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Da man das Wetter langfristig nicht vorhersagen kann, kann man auch keinen El-Niño vorhersagen. Das sollte jedem mal einleuchten, egal ob Klima-Skeptiker oder Klimahysteriker. Den "Super-El-Niño" erwarteten die Klimaforscher in ihren Rechenzentren schon seit 2011, und was ist passiert? Nichts zutreffendes. Und wenn dieses Super-Phänomen nun kommt, dann haben alle recht gehabt ?! :-) Diese Vorhersagen sind genau so exakt wie Kopf-oder-Zahl spielen. Mit "exakter" Wissenschaft hat dies oft wenig zu tun.
sind doch "unsere" Funde im südwetdeutschen und ober-danubischen Spätpaläolithikum (Aurignacien, Gravettien und Pavlovien) durch verfeinerte Datierungsmethoden um ca. 4500 Jahre gealtert. Ist erst ein paar Jahre her, dass man sich traut, 14C (RadioCarbon-Datierung) für den Bereich 30 bis 50 ka zu verwenden, und dafür auch Kalibrierungskurven hat.
Wenn man sich den Wikipediaartikel zu Botswana ansieht, kann man feststellen, dass es sich um einen Rechtsstaat mit wenig Korruption handelt, in dem die Einnahmen aus dem Bergbau tatsächlich auch dem Volk zugutekommen.
Es war also gewiss ebenso eine schöne Woche für Botswana selbst.
Der Artikel mutet mich ein bisschen an wie eine Zaubervorstellung, bei der der Magier getreu den Regeln der Zunft den Zaubertrick nicht verrät. Im Grunde geht es darum, aus den drei in der Ebene deckend aneinanderfügbaren Flächen Dreieck, Viereck und Sechseck jeweils ein Fünfeck so zu konstruieren oder Fünfecke einzuschreiben, dass das nahtlose Aneinanderfügen möglich bleibt. Beim Viereck kann man an einem Punkt an einer der Seiten ziehen und so ein Fünfeck konstruieren (Bild 1, a, siehe oben in der Darstellung des Artikels). Das kann man symmetrisch machen oder asymmetrisch. Wenn man die Zeichnung auf eine Gummimatte aufträgt, kann man diese in der einen oder anderen Richtung dehnen. Macht man das diagonal, dann kommt in etwa die Abbildung 1 auf S. 62 heraus. Auch an den durchgehenden Linien kann man hin- und herschieben. Unendliche Vielfalt! Beim Dreieck muss man zur Erzeugung eines Fünfecks zum Beispiel an einer Seite an zwei Punkten zupfen. Macht man das (beim gleichseitigen Dreieck) so, dass die neu hinzukommende Fläche das Nachbardreieck gerade bis zur halben Höhe ausfüllt, also die neuen kurzen Seiten genau halb so lang sind wie die alten, kann man das so entstandene Fünfeck lückenlos in der Ebene verpflastern (Bild 1, b). In der Abbildung 5 auf S. 63 sind die neuen Punkte etwas im Uhrzeigersinn verschoben, und zwar so, dass die Deckung immer noch funktioniert. Beim Sechseck gibt es zwei Möglichkeiten: 1) Man zieht vom Mittelpunkt aus drei Linien zu den Ecken, so dass es aussieht wie die Darstellung eines Würfels, und dreht dann dieses „Dreibein“ um einen beliebigen Winkel. Dadurch zerlegt man das Sechseck in drei kongruenten Fünfecke, und die Sechsecke verpflastern die Ebene (Bild 1, c und Abbildung 3 auf S. 63). 2) Man konstruiert ein „Kairo-Pflaster“ nach folgendem Rezept (Bild 2): Symmetrisch zum Ursprung des Koordinatenkreuzes zeichnet man eine horizontale Strecke MLMR der Länge a ein und parallel zur horizontalen Koordinatenachse zwei Hilfslinien im Abstand a/2. Schlägt man um ML und MR je einen Halbkreis mit (wählbarem) Radius r, so ergeben die Schnittpunkte mit den Hilfslinien und der senkrechten Koordinatenachse die Eckpunkte des sechseckigen Fundamentalbereichs. Die Mittelsenkrechten auf den vier Flanken treffen auf die Punkte ML beziehungsweise MR. Daraus kann man die vier deckungsgleichen Fünfecke erzeugen. In Bild 2 sind drei Varianten eingezeichnet. Die Mittelpunkte liegen auf den 45-Grad-Diagonalen durch den Koordinatenursprung. Auch die Abbildungen 7, 11 und 12 auf S. 62 sind aneinandergereihte Sechsecke, ein bisschen versetzt und auf Zahnlücke gesetzt. Wirklich beeindruckt hat mich die Abbildung 10 auf S. 63 – da ist ein neuer Ansatz zu erkennen.
Stellungnahme der Redaktion
Anders als die Zauberer haben die Mathematiker keine Hemmungen, ihre Tricks zu verraten (siehe die Literaturhinweise zum Artikel). Nur sind in diesem Fall die Tricks äußerst zahlreich und gehen weit über die von Herrn Lederer genannten Rezepte hinaus – und weit über den Umfang einer „Mathematischen Unterhaltung“. Was die unendlich vielen Varianten eines Prinzips angeht, empfehle ich die Website aus „Wolfram Demonstrations“ zum Thema. Dort finden sich zu jeder Pflasterung kleine Schieberegler, mit denen man Parameter – sofern es welche gibt – variieren kann. Christoph Pöppe, Redaktion
So wünscht man sich eine ordentliche Rezension! Hier wird weder Werbung betrieben und dadurch der Leser bewusst oder heimlich zum Kauf angeregt oder gar gedrängt noch das Buch ins Lächerliche gezogen und derbe kritisiert, sondern sachlich neutral beurteilt. Nicht jede Rezension ist so gelungen wie diese.
Tja, eine schöne Woche für die Lucara Diamond Corp., aber war es auch eine schöne Woche für Botswana? Schließlich wurde dieser Diamant in der Erde dieses Landes gefunden ...
Den Kampf ums unendlich Kleine scheint die Redaktion von "Spektrum der Wissenschaft" immer noch auszufechten, obwohl spätestens seit den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts der Streit friedlich beigelegt wurde. In der so genannten Nichtstandard-Analysis gibt es sehr wohl unendlich kleine (infinitesimale) und unendlich große hyperreelle Zahlen.
Ein Element x aus der Menge *R der hyperreellen Zahlen heißt infinitesimal, wenn für alle positiven reellen Zahlen r gilt: ׀x׀<r. *R ist eine echte Körpererweiterung des geordneten Körpers R der reellen Zahlen.
Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen infinitesimal benachbart (x≈y), falls x–y infinitesimal ist.
Die Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x0∈R lässt sich dann ohne Epsilontik wie folgt definieren: Für alle x∈*R: x0 ≈ x ⟹ f(x0) ≈ f(x).
Jede hyperreelle Zahl x∈*R ist infinitesimal benachbart einer einzigen reellen Zahl r∈R. Die Funktion st ordnet x seinen Standardteil r zu: st(x)=r.
Die Ableitung einer Funktion, z. B. f(x) = x2+3x, geschieht folgendermaßen: Durch zwei infinitesimal benachbarte Punkte der Funktion (x, f(x)) und (x+dx, f(x+dx) denkt man sich eine Sekante und berechnet deren Steigung (dx ist natürlich infinitesimal):
Selbstverständlich liegt es dem "Spektrum" fern, sich an irgendwelchen – auch noch längst vergangenen – Kämpfen zu beteiligen. Wir begnügen uns mit der Rolle des Berichterstatters (und sind damit ausreichend beschäftigt).
In diesem Sinne ist zu ergänzen, dass in der Tat Abraham Robinsons Nichtstandard-Analysis einen Begriffsapparat bereitstellt, der es erlaubt, widerspruchsfrei von unendlich kleinen (und unendlich großen) Größen zu sprechen, dass aber die Mathematiker von dieser Möglichkeit bislang kaum Gebrauch machen. Über die Gründe dafür lässt sich trefflich spekulieren.
Christoph Pöppe, Redaktion
Sie haben Recht, die Nichtstandard-Analysis hat sich bisher in Gymnasien und Universitäten nicht durchgesetzt. Das käme einem Paradigmenwechsel gleich, und wie träge der Wissenschafts- und Unterrichtsbetrieb sein können, ist bei Thomas S. Kuhn nachzulesen.
Immerhin gibt es in den USA Schulen, die Lehrmittel der Nichtstandard-Analysis einsetzen. Außerdem wird in Vorlesungen über mathematische Logik auf die Erweiterung der reellen Zahlen mit unendlich kleinen Größen hingewiesen.
Es geht mir auch gar nicht darum, wie verbreitet die Lehre ist. Vielmehr ist zu beachten, dass die Vorstellungen von Leibniz, Euler und anderen über infinitesimale Größen eine späte Rechtfertigung erhalten haben. Es ist auch bemerkenswert, dass in der Praxis bei Physikern, Ingenieuren, Technikern unendlich kleine Größen eine Rolle spielen. Diese angewandten Mathematiker haben im Grunde die Denkweise eines Leibniz beibehalten trotz Cauchy.
Michael Springer hat mit seinem Einwurf eine Banalität zum Märchen eines Kollapses des Marktgeschehens aufgeblasen: Freie Märkte sind rekursive (rückgekoppelte) nichtlineare Systeme. Anders lässt sich das Auf und Ab von Marktpreisen gar nicht erklären. Wie in jedem Regelkreis bestimmen Dämpfung oder Verstärkung das Regelungs- beziehungsweise Schwingunsverhalten. Bei vernünftig handelnden Marktteilnehmern überwiegt die Dämpfung: Die Verstärkung im Regelkreis ist dann kleiner als 1. Das Ergebnis ist das Einschwingen des Regelkreises auf einen "vernünftiger" Marktpreis. Werden die Marktteilnehmer hingegen von Gier statt von Vernunft geleitet, ist die Verstärkung größer als 1 und das System neigt zu chaotischem Schwingungsverhalten. Es kommt also nur auf das Verhalten der Marktteilnehmer an. Sind die von Vernunft geleitet, dann behält auch Adam Smith Recht!
Also bei aller Liebe, ganz selten hab ich etwas gelesen, dass wissenschaftlich noch weniger fundiert war. Aber gut, ich kann mir ja auch eine hübsche Geschichte über die Evolution der Sprache ausdenken, vielleicht wird sie dann ja auch veröffentlicht und ich werde eine große "Forscherin"?
In Wirklichkeit weiß keiner bescheid
22.11.2015, Guido ScholzenDen "Super-El-Niño" erwarteten die Klimaforscher in ihren Rechenzentren schon seit 2011, und was ist passiert? Nichts zutreffendes. Und wenn dieses Super-Phänomen nun kommt, dann haben alle recht gehabt ?! :-)
Diese Vorhersagen sind genau so exakt wie Kopf-oder-Zahl spielen. Mit "exakter" Wissenschaft hat dies oft wenig zu tun.
Ist eigentlich kein Wunder,
21.11.2015, Gottfried HeumesserSehr guter Beitrag
21.11.2015, Kai HiltmannBedeutung für Rechnersimulierte SNNs
21.11.2015, Detlef KrollRe: Diamanten & Botswana
20.11.2015, Markus PEs war also gewiss ebenso eine schöne Woche für Botswana selbst.
Zauberkunststücke?
20.11.2015, Friedrich Lederer, Bad ReichenhallIm Grunde geht es darum, aus den drei in der Ebene deckend aneinanderfügbaren Flächen Dreieck, Viereck und Sechseck jeweils ein Fünfeck so zu konstruieren oder Fünfecke einzuschreiben, dass das nahtlose Aneinanderfügen möglich bleibt.
Beim Viereck kann man an einem Punkt an einer der Seiten ziehen und so ein Fünfeck konstruieren (Bild 1, a, siehe oben in der Darstellung des Artikels). Das kann man symmetrisch machen oder asymmetrisch. Wenn man die Zeichnung auf eine Gummimatte aufträgt, kann man diese in der einen oder anderen Richtung dehnen. Macht man das diagonal, dann kommt in etwa die Abbildung 1 auf S. 62 heraus. Auch an den durchgehenden Linien kann man hin- und herschieben. Unendliche Vielfalt!
Beim Dreieck muss man zur Erzeugung eines Fünfecks zum Beispiel an einer Seite an zwei Punkten zupfen. Macht man das (beim gleichseitigen Dreieck) so, dass die neu hinzukommende Fläche das Nachbardreieck gerade bis zur halben Höhe ausfüllt, also die neuen kurzen Seiten genau halb so lang sind wie die alten, kann man das so entstandene Fünfeck lückenlos in der Ebene verpflastern (Bild 1, b). In der Abbildung 5 auf S. 63 sind die neuen Punkte etwas im Uhrzeigersinn verschoben, und zwar so, dass die Deckung immer noch funktioniert.
Beim Sechseck gibt es zwei Möglichkeiten: 1) Man zieht vom Mittelpunkt aus drei Linien zu den Ecken, so dass es aussieht wie die Darstellung eines Würfels, und dreht dann dieses „Dreibein“ um einen beliebigen Winkel. Dadurch zerlegt man das Sechseck in drei kongruenten Fünfecke, und die Sechsecke verpflastern die Ebene (Bild 1, c und Abbildung 3 auf S. 63). 2) Man konstruiert ein „Kairo-Pflaster“ nach folgendem Rezept (Bild 2): Symmetrisch zum Ursprung des Koordinatenkreuzes zeichnet man eine horizontale Strecke MLMR der Länge a ein und parallel zur horizontalen Koordinatenachse zwei Hilfslinien im Abstand a/2. Schlägt man um ML und MR je einen Halbkreis mit (wählbarem) Radius r, so ergeben die Schnittpunkte mit den Hilfslinien und der senkrechten Koordinatenachse die Eckpunkte des sechseckigen Fundamentalbereichs. Die Mittelsenkrechten auf den vier Flanken treffen auf die Punkte ML beziehungsweise MR. Daraus kann man die vier deckungsgleichen Fünfecke erzeugen. In Bild 2 sind drei Varianten eingezeichnet. Die Mittelpunkte liegen auf den 45-Grad-Diagonalen durch den Koordinatenursprung.
Auch die Abbildungen 7, 11 und 12 auf S. 62 sind aneinandergereihte Sechsecke, ein bisschen versetzt und auf Zahnlücke gesetzt. Wirklich beeindruckt hat mich die Abbildung 10 auf S. 63 – da ist ein neuer Ansatz zu erkennen.
Anders als die Zauberer haben die Mathematiker keine Hemmungen, ihre Tricks zu verraten (siehe die Literaturhinweise zum Artikel). Nur sind in diesem Fall die Tricks äußerst zahlreich und gehen weit über die von Herrn Lederer genannten Rezepte hinaus – und weit über den Umfang einer „Mathematischen Unterhaltung“.
Was die unendlich vielen Varianten eines Prinzips angeht, empfehle ich die Website aus „Wolfram Demonstrations“ zum Thema. Dort finden sich zu jeder Pflasterung kleine Schieberegler, mit denen man Parameter – sofern es welche gibt – variieren kann.
Christoph Pöppe, Redaktion
So wünscht man sich eine ordentliche Rezension!
20.11.2015, Wolfhard WidmerAsimovs Gesetze der Robotik
20.11.2015, Josefhttps://www.youtube.com/watch?v=7PKx3kS7f4A
Und hier noch ein sehr informatives Video über die Gefahren aber auch Chancen von Künstlicher Intelligenz
https://www.youtube.com/watch?v=uf11vhgec30
Diamanten & Botswana
20.11.2015, Andreas RNichtstandard-Analysis
19.11.2015, Andreas RychenDen Kampf ums unendlich Kleine scheint die Redaktion von "Spektrum der Wissenschaft" immer noch auszufechten, obwohl spätestens seit den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts der Streit friedlich beigelegt wurde. In der so genannten Nichtstandard-Analysis gibt es sehr wohl unendlich kleine
(infinitesimale) und unendlich große hyperreelle Zahlen.
Ein Element x aus der Menge *R der hyperreellen Zahlen heißt infinitesimal, wenn für alle positiven reellen Zahlen r gilt: ׀x׀<r. *R ist eine echte Körpererweiterung des geordneten Körpers R der reellen Zahlen.
Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen infinitesimal benachbart (x≈y), falls x–y infinitesimal ist.
Die Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x0∈R lässt sich dann ohne Epsilontik wie folgt definieren: Für alle x∈*R: x0 ≈ x ⟹ f(x0) ≈ f(x).
Jede hyperreelle Zahl x∈*R ist infinitesimal benachbart einer einzigen reellen Zahl r∈R. Die Funktion st ordnet x seinen Standardteil r zu: st(x)=r.
Die Ableitung einer Funktion, z. B. f(x) = x2+3x, geschieht folgendermaßen: Durch zwei infinitesimal benachbarte Punkte der Funktion
(x, f(x)) und (x+dx, f(x+dx) denkt man sich eine Sekante und berechnet deren Steigung (dx ist natürlich infinitesimal):
(f(x+dx)–f(x))/dx = (x2+2x(dx)+(dx)2 +3x+3(dx)–(x2+3x))/dx =
(2x(dx)+(dx)2 + 3 (dx))/dx = 2x+dx+3
st(2x+dx+3)=2x+3
Es sei noch erwähnt, dass ein Integral aufgefasst wird als unendliche Summe von unendlich schmalen Streifen!
Literatur:
Abraham Robinson: Nonstandard Analysis. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam 1966
H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
Selbstverständlich liegt es dem "Spektrum" fern, sich an irgendwelchen – auch noch längst vergangenen – Kämpfen zu beteiligen. Wir begnügen uns mit der Rolle des Berichterstatters (und sind damit ausreichend beschäftigt).
In diesem Sinne ist zu ergänzen, dass in der Tat Abraham Robinsons Nichtstandard-Analysis einen Begriffsapparat bereitstellt, der es erlaubt, widerspruchsfrei von unendlich kleinen (und unendlich großen) Größen zu sprechen, dass aber die Mathematiker von dieser Möglichkeit bislang kaum Gebrauch machen. Über die Gründe dafür lässt sich trefflich spekulieren.
Christoph Pöppe, Redaktion
Sie haben Recht, die Nichtstandard-Analysis hat sich bisher in Gymnasien und Universitäten nicht durchgesetzt. Das käme einem Paradigmenwechsel gleich, und wie träge der Wissenschafts- und Unterrichtsbetrieb sein können, ist bei Thomas S. Kuhn nachzulesen.
Immerhin gibt es in den USA Schulen, die Lehrmittel der Nichtstandard-Analysis einsetzen. Außerdem wird in Vorlesungen über mathematische Logik auf die Erweiterung der reellen Zahlen mit unendlich kleinen Größen hingewiesen.
Es geht mir auch gar nicht darum, wie verbreitet die Lehre ist. Vielmehr ist zu beachten, dass die Vorstellungen von Leibniz, Euler und anderen über infinitesimale Größen eine späte Rechtfertigung erhalten haben. Es ist auch bemerkenswert, dass in der Praxis bei Physikern, Ingenieuren, Technikern unendlich kleine Größen eine Rolle spielen. Diese angewandten Mathematiker haben im Grunde die Denkweise eines Leibniz beibehalten trotz Cauchy.
Andreas Rychen
Das angebliche "Märchen" von der Selbstregulation des Marktes
19.11.2015, Dieter Eichrodt, Glengarriff (Irland)Freie Märkte sind rekursive (rückgekoppelte) nichtlineare Systeme. Anders lässt sich das Auf und Ab von Marktpreisen gar nicht erklären. Wie in jedem Regelkreis bestimmen Dämpfung oder Verstärkung das Regelungs- beziehungsweise Schwingunsverhalten. Bei vernünftig handelnden Marktteilnehmern überwiegt die Dämpfung: Die Verstärkung im Regelkreis ist dann kleiner als 1. Das Ergebnis ist das Einschwingen des Regelkreises auf einen "vernünftiger" Marktpreis. Werden die Marktteilnehmer hingegen von Gier statt von Vernunft geleitet, ist die Verstärkung größer als 1 und das System neigt zu chaotischem Schwingungsverhalten.
Es kommt also nur auf das Verhalten der Marktteilnehmer an. Sind die von Vernunft geleitet, dann behält auch Adam Smith Recht!
Schmerz
17.11.2015, Robert OrsoTerminator: "Ich nehme Verletzungen wahr. Diese Daten könnte man als Schmerz bezeichnen."
(Terminator 2 - Tag der Abrechnung)
Bionik ist wichtig
17.11.2015, Stanislav Maria HerbrechterNein?
16.11.2015, S. N.Es ist ein Tag wie jeder andere auch.
16.11.2015, Igor Imre