Matrizennorm, eine Norm auf dem \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum \(M(m\times n,{\mathbb{K}})\) aller (m × n)-Matrizen über dem Körper \({\mathbb{K}}\) (\({\mathbb{K}}\) gleich ℝ oder ℂ).

Alle Matrixnormen auf \(M(m\times n,{\mathbb{K}})\) sind äquivalent; Konvergenz einer Matrizenfolge bzgl. irgend einer gegebenen Matrixnorm ist gleichbedeutend mit elementweiser Konvergenz.

Die gebräuchlichste Norm auf M(n × n, ℝ) ist bezüglich einer gegebenen Norm ||⋅|| auf ℝⁿ gegeben durch: \begin{eqnarray}{\Vert A\Vert }_{l}:=\mathop{\sup }\limits_{\Vert x\Vert =1}\Vert Ax\Vert =\mathop{\sup }\limits_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert Ax\Vert =\mathop{\sup }\limits_{x\ne 0}\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert };\end{eqnarray} man nennt diese Norm meist Abbildungsnorm oder Grenznorm.

Erfüllt eine Matrixnorm die Relation \begin{eqnarray}\Vert A\text{}B\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert, \end{eqnarray} so nennt man sie submultiplikativ. Beispielsweise ist die Grenznorm submultiplikativ, jedoch ist nicht jede Matrixnorm submultiplikativ.

\(M(n\times n,{\mathbb{K}})\) bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation (A₁, A₂) ↦ A₁A₂ eine assoziative \({\mathbb{K}}\)-Algebra. Eine Matrixnorm macht \(M(n\times n,{\mathbb{K}})\) zu einer Banachalgebra, d. h. zu einer Algebra, die als normierter Raum vollständig ist.

Die Grenznorm ist die kleinste aller mit einer gegebenen Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Dabei heißt eine auf dem Vektorraum Matrixnorm ||⋅|| verträglich mit der Norm ||⋅||_n auf \({{\mathbb{K}}}^{n}\), falls für alle \(x\in {{\mathbb{K}}}^{n}\) und alle \(A\in M(m\times n,{\mathbb{K}})\) gilt: \begin{eqnarray}\Vert Ax\Vert \le \Vert A\Vert {\Vert x\Vert }_{n}.\end{eqnarray}

Mit einer submultiplikativen Matrixnorm ||⋅|| läßt sich der Spektralradius ϱ(A) einer Matrix A berechnen durch \begin{eqnarray}\varrho (A)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\Vert {A}^{n}\Vert }^{\frac{1}{n}}.\end{eqnarray}