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Beim Kürzen mit x-y muss man x=y ausschließen. Tatsächlich sind auch alle Paare (x,y) mit x=y Lösungen beider Gleichungen.

Bei der Division durch x-y haben Sie zwei Lösungen unterschlagen. Denn x=y löst die Differenzgleichung auch und liefert noch zwei irrationale Lösungen (1 ± √1373) / 2.

WolframAlpha findet natürlich auch alle vier Lösungen.

Jetzt haben sie aber vergessen, eine Division durch 0 auszuschließen.
Nämlich wenn (x-y) = 0 ist, auch in diesem Fall wird die geforderte Gleichung (x-y)(x+y)=-(x-y) eingehalten, und x=y.
Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung führt zu den Lösungen (1+Wurzel(1373))/2 und (1-Wurzel(1373))/2, jeweils identisch für x und y.
Zu den angeführten Zahlenpaaren (18/–19) und (–19/18) kommen somit die beiden weiteren Lösungen (19,0270073.../19,0270073...) und (-18,0270073.../-18,0270073...) hinzu.

Ich bin nur ein Hobbymathematiker, aber m.E. ist die o.a. Lösung unvollständig.
Die Gleichung wird durch (x-y) dividiert, d.h. der Fall (x=y) wird bei dieser Herleitung nicht behandelt (w/ Div. durch 0).
Aber auch der Fall x=y führt zu einer Lösung, nämlich über die Gleichung x^2 - x - 343 =0. Die Ergebnisse für x/y sind dann zwar aus R, aber es war ja nicht verlangt, dass x,y aus N sein müssen.

Die Gleichung (x-y)(x+y) = -(x-y) wird durch (x-y) dividiert. Das ist nur möglich, wenn x ≠ y. Wenn x = y, dann stimmt obige Gleichung auch (0 = 0) und wir erhalten zwei weitere Lösungen: ((1±√1373)/2, (1±√1373)/2).

Hallo Herr Eder,
im Rätsel https://www.spektrum.de/raetsel/welches-zahlenpaar-fuehrt-zu-einer-loesung/2212515 dividieren Sie in einer der Umformungen durch (x-y) und übersehen daher eine weitere Lösung für x=y, nämlich x = y = (1+wurzel(1373))/2. Oder es fehlt in der Aufgabenstellung der Hinweis, dass es sich bei x und y um ganze oder jedenfalls verschiedene Zahlen handeln soll.
Schöne Grüße
Peter Denzlein

Aus der Zeile (x-y)⋅(x+y) = -(x-y) sieht man sofort, dass auch (mindestens) eine Lösung existiert für den Fall x = y.

Die Lösungen sind dann
x = y = (1 + √(137))/2
und
x = y = (1 - √(137))/2

Sehr geehrter Herr Eder,
in Ihrer Algebra-Übung zu "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" teilen Sie auf beiden Seiten durch (x-y) . Das darf man natürlich nur machen, wenn man sich davon überzeugt hat, dass man nicht durch Null teilt. Tatsächlich ging so die Lösung mit y=x verloren. Auch damit erhält man eine quadratische Gleichung x²-x-343 mit den Lösungen 0,5 *(1 +- wurzel(1373))
Der y-Wert entspricht dann jeweils genau dem x-Wert.
Mit freundlichen Grüßen

Dieter Schütt

Manche dieser Rätsel sind mir zu kompliziert, an diesem hatte ich gleich Spaß. Denn wenn 4 Zahlen die Summe 23 ergebe und 5 Zahlen die Summe 28, kann die 5. Zahl ja nur eine 5 sein (28-23=5).
Jetzr musste ich nur noch überlegen, an welchen Stellen diese 5. Zahl steht kann. Es sind alle außer der Mittlerrn. So war das Rätsel ohne Aufstelken von Gleichungen schnell zu lösen.

Gleiche Mustern, Fraktale entstehen durch Funktionen. Hierzu gehören auch die geometrische Funktionen. Die Energieniveau der Kernspaltung weist ähnliche Mustern auf.
Nun, es gibt s9 eine geometrische Funktion, die das ähnliche Muster hervorruft.
Die FUNKTION:
Kegelschnitte sind die folgenden: die Parabel, der Kreis und die Ellipse, die Hyperbel. Der Energieniveau passt als einfachstes Modell der Kreis.
Bemerkung: Ist eine physikalische Eigenschaft mit dem Kreis teilweise beschreibbar, so entspricht die Eigenschaft teilweise auch einer Eigenschaft des Kreises. Ist die Riemannsche Zetafunktion mit dem Kreis verbindbar, so kann die die physikalische Eigenschaft mit der Zetafunktion verbunden werden.
A.) Zetafunktion und der Kreis.
Der Kreis hat eine besondere Eigenschaft, die sich in dem Halbkreis Satz ausdrückt: m^2= p×q (Grund des Thales Satz)
Die Gleichung ist gleich die geometrische Funktion, die zu Riemannscher Zetafunktion bei dem Wert 2 führt.

Ich nehme einen Kreis mit Radius r (r=1,2,.....,n). Sei AB=2r; O=das Origo; C=ein beweglicher Punkt auf dem Umfang.
Die Ausgangsposition: der COB Winkel=90°. C bewegt sich in die Richtung B auf dem Umfang.Voraussetzung: C nicht =B. Der belaufen Weg geht damit zu dem Wert π/2 (Grenzwert).

p(0)=AO=r; p(x)=ein Wert zwischen O und B. q(x)=2r-p(x); P(x) liegt zwischen O und B, so P(x)C(x)=m(x)
Hieraus folgt es: (p(x) + q(x))/r = 1/2

Kehrwert der Funktion:
1/m(x)^2 = (1/p(x)) × (1/ q(x))

Die Summe der Werten von 1/p(x) geht zum Wert π/2, weil die belaufe Länge von C(x) hat den Grenzwert π/2.
Es ist der Summenwert von 1/q(x) zu bestimmen.
Nach dem obigen Ergebnis:
m(1/2)^2=p(r+(1/2)) × q(2r-r-(1/2))=
p(r+(1/2)) × q(r-(1/2))
Hieraus folgt es: C(1/2)B=r. Damit ist die Dreieck OC(1/2)B eine gleichseitige Dreieck mit Innenwinkel 60°.
Die Summe der Werten von 1/q(x) geht zum Wert π/3
Dem entsprechend geht die Summe von 1/m(x)^2 zum Wert (π/2) × (π/3)
Folge: Die Zetafunktion beschreibt eine allgemein gültige Eigenschaft der Kreise.

Weitere Eigenschaft des Kreises: jeder Kreis ist doppelt symmetrisch. Dementsprechend gibt es vier Geraden in Bezug auf die Zetafunktion bei dem Wert 2:
x=-/+ 1/2 und y=-/+ 1/2

Weitere Eigenschaft des Kreises: zu m(x) als Radius, der vier mal im Kreis Auftritt, gehört ein Umfang.
Die Werte p(x) und q(x) kann man auch als Radius deuten.

Die Eigenschaften schaffen komplexe Mustern und Fraktale, die sich unendlich wiederholen, was in der Physik zum Quantenchaos führt.

Bemerkung: Wurzelziehen aus negativen Zahlen bedeutet geometrisch, dass das Ergebnis wird mit 90° auf die imaginäre Achse platziert: Wurzel(-a)= a^(1/2) × a^(ti)
Ist -a eine Nullstelle von einer Funktion, dann liegt die auf der Gerade 1/2 + ti.

Die Geraden x=-/+ 1/2 und y=-/+ (1/2 + it) des Kreises sind die Symetrieachsen der Mustern, der Fraktale, auf der die Mustern und Fraktale gemeinsame Werte haben. Diese gemeinsamen Werte sind die Nullstellen einer Funktion.
Diese Funktion, nach der Eigenschaften des Kreises, kann nur die Zetafunktion bei den Wert 1/2 + it sein.

Der Eigenschaften des Kreises entsprechend gehört dem Kreis eine 4 × (r^2) × (π^2) wertige Fläche (2×p(x)×π × 2×q(x)×π).
Ist r=1, dann die Fläche bemisst:
4 × π × π
Folglich: Dem Komplex Origo gehört zwei Werte: einmal der Wert Null und einmal der Wert 4×π^2 als eine komplexe Flächeneinheit.

Weitere Bemerkung: der Radius r kann auch so aufgefasst werden, dass r dem Radius der Energieniveau entspricht.
Folglich: E^2 < 4×(r^2)×(π^2)×(Planck Energie)

Es geht auch ohne vollständige Induktion und der intuitiven Formel n^3+n indem man zweimal die Formel für die Summe der ersten n Zahlen verwendet. Vor der 50 Reihe treten 1+2+3+4+...+49 =25×49 gerade Zalen auf. Die 50. Reihe beginnt dann mit 25×49×2+2 und geht bis 25×49×2+100 Nochmalige Anwendung der Summenformel ergibt die gleiche Summe.

... verkürzt sich und streckt sich um voranzukommen.

Liegt er auf a-b-c-d ( Wert = 23 ) streckt er sich auf e hinaus und nimmt um 5 zu.
e = 5.
Er verkürzt sich um a um so von 28 auf 23 kleiner zu werden.
a = 5.
Nun streckt er (b-c-d-e) sich auf f = 5 ( wieder 28 ).
Er kürzt sich um b = 5 ( wieder 23 ).

und mach so fort bis g, wo er gekürzt den Wert 23 hat.

a-b-c- und e-f-g sind 5 -> d muss 8 sein.

mfg


Er streckt sich g = 5.
Er kürzt sich um c = 5.

a-b-c und e-f-g sind 5.


Jetzt ist er
Nun verkürtz er sich

Legt man ein 4er-Fenster über die 7stellige Zahl und bewegt es nach rechts, dann müssen die links wegfallende Zahl und die rechts hinzukommende Zahl gleich sein.
Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die 7stellige Zahl den Aufbau aaabaaa haben muss.
Daraus ergibt sich unmittelbar der Ansatz 3a+b=23 und 4a+b=28. Subtrahiert man die erste von der zweiten Gleichung ergibt sich sofort a=5, woraus schnell b=8 folgt.

Ich störe mich etwas an diesem Satz:
"Der Algorithmus versucht dann, die zahlreichen Parameter einer extrem komplizierten Funktion f(xi) anzupassen, damit sie die Werte yi möglichst gut reproduziert."

Das kleine Beispiel mit der linearen Regression und den 4 Datenpunkten zeigt, dass es bei der Regression ganz erheblich auf das Modell ankommt, das der Aufgabe zugrunde liegt.
Wenn es nur darauf ankäme, eine Funktion zu finden, die die Datenpunkte bestmöglich annähert, dann könnte man das Polynom vom Grad 3 angeben, das alle Punkte miteinander verbindet. Die Lagrangesche Interpolationsformel liefert hierfür ein konstruktives Verfahren.
Der Witz ist, dass ich a priori einModell habe, das mathematisch im Beispiel eine lineare Funktion und theoretisch irgendeine Funktion ist, deren Parameter ich optimal an die Datenbasis anpassen möchte.

Ganz anders bei der KI. Hier habe ich in den meisten Fällen kein mathematisches Modell, dessen Parameter ich anpasse, sondern ein neuronales Netz. Das mathematische Modell entwickelt sich gewissermaßen erst während des Trainings und der ganzen Sache liegt die Hoffnung zugrunde, dass das herangereifte Modell, das die Trainingsdaten hinreichend gut bewältigt hat, dann auch Daten sinnvoll bearbeitet, die nicht zu den Trainingsdaten gehören, denn wie die KI zu ihrem Ergebnis gekommen ist, wie genau also das mathematische Modell aussieht, bleibt in der Regel verborgen.

Man kann also zusammenfassen:
Regression (Gauß) -> Modellorientiert
KI (ChatGPT et. al.) -> Datenorientiert
Insofern halte ich beides für nicht unbedingt vergleichbar und dementsprechend wenig Gauß steckt in ChatGPT.

Das Problem bei der Beweisführung über vollständige Induktion ist häufig, dass man erstmal die richtige Formel finden muss, respektive sie in einer Aufgabenstellung vermeintlich "vom Himmel fällt" und sich der mathematische Knobelfreund fragt, wie man darauf kommt. So auch hier. Klar, wenn man die Summenformel anhand der ersten Reihen prüft, merkt man das sie stimmen könnte. Aber: sie lässt sich auch herleiten!
Man schreibt sich die Summe einer Reihe n (Sn) etwas um. Dazu nimmt man die Vorgängerzahl der Reihe n-1 (Vn), zieht sie von allen Elementen der Reihe n ab und schreibt sie n-Mal dazu. Damit ist
Sn = Vn*n + 2+4+6+...
Der zweite Teil des Terms lässt sich anders schreiben, so dass:
Sn = Vn*n + 2*(1+2+3+...)
Der Ausdruck in der Klammer ist nach Gauß: n*(n+1)/2, so dass man zusammenfassen kann:
Sn = Vn*n + n*(n+1)
Was ist nur Vn in Bezug auf die Reihe n?
Nun, die Anzahl der Elemente im gesamten Dreieck vor der Reihe n ist wieder nach Gauß: 1+2+...+ (n-1) und der Wert der Zahl am Ende der Reihe n-1 ist das Doppelte der Anzahl. Also:
Vn = 2*(n-1)*n/2 = (n-1)*n
Setzt man das in die Summenformel ein, erhält man:
Sn = (n-1)*n*n + n*(n+1) = n^3 + n
(q.e.d.)