Drunt'n in der grünen Au steht ein Birnbaum, trägt Laub, juchhe.

Was wächst an dem Baum? Ein wunderschöner Ast! Ast auf'm Baum, Baum in der Au.

Was ist an dem Ast? Ein wunderschöner Zweig. Zweig am Ast, Ast am Baum, Baum in der Au.

Was ist an dem Zweig? Ein wunderschönes Blatt. Blatt am Zweig, ...

Was ist bei dem Blatt? Ein wunderschönes Nest. Nest beim Blatt, ...

Was ist in dem Nest? Ein wunderschönes Ei. Ei im Nest, ...

Was ist in dem Ei? Ein wunderschöner Vogel. Vogel im Ei, ...

Was hat denn der Vogel? Eine wunderschöne Feder. Feder am Vogel, ...

Was wird aus der Feder? Ein wunderschönes Bett. Bett aus der Feder, ...

Wer liegt in dem Bett? Ein wunderschöner Bub. Bub im Bett, ...

Wer liegt noch im Bett? Ein wunderschönes Mädel. Mädel im Bett, ...

Und was machen die zwei? Ein wunderschönes Kind. Kind von den zwei'n, ...

Und was wird aus dem Kind? Ein wunderschöner Bauer. Bauer aus dem Kind, ...

Und was macht der Bauer? Er pflanzt einen Birnbaum ...


Mündlich überliefert.

Aufgezeichnet in "Das kleine dicke Liederbuch",

herausgegeben von Heide Buhmann und Hanspeter Haeseler.

Die Sänger und die Gitarristin machten einen Moment Pause. Man hörte wieder den heftigen Regen gegen die Scheiben klatschen, und meine Freunde atmeten erleichtert auf. "Wunderschön. Nichts gegen das klassische Volkslied", sagte Oliver nach einem tiefen Schluck Bier. "Aber in einer Kneipe finde ich es am schönsten, wenn es aufhört."

"Ich höre denen gern zu", widersprach Deirdre. "Durch die Lieder sieht man Altbekanntes in einem neuen Licht."

"Wieso?"

"Na ja, der Zweig und der Ast und der Baum... Man wird sich bewußt, wie kompliziert Bäume eigentlich sind. Und daß Teile genauso aussehen wie das Ganze, nur eben kleiner."

"Selbstähnlichkeit", bemerkte ich. "Fraktale Geometrie. ,Daß dieser Wurm an Würmern litt, die wiederum an Würmern litten...' Daher Bonsai."

Meine Gedankensprünge bringen meine Freunde nicht mehr aus der Fassung. "Die japanischen Miniaturbäume?"

"Ja, die. Es könnte sie nicht geben, wenn es keine skaleninva..."

Es hatte plötzlich laut und vernehmlich "pling" gemacht. Und noch einmal, als wir uns gerade umschauten, woher das Geräusch kam.

"Das ist dein Bier", sagte Deirdre.

"Bier macht nicht ,pling'", widersprach Olly.

"Deines wohl. In das Glas fallen Regentropfen von der Decke. Das Dach muß ein Loch haben."

Noch nie habe ich Olly sich so schnell bewegen sehen. Er rettete heroisch sein Bierglas und deklamierte mit dramatischem Unterton: "Verwässerung. Ich werde den Wirt verklagen."

Olly hatte manchmal solche Anfälle. Wir anderen beobachteten fasziniert, wie weitere Tropfen auf den Tisch platschten und in alle Richtungen zerspritzten.

"Ich verstehe nicht, was euch so fesselt", bemerkte Deirdre.

Oliver begann sich inzwischen auch für das Geschehen in der kleinen Pfütze zu interessieren. "Ich versuche zu sehen – nein, es geht zu schnell. Kein Wunder, daß sich jeder darüber irrt."

"Worüber irrt?"

Oliver fing auf einmal an zu deklamieren. "Still erglänzt im Aug die Träne... Deirdre, diese Volkslieder lassen dich doch alltägliche Dinge in einem neuen Licht sehen – hast du gesagt. Welche Form hat eine Träne – oder ein Regentropfen?"

Sie dachte einen Augenblick nach. "Tränenform, natürlich."

Er schob ihr einen Stift und eine Serviette zu. "Mal mal." Sie zeichnete einen runden Fleck mit rundem Kopf mit aufwärts zeigender Spitze (Bild 1).

Olly schaute das Bild an. "Wie kommst du darauf?"

"Na ja, so sehen sie doch aus. Klassische Tränenform."

"Bist du sicher?" Ein weiterer Tropfen platschte auf den Tisch. "Hast du die Form gesehen, als er vorbeiflog?"

"Nein. Er fliegt zu schnell. Aber so malt sie doch jeder." Olly nickte und schwieg vielsagend. "Du meinst, jeder malt sie falsch?"

"Kein Kommentar."

"Aber wenn ein Wasserhahn tropft, kann man beobachten, wie der Tropfen, der am Hahn hängt, sich immer weiter ausbaucht, und dann löst sich ein Teil ab. Die scharfe Schwanzspitze bildet sich kurz vor dem Ablösen."

"Mal das doch auch mal hin." Sie tat es (Bild 2 oben).

"Hm. Und du meinst, der Tropfen behält im Fallen diese Form bei?"

"Ja."

"Aber das Wasser, das am Hahn zurückbleibt, rundet sich wieder?"

"Ja. Oberflächenspannung."

"So, und warum rundet die Oberflächenspannung nicht auch die scharfe Schwanzspitze des fallenden Tropfens?"

"Die wird hinterhergezogen, weil sich der Tropfen bewegt."

"Meinst du?"

Deirdre wurde unsicher und schüttelte schließlich ihren Kopf. "Nein, das kann nicht sein. Die Schwanzspitze müßte auch runder werden. Fallende Tränen müssen ungefähr kugelförmig sein. Vielleicht durch den Luftwiderstand ein bißchen abgeplattet."

Olly nickte. "Oder sie schwabbeln. Du meinst also, das Bild sollte eher so aussehen?" (Bild 2 unten)

"Ich habe etwas darüber gelesen", sagte ich. "Ich finde es erstaunlich, daß man die Antwort nicht schon vor langer Zeit gefunden hat. Viele Kilometer Bücherregale sind angefüllt mit wissenschaftlichen Untersuchungen über strömende Flüssigkeiten – da muß sich doch auch mal jemand die Form eines Wassertropfens angesehen haben. Und trotzdem gibt es in der frühen Literatur nur eine einzige richtige Zeichnung. Sie stammt von Lord Rayleigh, ist mehr als hundert Jahre alt und in natürlicher Größe. Das heißt, sie ist so klein, daß kaum jemand sie zur Kenntnis nahm."

"Wundervoll erklärt", sagte Olly. "Zur Belohnung darfst du die nächste Runde ausgeben. In den fünfziger Jahren hat Harold Edgerton vom Massachusetts Institute of Technology erstmals fallende Tropfen mit einer Hochgeschwindigkeitskamera aufgenommen. Sie sind wirklich breiter als hoch: wie Hamburger. Und ein Physiker aus Chicago hat das auch nachgerechnet."

"Interessant. Wie heißt der Mensch?"

"MacDonald."

"Erzähl keinen Quatsch."

"Ehrlich! Aber erst 1990 haben der Mathematiker Howell Peregrine und seine Kollegen von der Universität Bristol präzisere Bilder gemacht. Es stellte sich heraus, daß dieser Prozeß viel komplizierter, aber auch viel interessanter ist, als man je gedacht hätte" (Bild 3 oben).

"Es beginnt damit", fuhr Olly fort, "daß der Tropfen, der am Wasserhahn hängt, anschwillt. Er entwickelt eine Taille, die sich einschnürt, und scheint sich der klassischen Tränenform zu nähern. Aber statt sich abzuschnüren und einen kurzen, spitzen Schwanz zu bilden, verlängert sich die Taille zu einem langen, dünnen, zylindrischen Faden, an dessen Ende ein fast kugelförmiger Tropfen hängt."

Ich sah mir seine Skizze genau an. "Die Kugelgestalt kann ich verstehen. Der Tropfen versucht die Energie seiner Oberflächenspannung zu minimieren."

"Ja und?"

"Die Oberflächenenergie ist proportional zur Oberfläche, und die Kugel ist der Körper kleinster Oberfläche bei gegebenem Volumen. Aber ich verstehe nicht, warum sich der Faden bildet."

"Hauptsächlich wegen der Viskosität", erklärte Olly. "Zähigkeit. Wenn es Sirup statt Wasser wäre, würdest du dich über so einen langen Faden nicht wundern, oder? Wasser ist auch ziemlich zäh, wenn auch nicht so wie Sirup."

"Na schön", wandte Deirdre ein, "aber warum wird der Faden dann nicht immer länger?"

"Instabilität!" schrie ich. Drei stämmige Damen, die am Nebentisch – auch nicht gerade leise – Skat spielten, schraken hoch und blickten mich mißbilligend an. "Zu lange Fäden werden instabil", flüsterte ich.

"Du haft ef erfafft", sagte Olly, der gerade den Mund voll Kartoffelchips hatte, bedeutete mir zu schweigen und schluckte. "Durch die Instabilität wird der Faden dünn, genau da, wo er auf die Kugel trifft, bis er zu einer scharfen Spitze wird. Es sieht aus wie eine Orange an der Spitze einer Stricknadel. Dann löst sich der Tropfen und pulsiert etwas, während er fällt."


Singularitäten

"Stimmt", sagte Olly, mampfte noch mehr Chips und spülte sie mit einem Glas Bier hinunter. "Aber das Schönste kommt erst: Die scharfe Nadelspitze rundet sich, und winzige Wellen laufen aufwärts. Das Ganze sieht jetzt aus wie eine Kette von Perlen, die nach oben zu immer kleiner werden. Schließlich bildet auch das obere Ende des Wasserfadens eine Spitze; es löst sich ab, rundet sich im Fallen, und eine ganz ähnliche Folge von Wellen läuft abwärts."

"Erstaunlich", sagte Deirdre. "Ich hätte niemals gedacht, daß tropfendes Wasser so geschäftig ist."

"Ich auch nicht", sagte ich. "Vor allem so singulär. Jetzt verstehe ich auch, warum bisher noch niemand dieses Problem mathematisch genau unter die Lupe genommen hat."

"Und zwar?"

"Es ist zu schwierig. Wenn sich der Tropfen ablöst, gibt es eine Singularität, eine Stelle, an der die Mathematik sehr häßlich wird. Das ist die Nadelspitze."

"Aber warum gibt es diese Singularität überhaupt?" warf Deirdre ein. "Warum löst sich der Tropfen auf so komplizierte Art ab?"

Olly lief zu großer Form auf. "Weil das aus den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungsmechanik folgt, wie die Physiker Jens Eggers und Todd Dupont von der Universität Chicago 1994 gezeigt haben. Sie haben die Gleichungen auf einem Computer numerisch gelöst und Peregrines Bildfolge reproduziert."

Wir waren nicht beeindruckt. "Warum guckt ihr so?" fragte er enttäuscht. "Das war eine geniale Arbeit."

"Zweifellos", stimmte ich zu. "Aber ich glaube nicht, daß das die Frage beantwortet. Es ist ja sehr beruhigend, daß die Navier-Stokes-Gleichungen das Phänomen richtig vorhersagen, nur verstehe ich es dadurch noch nicht. Ein großer Haufen Zahlen sagt doch nichts darüber, was diese Zahlen bedeuten."

Olly verzog gequält sein Gesicht. "Schon wieder diese Philosophie?" (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, August 1995, Seite 10).

"Nenn es so, wenn du willst. Was für eine Art von Erklärung gibt einem das Gefühl, etwas verstanden zu haben? Diese Frage gehört nicht zur Wissenschaft oder Mathematik im engeren Sinne. Es geht darum, wie wir Wissenschaft verstehen. Ich würde mir einen einfachen, logischen Gedankengang wünschen, der von der Form des Tropfens selbst ausgeht und mich davon überzeugt, daß sie so und nicht anders sein muß. Ich bin mir nicht sicher, ob es so etwas schon gibt, aber ich erinnere mich an eine Arbeit von Xiangdong Shi und anderen von der Universität Chicago, die zumindest in diese Richtung geht. Die Hauptidee ist auch schon in Peregrines Arbeiten da. Es handelt sich um eine bestimmte Art von Lösungen der Strömungsgleichungen, sogenannte Ähnlichkeitslösungen."

"Was soll das heißen?"

"Das ist eine Lösung mit einer bestimmten Symmetrie, wodurch das Problem mathematisch einfacher wird" (vergleiche die Beiträge ab Seite 98 dieses Heftes). "Die Lösung ist zeitlich selbstähnlich, das heißt, ihre Strukturen wiederholen sich zu verschiedenen Zeiten in immer kleineren Größenordnungen. Wenn also der Faden sich erst einmal irgendwo einschnürt, dann setzt sich dieser Prozeß fort, und der Faden wird immer dünner, bis sich eine spitzenförmige Singularität ausbildet."

"Ich komme nicht mit", sagte Olly.

"Klar, ich lasse ja auch viele Einzelheiten weg. Aber wenn wir nur annehmen, es gäbe eine Ähnlichkeitslösung, dann folgt daraus bereits die Form der Singularität. Das ist die Stelle, wo die technischen Einzelheiten -"

"Ey", unterbrach Deirdre. "Mir fällt gerade ein, daß es eine absolut klassische Photographie gibt, auf der die Singularität genau zu sehen ist. Nur ist es Milch statt Wasser, und sie tropft aufwärts."

"Wie bitte?"

"Ein berühmtes Bild von Edgerton. Milch, die in eine Schale tropft. Sieht aus wie eine Krone" (Bild 3 unten).

"Ach ja, richtig", sagte Olly. "Aber es sieht nicht aus wie meine Zeichnungen."

"Doch. Jeder Zacken der Krone ist wie ein kleiner Tropfen am Ende eines zylindrischen Milchfadens; die Fäden werden immer dünner, bis sie dort eine Spitze bilden, wo sie auf den Tropfen treffen."


Selbstähnlichkeit

"Schon Peregrine wies in seiner Arbeit darauf hin, daß die ganze komplexe Folge von Ereignissen universell ist", fuhr ich fort. "Man sieht stets genau die gleiche Folge von Formen, wenn sich Tropfen ablösen – jedenfalls in Flüssigkeiten geeigneter Viskosität."

Oliver beschloß, die Viskosität seines Bieres zu testen. Es floß sehr leicht herunter, überhaupt nicht wie Sirup.

"Zucker", schlug Deirdre vor. "Je mehr Zucker du ins Bier tust, desto zähflüssiger wird es." Oliver schüttelte sich.

"A propos Sirup", warf ich ein. "Shi und seine Kollegen dachten weiter darüber nach, wie die Form des sich ablösenden Tropfens von der Viskosität der Flüssigkeit abhängt. Sie machten viele Experimente mit verschiedenen Mischungen aus Wasser und Glycerin, Computersimulationen und theoretische Arbeiten mit Hilfe von Ähnlichkeitslösungen. Wenn die Flüssigkeit hinreichend zäh ist, entwickelt der Faden eine zweite Verengung, bevor die Singularität sich bildet und der Tropfen sich ablöst."

"Du meinst, man erhält so etwas wie eine Orange, die an einer Schnur von der Spitze einer Stricknadel herabhängt?" fragte Deirdre.

"Genau. Und nun, dank der Selbstähnlichkeit des Prozesses..."

Sie kam mir zuvor. "... gibt es bei noch höheren Viskositäten eine dritte Verengung – eine Orange, die an einem dünnen Baumwollfaden hängt, der an einem dickeren Faden hängt, der von der Spitze einer Nadel herabhängt. Und wenn die Zähigkeit noch größer wird, dann nimmt auch die Anzahl aufeinanderfolgender Verengungen zu, ohne Ende. Stimmt's?" (Bild 4).

"Ja. Jedenfalls solange es nicht darauf ankommt, daß die Flüssigkeit aus einzelnen Atomen besteht."

"Erstaunlich", sagte Oliver. "Das zeigt, was man alles entdecken kann, wenn man nur die richtigen Fragen stellt."

"Man sollte nichts als gegeben hinnehmen", sagte ich. "Die einfachsten Fragen haben die überraschendsten Antworten. Aber jemand muß die Fragen stellen und nicht einfach unterstellen, die Antwort sei sowieso, was jeder erwarten würde."

"Welch große Worte", sagte Deirdre. "Und was passiert, wenn sich zwei Tropfen treffen?"

"Ach, da gibt es so allerlei" (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1990, Seite 116).

Literaturhinweise

- The Shape of Raindrops. Von James E. McDonald in: Scientific American, Februar 1954, Seite 64.

– The Bifurcation of Liquid Bridges. Von D. H. Peregrine, G. Shoker und A. Symon in: Journal of Fluid Mechanics, Band 212, Seiten 25 bis 39, 1990.

– A Cascade Structure in a Drop Falling from a Faucet. Von X. D. Shi, Michael P. Brenner und Sidney R. Nagel in: Science, Band 265, Heft 5169, Seiten 219 bis 222, 8. Juli 1994.

– Gleichgewichtsfiguren zäher Flüssigkeiten mit Oberflächenspannung. Von Josef Bemelmans in: Analysis, Band 1, Seiten 241 bis 282, 1981.

– Oscillatory Behavior of Liquid Drops. Von Ben Schweizer. Dissertation, Heidelberg 1995.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 1996, Seite 10
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