Die 73. Folge der US-Sitcom »The Big Bang Theory« ist für Mathematiker schon länger eine besondere: »Welches ist die beste Zahl, die bekannt ist?«, fragt Sheldon Cooper darin an einer Stelle. »Es ist die 73«, sagt der geniale, aber wenig lebenstaugliche Physiker letztlich selbst.

Sheldons Begründung ist ein Fest für Zahlenfans: »73 ist die 21. Primzahl, ihre Spiegelzahl – die 37 – die 12., und deren Spiegelzahl (die 21) ist das Produkt der Multiplikation von – haltet euch fest: 7 und 3.« Was bei den anderen Seriencharakteren und vielen Zuschauern für Lacher sorgte, brachte professionelle Mathematiker ins Grübeln: Gibt es noch mehr so genannte Sheldon-Primzahlen, die genau solche Eigenschaften teilen?

Der Zahlentheoretiker Carl Pomerance vom Dartmouth College in New Hampshire hat nun zusammen mit seinem Kollegen Christopher Spicer vom Morningside College in Iowa eine Antwort gefunden: Die 73 sei tatsächlich die einzige Primzahl, welche die von Sheldon genannten Kriterien erfüllt, schreiben die Forscher in einer im »American Mathematical Monthly« erscheinenden Veröffentlichung.

Schon kurz nach der Ausstrahlung der »The Big Bang Theory«-Folge im Jahr 2015 definierte Spicer, zusammen mit zwei Kollegen, eine Sheldon-Primzahl als die n. Primzahl p_n, für die das Produkt ihrer Ziffern n ist und deren Spiegelzahl rev(p_n) die rev(n). Primzahl p_rev(n) ergibt. Etwas verständlicher ausgedrückt, bedeutet das für die xyz. Primzahl abcd: Einerseits ergibt a · b · c · d = xyz, und außerdem ist dcba die zyx. Primzahl. Als die drei Forscher die ersten zehn Millionen Primzahlen auf diese Eigenschaften hin prüften, stellten sie fest, dass nur die 73 beide gleichzeitig erfüllt. Daraufhin äußerten sie die Vermutung, dass es bloß diese eine Sheldon-Primzahl gibt.

Der endgültige Beweis von Pomerance und Spicer ließ dann aber noch Jahre auf sich warten. In einem ersten Schritt zeigten die beiden Mathematiker, dass es keine Sheldon-Primzahl geben kann, die größer als 10⁴⁵ ist. Zu diesem Schluss kommen sie dank dem berühmten Primzahlsatz aus dem Jahr 1896, der die Mindestanzahl aller Primzahlen in einem bestimmten Zahlenintervall angibt. Tatsächlich kann die Bedingung, dass das Produkt aller Ziffern einer Sheldon-Primzahl p_n die Zahl n ergibt, für Zahlen größer als 10⁴⁵ nicht mehr erfüllt werden. Denn in einem solchen Fall ist die Anzahl n der Primzahlen in dem Intervall [2, p_n] gemäß dem Primzahlsatz immer größer als das Produkt der Ziffern von p_n.

Diese Abschätzung ist der zentrale Punkt der Arbeit. Denn auch wenn 10⁴⁵ eine unvorstellbar große Zahl ist, so ist sie dennoch endlich. Das heißt, man kann systematisch alle Primzahlen zwischen 2 und 10⁴⁵ mit einem Computer abklappern, um nach weiteren Sheldon-Primzahlen zu suchen. Doch ganz ohne Tricks geht das natürlich nicht. Einen Algorithmus Zahlen mit 45 Ziffern untersuchen zu lassen, stellt selbst für die beste Hardware eine Herausforderung dar. Daher schränkten Pomerance und Spicer die möglichen Sheldon-Kandidaten mit Hilfe der geforderten Eigenschaften immer weiter ein, nutzten zudem Näherungsformeln, um extrem große Primzahlen durch Integrale anzunähern, und sortierten so nach und nach alle Sheldon-Anwärter aus – bis irgendwann nur noch die 73 übrig blieb.

Als der wissenschaftliche Berater von »The Big Bang Theory«, David Saltzberg, von dem Beweis der beiden Mathematiker erfuhr, entschied er, ihnen in einer erstmals im April 2019 ausgestrahlten Folge Tribut zu zollen: In einer Szene steht im Hintergrund ein Whiteboard, das Ausschnitte einzelner Berechnungen von Pomerances und Spicers Arbeit enthält. »Es ist wie eine Show innerhalb der Show«, sagte Pomerance laut einer Mitteilung des Dartmouth College dazu. »Es hat nichts mit dem Plot der Folge zu tun, und es lässt sich auch nur schwer im Hintergrund erkennen. Wenn man aber weiß, wonach man sucht, entdeckt man unsere Veröffentlichung!«