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In der Beschreibung des Artikels wird gesagt, dass Dornröschen bei Zahl zweimal aufgeweckt und zweimal befragt wird. Und sie weiß nicht, ob sie das erste Mal aufgewacht ist oder das zweite Mal. Wenn ich eine Münze werfe, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 50%. Aber das Aufwachen und die Befragung über den Münzwurf ist eben nicht gleichzusetzen mit dem Münzwurf selbst. Dornröschen kann beim Aufwachen nicht davon ausgehen, dass zuletzt ein unabhängiger Münzwurf stattgefunden hat. Stattdessen wird der Fall "Münzwurf ergab Zahl" in Bezug auf die Befragung künstlich verdoppelt. Also ich bin ziemlich überzeugt, dass aus der Perspektive der befragten Person die korrekte Antwort für die Wahrscheinlichkeit dass der letzte tatsächlich erfolgte Münzwurf Kopf ergeben hat nur 1/3 beträgt. Etwas anderes wäre es wenn das Experiment immer nach dem ersten Aufwachen abgebrochen wird. So schienen das einige Kommentatoren/innen verstanden zu haben. Aber dann wäre das ganze Gedankenexperiment mit einem einfachen Münzwurf gleichzusetzen und das Schlafmittelexperiment nur prosaisches Beiwerk.

Bei den 2 Lagern werden verschiedene Fragen betrachtet:
1) Auf die Frage nach der "Wahrscheinlichkeit für Zahl" stimmt die Antwort 1/2 IMMER!!!
2) Wenn Dornröschen aber auf Kopf oder Zahl tippen muss (ist aber laut Text nicht die Frage), dann kann sie auch falsch liegen. Bei der Frage nach einem Tipp (Kopf oder Zahl) ist in 1/3 der Fragen Kopf richtig und in 2/3 der Fragen Zahl. Also sollte sie sich immer für Zahl entscheiden (und tippt in 2/3 der Fälle richtig und in 1/3 falsch).

Zitat: "Schließlich könnte man die Münze auch werfen, bevor man Dornröschen in den Schlaf schickt. Durch den Ablauf des Experiments gewinnt sie keinerlei neue Informationen, ... "
Das ist falsch. Sie gewinnt die neue Information, daß sie aufgeweckt wurde, ein Ereignis, das bei "Kopf" doppelt so häufig einritt wie bei Zahl. Deshalb ist die Wahrscheinlichket für "Kopf" doppelt so hoch wie die für "Zahl".

Da die Bezeichnungen fehlen, hier zur Aufklärung: Fängt man mit A an der Spitze oben an, so folgen gegen den (oder im) Uhrzeigersinn die Ecken B, C, D und E. Strecke CD liegt also unten, in deren Mitte M liegt. Die Figur wird in drei Dreiecke zerlegt, indem A mit C und A mit D verbunden wird.
Die in der Lösung angegebene Fläche ist korrekt.

Die Herleitungen sind Mathematisch richtig, aber in Bezug zur Fragestellung nicht.
Für die Frage: Wurde am Montag Kopf oder Zahl geworfen, sind die Ereignisse MZ und Dz nicht unabhängig. Daher dürfen für diese keine eigenen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden. Sie sind mathematisch 1 Ereignis. Somit habe ich nur die Wahl zwischen MK und MZ und diese Wahrscheinlichkeit ist in dem Beispiel 1/2.
Für die Frage: ist es Montag oder Dienstag schaut die Sache anders aus. Da keine Korrelation zwischen dem Ereignis Wecken und dem Münzwurf besteht (geweckt wird immer), kann jedes Wecken als unabhängiges Ereignis gesehen werden. Da es aber 2 Aktionen für den Montag und nur 1 für den Dienstag gibt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist 2/3 und das es Dienstag ist 1/3. Sinngemäß kann die Frage nach der Seite, die sie beim Wecken sieht gesehen werden: 2 Aktionen für Z 1 Aktion für K. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Frage ist wieder Z 2/3 K 1/3
Aus der Sicht des Mittwoch und der Frage wie oft wurdest du geweckt, ist somit der Fall 1 relevant. (es gibt nur 2 unabhängige Möglichkeiten, die mit je 50% Wahrscheinlichkeit eintreten: 1x wecken (immer Montag) oder 2x wecken (immer Montag und Dienstag)

Ich habe mal gelernt, dass zunächst eine Ergebnismenge definiert werden muss, bevor man Wahrscheinlichkeiten angeben kann. Das hängt z. B. damit zusammen, dass auch für sogenannte Ereignisse Wahrscheinlichkeiten existieren; Ereignisse sind aber Teilmengen der Ergebnismenge, d. h. ohne die Ergebnismenge kann ich gar keine Ereignisse festlegen.

Ein Beispiel für unterschiedliche Ergebnismengen zu einem Zufallsversuch ist der Wurf mit zwei Würfeln, bei dem man sich für die Summe der Augenzahlen interessiert.
Eine mögliche Ergebnismenge ist:
S={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Eine andere ist die Menge der geordneten Zahlenpaare:
T={(1|1);(1|2);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;...;...;(6|1);...(6|6)}.
Für die Ergebnismenge S liegt kein Laplace-Experiment vor, weil z. B. die Augensumme/das Ergebnis 7 viel häufiger ist als die Augensumme/das Ergebnis 2. Für die Ergbnismenge T ist der Versuch ein Laplace-Experiment, weil alle 36 Ergebnisse/Zahlenpaare die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Nun zu Dornröschen. Sie wird nur zum Münzwurf befragt, also zur Ergebnismenge
S={Kopf;Zahl} und folglich ist die Wahrscheinlichkeit von Kopf
P({Kopf})=1/2.

Die Idee eine anderen Kommentators, nämlich sich ein Spiel auszudenken, ist dabei ganz interessant: Das Spiel könnte so lauten: Wenn Dornröschen aufgeweckt wird und sie rät richtig, dann erhält sie 50 Euro. Wenn sie sich irrt, dann muss sie 50 Euro zahlen. Welche Spielstrategie soll sie wählen?

Sie sollte natürlich "Zahl" wählen, denn, wenn das Ergebnis "Zahl" war, dann wird sie zweimal gefragt und erhält folglich zweimal 50 Euro. Wenn das Ergebnis des Münzwurfs "Kopf" war, dann würde sie nur einmal 50 Euro erhalten können.
Mit dieser Strategie ist ihr Gewinnerwartungswert folgender:
E(Gewinn)=1/2*100Euro + 1/2*(-50)Euro=25Euro

Die 1/3-Fraktion argumentiert so, als müsse man dieses Spiel so bewerten:
E(Gewinn)=2/3*100Euro + 1/3*(-50)Euro=50Euro, was offenbar keinen Sinn ergibt.bDas liegt daran, dass die beiden "Zahl-Ergebnisse", nämlich (M/Z) und (D/Z), sowohl in die Wahrscheinlichkeit, als auch in den Gewinn einfließen.

Wie auch immer betrachtet die 1/3-Fraktion die Ergebnismenge
T={(M/K);(M/Z),(D/Z)}, aber nicht mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/4 und 1/4, wie ein anderer Kommentator richtig anmerkte.

Vielleicht hilft es, wenn man die zeitliche Abfolge in den Ergebnissen deutlicher macht, also erst Münzwurf, dann Tag:
U={(K/M),(K/D),(Z/M),(Z/D)} mit den Wahrscheinlichkeiten
1/2, 0, 1/4, 1/4.

Leider fehlen in der Lösung die Kennzeichnung der Knoten (A,B,C,etc)!

Wenn Dornröschen mit der Wahrscheinlichkeit p beim Aufwecken die Antwort "Kopf" gibt, dann liegt sie mit der Wahrscheinlichkeit
P=2/3 - 1/3•p richtig. Lösungsansatz: Male ein Baumdiagramm.

Unabhängig davon zeigt die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die Seite Kopf, sofern sie nicht auf dem Rand stehen bleibt, gestohlen wird oder in ein Mauseloch rollt und dergleichen Unwägbarkeiten, was in Märchenschlössern ja nicht auszuschliessen ist.

Die Unsicherheit ist nur ein semantisches Problem. Es ist nicht klar was die Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?" exakt bedeuten soll.

Es wird nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt. Objektiv ist die Münze bereits gefallen und hat einen eindeutigen Status, da besteht keinerlei Unsicherheit mehr, es ist Kopf oder Zahl. Das Ergebnis wurde bereits gemessen, Dornröschen kennt nur das Ergebnis nicht. Da nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt wird, ist es wichtig anzugeben aus wessen Perspektive - das fehlt. Das macht das Problem aber nicht schwierig oder interessant, nur unsauber definiert.

Die 1/3 Fraktion interpretiert es aus Dornröschens Perspektive:
Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit aus meiner Perspektive das ich den aktuellen Zustand der Münze korrekt bezeichne wenn ich sage es ist "Kopf". Oder anders gesagt: Bei unendlicher Wiederholung des Experiments, welchen Anteil an "Kopf" werde ich nach dem Wecken sehen. Hier ist 1/3 offensichtlich richtig, und das lässt sich auch trivial experimentell prüfen.

Die 1/2 Fraktion interpretiert es aus Sicht eines externen Beobachters, bzw. der Perspektive vor dem Wurf:
Wie hoch war die Wahrscheinlichkeit aus Sicht vor dem Münzwurf, bzw. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit pro Experiment (nicht pro aufwachen) Kopf zu sehen. Hier ist natürlich 1/2 richtig, was man mit Dornröschen macht beeinflusst natürlich die Münze nicht. Dornröschen würde mit dieser Antwort nicht das Verhältnis der Ergebnisse nach dem Aufwachen richtig vorhersagen, also in einer gameshow "rate was die Münze zeigt" klar verlieren, aber danach wäre nach dieser Interpretation ja auch nicht gefragt.

Ich würde sagen dass das ganze Problem absichtlich misstverständlich formuliert ist um diese Debatte zu erzeugen. Die ganze Dornröschen Struktur impliziert das man Dornröschens Perspektive annehmen soll. Die Frage an sich ist dann aber wieder allgemein gestellt und fragt nach "Kopf gezeigt hat" und nicht "jetzt Kopf zeigt".
Mit einem einzigen Satz der klarstellt was eigentlich die Frage ist, würde man die ganze Diskussion sofort auflösen.

Für mich ist die Ausgangsfrage zu ungenau gestellt für eine eindeutige Antwort.
Aus meinem Bauchverständnis ist es aber 1/2. Die Münze wird nur ein einziges Mal geworfen. Am Dienstag wird die Münze kein weiteres Mal geworfen sondern lediglich gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist.
Man vermischt also 2 Mengen miteinander: den tatsächlichen Münzwurf und die Anzahl der Schätzungen, bzw. welcher Tag ist. Die Menge an Schätzungen beeinflusst also nicht die Wahrscheinlichkeit, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde. 1/3 wird dann nur verständlich als Arguement, wenn Dornröschen annehmen muss, das Montag=Dienstag, also ein weiteres Mal die Münze geworfen würde. Aber ein nettes Experiment um zu erklären, ob eine Regel unbekannte Wirkungen hat (haben könnte).

Tatsächlich ist dies keiner Diskussion würdig, sondern relativ schnell eindeutig zu beantworten. Anschaulich wird das ganze, wenn man Dornröschen den Vorgang z.B. 100 mal durchlaufen lässt (daran ist sie ja ohnehin gewöhnt). Man hätte dann bei Zufallsverteilung der Münzwurfergebnisse 150 Aufweckungen zu erwarten (50 bei Kopf und (2x50=)100 bei Zahl). Aus ihrer Perspektive ergibt sich daher zum Zeitpunkt jeder Aufweckung, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 die Münze auf die Kopfseite gefallen ist, was auch überhaupt nicht dem widerspricht, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf beim Wurf der Münze bei 1/2 liegt. Dornröschens entscheidende Information ist, dass sie aufgewacht ist. Fast sind wir hier schon beim Cogito Ergo Sum, um die Philosophen auch noch zu beglücken.

Hier werden durch eine leicht verschwurbelte Aufgabenstellung zwei Dinge vermischt:
a) mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigte die Münze Kopf,
b) mit welcher Wahrscheinlichkeit antwortet Dornröschen korrekt.

Wenn man zwei Fragen miteinander vermengt kann es auch keine eindeutige Abtwort geben. So einfach ist das.
Die Antwort für a) ist 1/2, bei b) hängt es von den individuellen Überlegungen Dornröschens ab. Antwortet sie immer gleich, liegt sie zu 50% richtig antwortet sie zufällig

die die Welt nicht braucht?!
Wie kommt man auf ein so sinnloses Experiment? Was soll da überhaupt bewiesen werden? Tatsache ist, dass jeder Münzwurf eine 50:50 WS hat, dass es K oder Z ist, alles andere ist sinnloses Gefasel von einem Problem, das nicht existiert.

Ein Münzwurf mit zwei Seiten kann nur dann zu einer Drittelwahrscheinlichkeit führen, wenn angenommen wird, dass die Münze auf dem Rand stehen bleiben kann - mit gleicher Häufigkeit, wie auf einer der beiden Seiten zu landen.

Alle weiteren Überlegungen interpretieren etwas hinein, was gar nicht gegeben ist.
Ein Wurf ohne Randoption: 1/2
Ein Wurf mit Randoption: 1/3

Also - klar 1/2.

Die erste Frage beträfe den Münzfall. Die Antwort ganz klar 1/2.
Die zweite Frage beträfe Dornröschen. Wenn sie indormiert wurde, dass es drei Moöglichkeiten gibt, dann lautete die Lösung 1/3.
Beide Antworten treffen für die jeweilige Problemlage zu.
Zwei Probleme = zwei Lösungen, oder?