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Die Fragestellung verrät indirekt mangels Angaben, dass das Verhältnis der Flächensumme der Halbkreise zum Vollkreis fix ist und nicht vom Verhältnis der Halbkreise zueinander abhängt. Wenn man nun den einen maximiert und den anderen auf Null staucht, kommt man auf einen Halbkreis mit gleichem Radius wie der Vollkreis.

Ich möchte eine Alternative Lösung vorschlagen, die zugleich ein schönes Verhältnis offenbart, welches man zur Konstruktion einer solchen Figur nutzen kann.
Mann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt:
r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta).
Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus:
sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta)
Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt:
sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4)
Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha
Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen!
Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha:
a^2*pi/2 + b^2*Pi/2
= r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2
= r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2)
= r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.

Schöne geometrische Herleitung, nimmt man jedoch Lösbarkeit an, vereinfacht sich das Problem auf einen Halbkreis mit dem Radius des Vollkreises und einem mit Radius Null.

Verkleinert man den kleinen Halbkreis, wird er im Grenzfall zu einem Punkt und der große übernimmt 1/2 der Fläche.

Also ich hätt einfach den hohen Pfosten geteilt in A (Spitze), B (jener Punkt am Pfosten, der im Schattenwurf der Grenze zwischen Bodenschatten und Mauerschatten entspricht) und C (Basis). Da der Bodenschatten doppelt so lang ist wie der des kleinen Pfosten, ist B-C auch doppelt so hoch = 4 Meter. Und A-B? Nun, der obere senkrechte Pfostenteil und der senkrechte Mauerschatten bilden zusammen mit den schräg verlaufenden, aber parallelen Strahlen ein Parallelogramm. Ist der Schatten 4 m, ists der obere Pfostenteil auch. Somit habe ich 4 + 4. Nur eine Verhältnisrechnung, und ein abgelesener Wert.

Nun habe ich das Buch nicht gelesen, würde es aber gerne. Ich vermute aber, dass der CO2-Fussabdruck eines eBooks deutlich geringer wäre als der des gebundenen Buchs. Außerdem brauche ich dann keinen Regalplatz dafür.

Schade eigentlich, dass es das Buch nur gebunden gibt.

der Ausdruck "CO2-Verbrauch" (anstatt Erzeugung, mehrmals so ausgedrückt !!) durch den Anbau von Bananen oder durch Flächenbrände ist - wenn auch nur in der elektronischen Version von Spektrum - inakzeptabel und sollte in einer wissenschaftliche Zeitschrift in dieser Form nicht auftauchen dürfen....liest denn niemand, was da veröffentlicht wird ??

Ehrlich, der Artikel ist seltsam geschrieben und wird nie tatsächlich konkret. Die Abzählbarkeit wird noch gut und konkret erklärt, steht so ja auch in vielen Quellen. Danach bleibt es bei Allgemeinposten in der Erzählung: X hatte eine Frage und hatte eine Idee A … Y sah das aber anders und hatte eine andere Idee B … sie arbeiten weiter … An keiner Stelle werden diese Ideen ausreichend erklärt, um dem Leser einen echten Wissensgewinn im Thema jenseits der Erzählung über X und Y zu verschaffen.
Mein Fazit war am Ende leider: das war jetzt vergeudete Zeit.

Wenn man partout kein Tschernobyl zusammengewürfelt bekommt, erhöht man halt die Zahl der Würfel, irgendwann klappt's schon. Wieder mal die Tyrannei der blinden Vernunft – ich will einen Schokoriegel? Ich esse einen Schokoriegel. Wenn der Arzt vorm Herzinfarkt warnt, ist er ein Traumtänzer, denn wenn ich bislang nicht gestorben bin, werde ich auch nie sterben. So wird man schön fett, träge und kommt bei der kleinsten Anstrengung ins Schwitzen. Wir können uns weder erinnern noch vorausdenken, jeder Sonnenaufgang und jeder Sonnenuntergang ein Schwarzer Schwan, ein völlig unvorhersehbares Ereignis, das uns aus den Bahnen wirft. Der Vergleich mit dem Fettsack ist durchaus angemessen, hinter Politik und Physiologie steckt die gleiche Physik. Hat was mit Masseträgheit und dem Aufbau stabiler, hocheffizienter Netzwerke zu tun, die dann schwer zu knacken und zu verändern sind.

Was an der Öko-Bewegung nervt, ist die esoterische Komponente: Wir sind gerade in Stimmung für eine Weltuntergangssekte, und sie eignet sich prächtig dazu, zu einer zweckentfremdet zu werden. Sie schwebt über allem, rettet den Planeten vor dem Klima-Teufel, er ist das größte Problem, ignoriert alles andere. Wenn mich ein Bär und eine Horde Wölfe anfallen, ist der Bär das größte Problem, doch darum können sich die Wölfe ja kümmern, wenn er das kleinste gerissen hat, vielleicht werden sie doch noch an dem satt, was sie ihm von meinem Kadaver entwenden können. Entweder ich kümmere mich um Bär und Wölfe gleichzeitig, oder ich kann mir beides sparen. Die Chance, sie einzeln zu erledigen, habe ich verpasst. Der Fettsack bekommt ja auch Herz-, Gelenk- und Rückenprobleme gleichzeitig, die ziehen nicht eine Nummer, stellen sich brav in einer Schlange an und warten, bis der Schalter aufmacht.

Das Entarten in Religion ist bereits recht weit fortgeschritten: Die Mächtigen predigen und kassieren und gehen mit schlechtem Beispiel voran, während der Pöbel den Gürtel enger schnallen und Opfer bringen soll, seinen Glauben durch mehr oder weniger sinnlose Rituale und Endlosschleifen-Gebete festigen und aggressiv gegen Ketzer vorgehen, je weniger Handeln und Tatsachen, desto mehr Kanzel und heiße Luft und Ketzerhetze. Der Klima-Teufel mag real sein, doch die menschliche Natur ist es auch: Er holt uns morgen, das große Fressen lauert hier und jetzt. Im Mittelalter war der christliche Teufel noch realer, Satansskeptiker brauchten nur aus dem Fenster zu gucken, um bekehrt zu werden, hat's was genützt?

Kein Schaf will die Zukunft der Wölfe retten. Meine Probleme sind im Moment Inflation, Heizkosten, immer miesere Produktqualität im Supermarkt, kaputtes Gesundheitssystem, kaputtes Pflegesystem, kaputte Wirtschaft, ich mach mir Sorgen um Freunde und Familie, Leute, die nicht das Zeug zum Prepper oder Mad Max haben und eine funktionierende Gesellschaft dringend nötig haben. Ich sehe, dass der ganze Planet zum Krieg rüstet, sich um Aggro-Führer schart, um plündern zu gehen, weil die Weltwirtschaft, wie sie jetzt ist, es nicht packt, sowohl die Menschheit, wie ihre Korruption durchzufüttern. In den fetten Jahren mästen wir die Korruption, weil sie uns genug Futter übrig lässt, dass sie uns nicht stört, in den dürren Jahren ist sie dann groß und mächtig genug, um uns zu fressen, das Normalste von der Welt. Das ist real, das passiert gerade, weil es immer passiert, Sie können's quer durch die Geschichtsbücher lesen. Der Klima-Teufel hat Freunde mitgebracht, und sie machen eine Party, die nur die Stärksten überleben. Und ich, meine Familie, meine Freunde, gehören ganz sicher nicht zu den Stärksten, wir sind Schlachtvieh und Kanonenfutter. Wenn in der Zukunft kein Platz für meinesgleichen ist, wenn sie China, Putin, Taliban, Börsen, Trump, Amazon gehört, kann sie mir gar nicht kaputt genug sein. Wenn ich die Monster schon gezüchtet habe, nehme ich sie wenigstens mit ins Grab.

Wenn Sie mir nichts zu bieten haben, als noch so eine dahergelaufene Religion, schmeißen Sie sie auf den Komposthaufen zu den anderen, dort darf sie mit gären, bis der Haufen mal wieder Feuer fängt und uns die Bude überm Kopf niederbrennt. Es gehört zu jedem anständigen Weltuntergang dazu, dass die Welt locker gerettet werden könnte, aber nicht wird, weil sie schon vorher morsch und verrottet war und zu viele keinen Sinn mehr darin sehen. So eine Welt brennt wie Zunder.

Erdgas und Kernkraftwerke sind nicht die Sorte Gas und Atomenergie, die mir im Moment die größten Sorgen bereiten. Natürlich müssen sie weg. Doch bevor Sie mir den Bären aufbinden, ziehen Sie mir ein paar Wolfszähne aus dem Hintern.

Wie sollte die Energiewende ohne diese beiden verlässlichen Träger aussehen? Ohne Speicherkapazität wird eine reine Versorgung aus Wind und Solar nicht funktionieren. Zusätzlich wird der Energiebedarf massiv steigen, statt weniger zu werden. Die Elektromobilität tut da ihr Übriges. Und ich bin mir noch nichtmal sicher, ob der Atomstrom nach der jetzigen Frist noch in die Verlängerung geht. Beim Gas haben wir den Vorteil, dass man auf künftige Technologien hoffen kann, die nur noch Wasserstoff oder Ähnliches verbrennen.

Fazit: Rein vom Klimaaspekt ist das sicherlich ein Taschenspielertrick erster Güte, aber mit etwas Realismus sehe ich da keine großen Alternativen. Außer massenweise Strom außerhalb der EU einzukaufen bei Flauten.

Die Stellungnahme der Redaktion ist irreführend, insofern hier die Begriffe Genom und DNA unkritisch gleichgesetzt werden. Das Genom ist die Gesamtheit der Gene (ausführlich hierzu bspw.: "Das Genom" von Ernst Peter Fischer, Fischerverlag 2015). Die Gene befinden sich in den codierenden Abschnitten der DNA. Nicht codierenden Abschnitte der DNA, in denen sich keine Gene befinden, können nicht sinnvoll zum Genom hinzu gerechnet werden.

Eine solche begriffliche Gleichsetzung ist zudem didaktisch nicht sinnvoll, weil sie das Leseverständnis erheblich erschwert, wie an der berechtigten Frage von JS deutlich wird. Die Originalpublikation ist hier leider kein gutes Vorbild. Dennoch kann erwartet werden, daß JS` Einwand ernst genommen wird, da diese Formulierung eher dazu geeignet ist Verwirrung zu stiften, als das Verständnis der Materie zu fördern. Auch ich bin zunächst über diesen Abschnitt gestolpert und konnte mir nur unter Rückgriff auf im Rahmen eines einschlägigen Hochschulstudiums erworbenen Wissens erklären, was wahrscheinlich gemeint ist mit dieser widersprüchlich erscheinenden Formulierung. Mit einer klareren Formulierung hätte diese Hürde vermieden und so das Leseverständnis gefördert werden können.

Vielleicht könnte Lars Fischer hierzu einmal persönlich Stellung beziehen. So, wie ich ihn bislang erlebt habe, kann ich mir gut vorstellen, daß er bei näherer Betrachtung ebenfalls Verbesserungspotential erkennt. Beispielsweise hätte man mehr beschreibend formulieren können, in dem man unmittelbar zwischen codierenden und nicht codierenden Abschnitten unterscheidet, anstatt durch den widersprüchlich erscheinenden Bezug der Kernaussage ("mutation frequency is reduced by half inside gene bodies and by two-thirds in essential genes") auf den uneinheitlich verwendeten Ausdrucks "Genom" ("[…] dass in Genen nur halb so viele Mutationen auftreten wie im Rest des Genoms […]") vermeidbare Verwirrung zu stiften. Die Originalpublikation macht es zumindest insofern besser, als hier direkt auf die Funktion Bezug genommen wird: "In contrast to expectations, we find that mutations occur less often in functionally constrained regions of the genome […]".

Ich denke, von einem Wissenschaftsjournalisten solle man erwarten können, daß er Formulierungsschwächen der Originalpublikation erkennt und in seinem davon abgeleiteten Text besser verständliche Darstellungen verwendet, bzw. zumindest nicht noch schlechtere. Es macht keinen guten Eindruck, solche Schwächen im Text zu verteidigen, anstatt sie als Schwächen zu erkennen und den Fehler bei sich selber zu suchen. Außerdem verpaßt man so eine Chance, seine Fähigkeiten als Autor zu verbessern, was als ein weiterer (vermeidbarer;) Fehler angesehen werden könnte.

Soviel dazu von meiner Seite in der Hoffnung, etwas zum besseren gegenseitigen Verständnis und der Steigerung der Qualität der Fachbeiträge beizusteuern.

'Wer kein Pendel zur Hand hat, kann Lissajous-Figuren auch auf einem Oszilloskop sichtbar machen', na klar, ein Oszilloskop hat man ja immer griffberit :-)
Wir hatten das mit alten Röhrenfernsehern gemacht, Horizontal-Ablenkspuhle 50 Hz und vertikal dann den Sound unserer Musikanlage, kann man stundenlang zugucken. Pink-Floyd the Wall hatte die besten Effekte.

So richtig möchte man sich doch nicht auf die eigenen Erkenntnise einlassen: "Die beteiligten Fachleute vermuten, dass die unterschiedliche Stabilität bestimmter Erbgutregionen selbst ein Ergebnis der natürlichen Selektion ist. Fürs Überleben entscheidende Gene stabiler zu machen, ist ein einleuchtender Überlebensvorteil. Weniger leicht zu erklären ..."
Was ist nun hier mit dem sogenannten Zufall? Wie im Beitrag von Wolfgang Stegemann. Die Idee der Selbstorganisation, die dem Leben innewohnt, sollte konsequenter weitergedacht werden.

Ich find's immer wieder faszinierend, wie schnell in der Physik aus einfach kompliziert wird, und nur noch Mathe helfen kann. Wenn ich's drauf anlege, kann ich das gesamte Universum mit zwei Dimensionen beschreiben, Raum und Zeit – alles nur eine Welle, wie viele Dimensionen es subjektiv hat, wird dadurch bestimmt, wie viele nacheinander folgende Punkte dieser Welle wir als gleichzeitig wahrnehmen. Wenn ich die Welle um 90 Grad kippe und von der Seite ansehe, habe ich sogar nur eine Dimension, die Amplitude verschmilzt mit der Frequenz. Muss nicht wahr sein, wäre aber möglich. Doch wenn man die Spekulationen sein lässt und die Muster untersucht, die tatsächlich da sind, wird aus der Zeichnung mit Pünktchen und Linien schnell Spagetti in unendlichen Variationen.

Viele kleine Pünktchen ergeben halt viele kleine Pole mit eigenen Kraftfeldern und eigenen Ansichten, wie denn die anderen Pünktchen umzuleiten sind. Ich kann das Ganze auf drei Extreme zurückführen: Den endlichen Punkt, die unendliche Linie, den Kreis als Kompromiss, der gleichzeitig endlich und unendlich ist, vielleicht noch ein viertes, die Welle als Kompromiss aus Kreis und Linie, alle anderen Formen sind irgendwie dazwischen. Ich sehe, dass all das nur möglich ist, wenn ich den Punkt in On-und Off-Zustand habe, denn wenn aus einem Punkt eine Linie werden soll, müssen es zwei On-Punkte sein, die durch einen Off-Punkt getrennt sind: 101, das Nichts erschafft die Unendlichkeit. Einen Off-Punkt kann ich nicht sehen, wenn ich zwischen zwei On-Punkte zoome, versinke ich in der Unendlichkeit, in der immer neue Linien und On-Punkte auftauchen – ich folge einer Geraden tief in eine neue Dimension hinein, ich erhöhe meine Wahrnehmungsfrequenz und betrete neue Universen, in denen alles, was für mich gerade noch ein Ding war, in Gruppen weit zerstreuter Objekte zerfällt, die nichts mehr mit ihm zu tun haben. Doch was bedeutet das? Ich kann die Beobachtung vermerken – ist halt so. Deuten kann ich sie nicht. Alles Andere, Raum, Zeit, Schwingungen, Muster, sind nur Zeichnungen auf einer unendlichen Leinwand, Variationen, immer neue Kombinationen, immer neue Spagetti-Arrangements auf dem Teller, immer die gleichen Spagetti-Zutaten.

Dazu kommt noch, dass Raum relativ ist, und Kurven und Gerade sich je nach Bezugssystem ändern. Zeit formt ihn mit: Die Gerade ist die Kurve, die A und B am schnellsten verbindet, und ob ich die Reisezeit als Geschwindigkeit oder Streckenkürze verbuche, hängt davon ab, womit ich es vergleichen kann. Wenn ich mir ein vereinfachtes Sonnensystem mit acht Planeten vorstelle, bei dem die Umlaufzeiten von Neptun und Merkur vertauscht sind (mit entsprechenden Veränderungen für die Planeten dazwischen), kippt das System: Plötzlich sind die Sterne und Galaxien in der Mitte, die Sonne als großer Ring draußen verschmiert, ihre Mitte ist unendlich weit entfernt, ihre Anziehungskraft und die Zentrifugalkraft haben die Namen vertauscht. Und wir merken nichts davon, denn die Sternenstrahlung ist zu einem Ball in der Mitte konzentriert, die Sonnenoberfläche über eine enorme, endlos tiefe Fläche verteilt, und dementsprechend dunkler.

OK, eigentlich stelle ich es mir mit neun Planeten vor, da darf Pluto noch mitspielen. Ich werde alt.

Wenn ich ins All schaue, sehe ich etwas, das wie der Südpol wirkt, vom Nordpol aus gesehen: Er umringt mich von allen Seiten. Und wenn ich dazu nehme, dass nicht mal auf Erden je ein Laserstrahl gerade gelaufen sein kann, denn wenn nicht jeder Beobachter den Raum verzerren würde, würden wir ihn als Kurve wahrnehmen, wenn ich mir vorstelle, welche Wirkung Gravitation und Magnetfelder auf das Licht haben und haben könnten, tut mir die Unwissenheit fast weh. Was sehe ich da draußen eigentlich? Ein Schwarzes Loch, das Pendant zum Weißen Loch Sonne? Gibt es die Sterne überhaupt, oder sehe ich die Sonne in Vergrößerung? Ist das ganze All in der Sonne enthalten? Wird alles, was wir ins All schießen, irgendwann aus ihr zurückkehren? Sind vielleicht alle Sonnensysteme wahr, kann ich von einer Sonne zur anderen springen? Gibt's vielleicht ein Matrioschka-Universum, bei dem die Sonnensysteme ineinander stecken? So könnte es jedenfalls für uns aussehen, wenn das Universum tatsächlich nur eine zwei- bis eindimensionale Welle wäre, denn dann würden Welten mit unterschiedlichen Frequenzen aufeinander folgen, und könnten durch Raumflug wie durch Abwarten erreicht werden... Eine Chance für interstellare Flüge, zur Andromeda-Galaxie per Frequenzmodulator, ohne sich von der Erde zu rühren?

Als ob ich nicht schon genug gaga wäre. Welche Überraschungen da oben auf uns warten, ich muss seriöse Wissenschaft noch ein wenig forschen lassen. Sollte irgendwann ein Kopernikus schlau daraus werden und Ihr ganzes Weltbild über den Haufen werfen – was werden Sie tun?

Ehrlich gesagt: Jedesmal, wenn ich von der Eroberung des Weltraums oder, wie in diesem Fall, gar von der der Eroberung des Universum lese, wenn es um Raumfahrtprogramme geht, kann ich einen Lachkrampf kaum unterdrücken. Genauso gut könnte ich von der Eroberung der Erde sprechen, wenn ich einen Fuß vor die Haustür setzte.