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Ich verstehe schon die Frage "Wie viele Ziffern haben die beiden Zahlen 2**2021 und 5**2021 in Summe, wenn man sie ausmultipliziert?" nicht ganz. 2**2021 und 5**2021 sind Zahlen, wo soll was ausmultipliziert werden? und dann gar in Summe?!? Gemeint ist wohl, wieviele Ziffern hat das Produkt aus 2**2021 und 5**2011 in dezimaler Darstellung. Da kommt man ja sofort auf 10**2021 also 2022 Ziffern - völlig ohne Ungleichungen. Oder komme ich auf das richtige Ergebnis ohne die Aufgabe verstanden zu haben? mfg. g.a.
Wenn man in der Aufgabenskizze die beiden Radien r1 und r2 auf der senkrechten Linie durch die Halbkreismittelpunkte vertauscht, also von oben erst r1, dann r2 abträgt, gelangt man zu einem Punkt M, der sich als Mittelpunkt des großen Vollkreises herausstellt. Denn die Verbindungen der oberen und der unteren Halbkreisschnittpunkte mit dem Vollkreis jeweils mit M sind alle gleich groß, nämlich R vom Vollkreis. Dies wird sichtbar, wenn man die 4 kongruenten (!!) Dreiecke betrachtet, die sich mit diesen Verbindungen als Hypothenuse und jeweils mit den abgetragenen (und auf der Senkrechten im ersten Schritt vertauschten) Halbkreisradien bilden. Es gilt jeweils r1² + r2² = R² nach Pythagoras. Also insbesondere pi/2r1² + pi/2r2² = pi/2R². Die Summe der Flächen der beiden Halbkreise ist also genau die Hälfte der Vollkreisfläche.
Ich hätte gerne eine Skizze mitgeschickt oder verlinkt, was beides nicht möglich ist. Außer man macht sich die Mühe den Link händisch zu copy&pasten. www.grambitter.net/spektrumraetsel.jpg
so sehr ich die hier vorgestellten Rätsel schätze - ganz oft vermisse ich eine gewisse Präzision, aber vielleicht bin ich auch nur etwas arg kleinlich...
"Der erste Würfel landet mit 1/5 bei 1, der zweite mit 1/5 bei 6. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind unverändert."
schon der zweite Satz kann ja nicht stimmen, denn wenn sich eine Wahrscheinlichkeit (x) innerhalb einer KOMPLETTEN Gruppe ändert muss sich mindestens auch eine andere Wahrscheinlichkeit (1-x) ändern. ABER der einleitenden Kurzfassung seinen ein paar kleine Ungenauigkeiten gerne verziehen...
Nicht aber im Haupttext denn: "Zwei Spielwürfel mit den Augenzahlen von 1 bis 6 sind durch Hohlräume und Gewichte in ihrem Inneren gefälscht worden. Dadurch hat sich bei dem einen Würfel die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 2 bis 6 sind gleich groß. Beim zweiten Würfel hat sich die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 1 bis 5 sind gleich groß." ist leider kaum besser, da wie jeder wissen sollte
es bei zB einem Münzwurf durchaus möglich ist, dass die Münze auf dem Rand landet (eine weitere Möglichkeit, neben Kopf oder Zahl) und als hätte jemand diese Möglichkeit vorausgeahnt ist auf dem Bild hier auch noch ein Würfel zu sehen welcher auf seiner Ecke steht / zu stehen scheint...
unter der Voraussetzung, dass es für jeden der besagten Würfel nur diese 6 Möglichkeiten gibt wäre zumindest der zweite Text im Hinblick auf die Lösung eindeutig (glaube ich ;-) davon ist im Text aber an keiner Stelle die Rede !
Es gibt einen anderen Weg, die Lösung zu bestimmen: Nennen wir den Mittelpunkt des gelben Kreises (Radius r) M, den Mittelpunkt, der zum oberen kleinen (Halb)Kreis gehört, Ma und den Mittelpunkt, der zum unteren großen (Halb)Kreis gehört, Mb. Ferner ist MC = MB = r. Mit Bestimmung der Länge MMa hätte man direkt eine Beziehung zwischen a, MMa und r, da r^2 = MMa^2 + a^2. Außerdem ist auch r^2 = MMb^2 + b^2. Daher ist MMa^2 + a^2 = MMb^2 + b^2, was trivialerweise erfüllt ist, wenn MMa = b und MMb = a ist. Dieses lässt sich aber auch aus der Beziehung MMa + MMb = a + b ableiten. Stellt man dieses nach MMb um und setzt es ist in MMa^2 + a^2 = MMb^2 + b^2 ein, erhält man MMa = b. Damit ist r^2 = b^2 + a^2 und man erhält wiederum, dass die beiden Halbkreise die Hälfte der Fläche des gelben Kreises ausmachen.
Hallo, auch ich möchte mich den beiden Kommentaren anschließen (1. Mario, 2. Dennis)
wie ich bereits mehrfach bzgl anderer Rätsel an die Reaktion geschrieben habe empfinde ich Sätze oder gewisse "Voraussetzungen" oftmals als nicht eindeutig so auch die "Interpretation" (der zwei Wolken Symbole in der unteren Zeile)
allerdings müssen wir mathematisch gesehen dann ebenfalls anerkennen, dass die Auflösung uneingeschränkt richtig ist denn "Es gibt zwei Lösungen" bedeutet keineswegs, dass es ZWEI UND NUR ZWEI Lösungen gibt ;-)
Für mich sind die beiden Wolken am Ende eine 44, alternativ eine 16, denn 4 × 4 wäre für mich nachvollziehbarer als die gerechneten 2 × 4 in der Lösung. Also 12 + 5 × 44 = 232 bzw. 12 + ( -6 ) × 44 = -252 oder 12 + 5 × 16 = 92 bzw. 12 + (-6) × 16 = -84
Die Erklärung und das Ergebnis sind falsch. Denn: Wolke+Wolke +Wolke= 12 Bedeutet: Wolke =4 Unten steht aber nicht Wolke + Wolke sondern: Wolke Wolke was bedeutet 44 Dem entsprechend müssen die Zahlen 5 und -6 mit 44 Mal genommen werden. Ergebnis also 232 und -276
Liebe Redaktion, kleiner Hinweis: der Beweis von Gödel, dass die KH innerhalb von ZFC nicht widerlegt werden kann, stammt aus 1938 und nicht - wie im Artikel (S. 16, rechte Spalte, Mitte) angeführt - aus 1940. Cohens "Gegenstück" stammt tatsächlich aus 1963.
Mit welchen Gewicht kann man möglichst gut wiegen?
Ich lese immer wieder sehr gerne die interessanten mathematischen Aufgaben. Beim obigen Rätsel bin ich aber mit der präsentierten Lösung nicht einverstanden.
Es gibt nämlich nicht zwei, sondern drei Möglichkeiten für einen Gewichtsstein: dieser wird gar nicht verwendet (0), dieser liegt in der rechten Waagschale (+1) und dieser liegt (als Gegengewicht) in der linken Waagschale (-1), wo sich auch das zu ermittelnde Gewicht befindet. Da negative Gewichte sowie Gewicht mit 0 nicht existieren, gibt es so insgesamt ((3 hoch n) - 1) / 2 Möglichkeiten. Die Gewichte müssen Potenzen von 3 sein: 1, 3, 9, 27, usw. Die Gewichte lassen sich wie folgt wiegen:
1 = 1 2 = 3 - 1 3 = 3 4 = 3 +1 5 = 9 - 3 - 1 6 = 9 - 3 7 = 9 + 1 - 3 8 = 9 - 1 9 = 9 10 = 9 + 1 usw. Mit diesem System braucht man stets weniger Gewichtssteine, als würde man Potenzen von 2 verwenden.
Die ursprüngliche Aufgabe mit 40 lässt sich so auch korrekt beantworten: 40 = 27 + 9 + 3 + 1, man sieht sehr einfach, dass 40 sich nicht als Summe von Potenzen von 2 schreiben lässt.
Wenn ich lese, dass etwas dem Klima nützt oder freundlich zu ihm ist, zieht sich mir der Magen zusammen. Es wird suggeriert, dass das Klima eine Art Organismus sei, der gerade so wie er jetzt ist, gesund und richtig ist. Wissenschaftlich betrachtet ist das absurd. Diese Sprache beleuchtet nebenbei auch die Widersprüchlichkeit, mit der sich die Tonangebenden, sagen wie mal die "Progressiven", auf "die Wissenschaft" berufen, sofern es ihre Argumentation zu stützen scheint. Klima ist einfach die Bezeichnung für die statistischen Wetterdaten eines größeren Zeitraums. Punkt. Dem kann man nicht "schaden". Hier in der Region ist die Grube Messel, mit Tieren einer viel wärmeren Zeit wie Krokodilen. War das die Hölle auf Erden, eine Zeit des Leidens für das Klima? Natürlich nicht. Die Annahme, dass der statische Status Quo das einzig Akzeptable sei, und man sogar über Geo-Engineering nachdenkt, ist höflich gesagt unsinnig. Was es aber gibt, sind die Interessen der Menschen am Status Quo. Weiter lässt sich das hier und jetzt nicht ausführen.
Da wir meist wie selbstverständlich die klassische Logik benutzen ist uns meist nicht klar, dass unsere Beweise und Folgerungen stark von der benutzten Logik abhängen.
Ich habe eine neue Aussagenlogik, die Stufenlogik entwickelt, die um eine zusätzliche Dimension erweitert ist, die Stufen 0, 1, 2, 3, … Man kann sich das wie bei den reellen Zahlen vorstellen, die zu den komplexen Zahlen erweitert werden.
Mit Stufenlogik gibt es viel weniger Widersprüche und Widerspruchsbeweise. Denn eine Aussage A muss jeweils einer Stufe k zugeordnet werden, um einen Wahrheitswert zu besitzen. Und dabei kann die Aussage A z.B. in Stufe k wahr sein und in Stufe k+1 falsch, ohne dass dies ein Widerspruch ist.
Im Diagonalisierungsbeweis von Cantor treten nun mit Stufenlogik unterschiedliche Stufen auf, also kein Widerspruch mehr.
In der Mengenlehre, die sich mit Stufenlogik definieren lässt gibt es daher nur ein Unendlich (das abzählbar Unendliche der natürlichen Zahlen).
Die Menge aller Mengen ist dort auch eine (abzählbare) Menge.
Auch viele andere klassischen Beweise (Begründungstrilemma, Halteproblem der Informatik und wohl auch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze) gelten mit Stufenlogik nicht mehr, wie ich meine ein Grund, sich näher mit ihr zu befassen.
(Denn für den Alltag wenn die Wahrheiten nicht stufenabhängig sind ergeben beide die gleichen Resultate.)
Die Fragestellung verrät indirekt mangels Angaben, dass das Verhältnis der Flächensumme der Halbkreise zum Vollkreis fix ist und nicht vom Verhältnis der Halbkreise zueinander abhängt. Wenn man nun den einen maximiert und den anderen auf Null staucht, kommt man auf einen Halbkreis mit gleichem Radius wie der Vollkreis.
Ich möchte eine Alternative Lösung vorschlagen, die zugleich ein schönes Verhältnis offenbart, welches man zur Konstruktion einer solchen Figur nutzen kann. Mann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt: r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta). Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus: sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta) Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt: sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4) Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen! Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha: a^2*pi/2 + b^2*Pi/2 = r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2 = r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2) = r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.
Wie viele Ziffern haben die beiden Zahlen 2 hoch 2021 und 5 hoch 2021 in Summe?
01.02.2022, Günter Abrahammfg. g.a.
Warum 16 oder 44 und nicht 4+4
31.01.2022, MathiasElegantere Lösung zum "Wie groß ist Gesamtfläche der beiden Halbkreise?"
31.01.2022, Peter GrambitterDenn die Verbindungen der oberen und der unteren Halbkreisschnittpunkte mit dem Vollkreis jeweils mit M sind alle gleich groß, nämlich R vom Vollkreis.
Dies wird sichtbar, wenn man die 4 kongruenten (!!) Dreiecke betrachtet, die sich mit diesen Verbindungen als Hypothenuse und jeweils mit den abgetragenen (und auf der Senkrechten im ersten Schritt vertauschten) Halbkreisradien bilden.
Es gilt jeweils r1² + r2² = R² nach Pythagoras.
Also insbesondere pi/2r1² + pi/2r2² = pi/2R².
Die Summe der Flächen der beiden Halbkreise ist also genau die Hälfte der Vollkreisfläche.
Ich hätte gerne eine Skizze mitgeschickt oder verlinkt, was beides nicht möglich ist. Außer man macht sich die Mühe den Link händisch zu copy&pasten.
www.grambitter.net/spektrumraetsel.jpg
eine wichtige Voraussetzung feht
31.01.2022, Oliver Fiedlerso sehr ich die hier vorgestellten Rätsel schätze - ganz oft vermisse ich eine gewisse Präzision, aber vielleicht bin ich auch nur etwas arg kleinlich...
"Der erste Würfel landet mit 1/5 bei 1, der zweite mit 1/5 bei 6.
Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind unverändert."
schon der zweite Satz kann ja nicht stimmen, denn
wenn sich eine Wahrscheinlichkeit (x) innerhalb einer KOMPLETTEN Gruppe ändert muss sich mindestens auch eine andere Wahrscheinlichkeit (1-x) ändern.
ABER der einleitenden Kurzfassung seinen ein paar kleine Ungenauigkeiten gerne verziehen...
Nicht aber im Haupttext denn:
"Zwei Spielwürfel mit den Augenzahlen von 1 bis 6 sind durch Hohlräume und Gewichte in ihrem Inneren gefälscht worden. Dadurch hat sich bei dem einen Würfel die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 2 bis 6 sind gleich groß. Beim zweiten Würfel hat sich die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 1 bis 5 sind gleich groß."
ist leider kaum besser, da wie jeder wissen sollte
es bei zB einem Münzwurf durchaus möglich ist, dass die Münze auf dem Rand landet (eine weitere Möglichkeit, neben Kopf oder Zahl)
und als hätte jemand diese Möglichkeit vorausgeahnt
ist auf dem Bild hier auch noch ein Würfel zu sehen welcher auf seiner Ecke steht / zu stehen scheint...
unter der Voraussetzung, dass es für jeden der besagten Würfel nur diese 6 Möglichkeiten gibt
wäre zumindest der zweite Text im Hinblick auf die Lösung eindeutig
(glaube ich ;-) davon ist im Text aber an keiner Stelle die Rede !
Anmerkung zum Rätsel "Wie groß ist Gesamtfläche der beiden Halbkreise?"
31.01.2022, Martin QuedzuweitDaher ist MMa^2 + a^2 = MMb^2 + b^2, was trivialerweise erfüllt ist, wenn MMa = b und MMb = a ist. Dieses lässt sich aber auch aus der Beziehung MMa + MMb = a + b ableiten. Stellt man dieses nach MMb um und setzt es ist in MMa^2 + a^2 = MMb^2 + b^2 ein, erhält man MMa = b.
Damit ist r^2 = b^2 + a^2 und man erhält wiederum, dass die beiden Halbkreise die Hälfte der Fläche des gelben Kreises ausmachen.
Mindestens uneindeutig
31.01.2022, oliver fiedlerwie ich bereits mehrfach bzgl anderer Rätsel an die Reaktion geschrieben habe
empfinde ich Sätze oder gewisse "Voraussetzungen"
oftmals als nicht eindeutig
so auch die "Interpretation" (der zwei Wolken Symbole in der unteren Zeile)
allerdings müssen wir mathematisch gesehen
dann ebenfalls anerkennen,
dass die Auflösung uneingeschränkt richtig ist
denn
"Es gibt zwei Lösungen"
bedeutet keineswegs,
dass es ZWEI UND NUR ZWEI Lösungen gibt ;-)
Die Beiden haben Recht!
31.01.2022, AndiWolke Wolke kann nicht 8 sein! Mit welcher Begründung?
16 leuchtet ein und 44 ebenso!
Deutung der beiden Wolken
31.01.2022, DennisAlso 12 + 5 × 44 = 232 bzw. 12 + ( -6 ) × 44 = -252
oder
12 + 5 × 16 = 92 bzw. 12 + (-6) × 16 = -84
Falsche Erklärung- Falsches Ergebnis
31.01.2022, MarioDenn: Wolke+Wolke +Wolke= 12
Bedeutet: Wolke =4
Unten steht aber nicht Wolke + Wolke sondern:
Wolke Wolke was bedeutet 44
Dem entsprechend müssen die Zahlen 5 und -6 mit 44 Mal genommen werden. Ergebnis also 232 und -276
Kleiner Fehler in der Jahreszahl zu Gödels Beweis
30.01.2022, Wolfgang Rohringerkleiner Hinweis: der Beweis von Gödel, dass die KH innerhalb von ZFC nicht widerlegt werden kann, stammt aus 1938 und nicht - wie im Artikel (S. 16, rechte Spalte, Mitte) angeführt - aus 1940. Cohens "Gegenstück" stammt tatsächlich aus 1963.
Hemmes Mathematisches Rätsel 25.01.2022
30.01.2022, Tibor DudásIch lese immer wieder sehr gerne die interessanten mathematischen Aufgaben. Beim obigen Rätsel bin ich aber mit der präsentierten Lösung nicht einverstanden.
Es gibt nämlich nicht zwei, sondern drei Möglichkeiten für einen Gewichtsstein: dieser wird gar nicht verwendet (0), dieser liegt in der rechten Waagschale (+1) und dieser liegt (als Gegengewicht) in der linken Waagschale (-1), wo sich auch das zu ermittelnde Gewicht befindet. Da negative Gewichte sowie Gewicht mit 0 nicht existieren, gibt es so insgesamt ((3 hoch n) - 1) / 2 Möglichkeiten. Die Gewichte müssen Potenzen von 3 sein: 1, 3, 9, 27, usw.
Die Gewichte lassen sich wie folgt wiegen:
1 = 1
2 = 3 - 1
3 = 3
4 = 3 +1
5 = 9 - 3 - 1
6 = 9 - 3
7 = 9 + 1 - 3
8 = 9 - 1
9 = 9
10 = 9 + 1
usw.
Mit diesem System braucht man stets weniger Gewichtssteine, als würde man Potenzen von 2 verwenden.
Die ursprüngliche Aufgabe mit 40 lässt sich so auch korrekt beantworten: 40 = 27 + 9 + 3 + 1, man sieht sehr einfach, dass 40 sich nicht als Summe von Potenzen von 2 schreiben lässt.
Nützt dem Klima?
30.01.2022, Thomas BodeDiese Sprache beleuchtet nebenbei auch die Widersprüchlichkeit, mit der sich die Tonangebenden, sagen wie mal die "Progressiven", auf "die Wissenschaft" berufen, sofern es ihre Argumentation zu stützen scheint.
Klima ist einfach die Bezeichnung für die statistischen Wetterdaten eines größeren Zeitraums. Punkt. Dem kann man nicht "schaden". Hier in der Region ist die Grube Messel, mit Tieren einer viel wärmeren Zeit wie Krokodilen. War das die Hölle auf Erden, eine Zeit des Leidens für das Klima? Natürlich nicht. Die Annahme, dass der statische Status Quo das einzig Akzeptable sei, und man sogar über Geo-Engineering nachdenkt, ist höflich gesagt unsinnig. Was es aber gibt, sind die Interessen der Menschen am Status Quo. Weiter lässt sich das hier und jetzt nicht ausführen.
Die Art der Unendlichkeiten ist von der Art der Logik abhängig
29.01.2022, Oskar Trestonedass unsere Beweise und Folgerungen stark von der benutzten Logik abhängen.
Ich habe eine neue Aussagenlogik, die Stufenlogik entwickelt,
die um eine zusätzliche Dimension erweitert ist, die Stufen 0, 1, 2, 3, …
Man kann sich das wie bei den reellen Zahlen vorstellen, die zu den komplexen Zahlen erweitert werden.
Mit Stufenlogik gibt es viel weniger Widersprüche und Widerspruchsbeweise.
Denn eine Aussage A muss jeweils einer Stufe k zugeordnet werden, um einen Wahrheitswert zu besitzen.
Und dabei kann die Aussage A z.B. in Stufe k wahr sein und in Stufe k+1 falsch, ohne dass dies ein Widerspruch ist.
Im Diagonalisierungsbeweis von Cantor treten nun mit Stufenlogik unterschiedliche Stufen auf, also kein Widerspruch mehr.
In der Mengenlehre, die sich mit Stufenlogik definieren lässt
gibt es daher nur ein Unendlich
(das abzählbar Unendliche der natürlichen Zahlen).
Die Menge aller Mengen ist dort auch eine (abzählbare) Menge.
Auch viele andere klassischen Beweise (Begründungstrilemma, Halteproblem der Informatik
und wohl auch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze)
gelten mit Stufenlogik nicht mehr,
wie ich meine ein Grund, sich näher mit ihr zu befassen.
(Denn für den Alltag wenn die Wahrheiten nicht stufenabhängig sind
ergeben beide die gleichen Resultate.)
Wer vor Details und meiner eigenwilligen Notation nicht zurückschreckt,
hier ein Link zur Stufenlogik:
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/
Gruß
Trestone
Lösung für Faule ;-)
29.01.2022, Martin GruberAlternative Lösung
29.01.2022, Thomas KlingbeilMann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt:
r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta).
Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus:
sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta)
Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt:
sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4)
Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha
Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen!
Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha:
a^2*pi/2 + b^2*Pi/2
= r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2
= r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2)
= r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.