann sie ohne Nachteil die beiden Dominos nehmen. (Das sollte sie auch, denn wenn sie die Dominos stehen lässt, kann Arthur sie in seinem nächsten Zug mitnehmen, ohne seine Position zu verschlechtern.) Dann öffnet Bertha die kürzeste Kette. Da die Anzahl der Ketten gerade ist, glaubt sie mit der Strategie auf Ebene 0 gewinnen zu können. Aber Arthur macht einen Kuhhandel, nimmt nur zwei Kästchen der Viererkette und hinterlässt einen Domino. Bertha muss den Domino nehmen und die Fünferkette öffnen. Wieder bietet Arthur einen Kuhhandel an, nimmt nur drei der fünf Kästchen und hinterlässt Bertha einen weiteren Domino. Solange die Ketten aus fünf oder mehr Kästchen bestehen, liegt Arthur auf diese Weise immer vorn.

In diesem Fall kontrolliert Arthur das Spiel, weil er Bertha zwingen kann, immer neue Ketten zu öffnen. Eine gute Strategie für Käsekästchen wäre also, die Kontrolle zu erlangen und sie zu behalten, indem man stets auf die letzten beiden Kästchen einer Kette verzichtet. (Außer wenn es nur noch eine Kette gibt, natürlich.) Das ist das Spiel auf Ebene 3.

Aber wie gewinnt man die Kontrolle? Mit der Strategie auf Ebene 4, die sich folgendermaßen beschreiben lässt:
– Arthur versucht zu erreichen, dass die Summe aus der Gesamtzahl der Gitterpunkte und der Anzahl der langen Ketten (jenen mit drei oder mehr Kästchen) beim Staupunkt gerade ist.
– Bertha versucht zu erreichen, dass diese Summe ungerade ist.
Das klingt schon nach einer sehr komplizierten Strategie, aber bislang haben wir erst Seite 7 von 86 Seiten Strategieerklärung in Berlekamps Buch erreicht. Käsekästchen ist ein derart trickreiches Spiel, dass eine vollständige Gewinnstrategie unbekannt ist. Berlekamp hält es für das "mathematisch reichhaltigste populäre Kinderspiel der Welt", und zwar mit großem Abstand.

Literaturhinweise


The Dots-and-Boxes Game. Sophisticated Child‘s Play. Von Elwyn Berlekamp. A. K. Peters, Natick (Massachusetts) 2000.

Gewinnen. Strategien für mathematische Spiele. Band 3: Fallstudien. Von Elwyn Berlekamp, John H. Conway und Richard K. Guy. Vieweg, Braunschweig 1986.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 5 / 2003, Seite 114
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