Das Ende einer Vermutung

News: Das Ende einer Vermutung

Vor fünf Jahren traf die Nachricht vom Beweis der Fermatschen Vermutung die Fachwelt wie ein Erdbeben. Das ließ gleichzeitig bislang unbezwingbare mathematische Gipfel auf erreichbares Maß hinabsinken. Das mathematische Nachbeben erreichte jetzt eines der nächstberühmtesten Probleme - die Taniyama-Shimura-Vermutung. Die entbehrt zwar der wechselvollen Geschichte des 350 Jahre letzten Fermatschen Theorems, läßt sich dafür aber auf eine weit größere Klasse von Problemen anwenden.

Als Andrew Wiles von der Princeton University 1994 den langersehnten Beweis der Vermutung von Pierre de Fermat verkünden konnten, eroberte er die Schlagzeilen der wissenschaftlichen Zeitschriften im Sturm. Seine Kollegen waren erst nach einigen kniffligen Nachbesserungen des umfangreichen Beweises zufriedengestellt und Fermats berühmtestes Problem damit endlich gelöst. Doch weitere Annahmen harrten nach wie vor ihres Beweises. So auch die Taniyama-Shimura-Vermutung, die erstmals von dem jungen japanischen Mathematiker Yutaka Taniyama 1955 aufgestellt und 1960 von Goro Shimura verfeinert wurde, der sich mit elliptischen Kurven beschäftigte. Dabei handelt es sich keinesfalls um Ellipsen, sondern um verschlungene Kurven, die sich mit kubischen Gleichungen der Form y²=x³+Ax²+Bx+C beschreiben lassen. Gelöst wurde die Vermutung nun von Brian Conrad und Richard Taylor von der Harvard University, Christophe Breuil von der Université de Paris-Sud sowie Fred Diamond von der Rutgers University.

Obwohl es gut verstanden ist, wie reelle Lösungen für Gleichungen elliptischer Kurven zu finden sind, ist das Auffinden rationaler Lösungen – das heißt Werte von x und y, die sich durch Brüche darstellen lassen – weiterhin ein weites Forschungsfeld im Bereich der Zahlentheorie. Wie jeder Mathematikstudent weiß, ist es wesentlich angenehmer eine Formel zum Lösen einer Gleichung zu besitzen als nur raten zu können. Bei elliptischen Kurven beginnt jedoch jede bekannte Lösungsmethode mit Raten. Hat man die erste Lösung gefunden, so erzeugt sie viele weitere andere. Taniyama vermutete in den fünfziger Jahren – wie es die vier Mathematiker jetzt zeigen konnten –, daß diese Methode im Prinzip mit einer direkten Formel umgangen werden kann, die sogenannte "modulare Funktionen" verwendet. Dabei handelt es sich gewissermaßen um die High-Tech-Versionen der aus der Geometrie bekannten periodischen Funktionen wie Sinus und Kosinus.

Conrad bemerkt, daß die Hauptaufgabe des Quartetts war, einige der größeren Ideen, die Wiles 1994 umrissen hatte, auszuweiten. Andere Mathematiker betonen jedoch, daß es wichtig ist, die Aufgabe jetzt auch zu vollenden. "Es ist wie Briefmarken sammeln", sagt Hendrik Lenstra von der University of California in Berkeley. "Es ist immer angenehmer eine vollständige Sammlung zu besitzen als alle bis auf eine."

Siehe auch

Spektrum Ticker vom 19.8.1998
"Silber für den 'alten Mann'"
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Spektrum der Wissenschaft 8/97, Seite 113
"Die Fermatsche Vermutung ist bewiesen – nun auch offiziell"
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Spektrum der Wissenschaft 8/93, Seite 14
"Der Beweis der Fermatschen Vermutung"
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