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Wie haben Sie es geschafft, selbst bei der graphischen
Lösung die falschen Maße anzugeben?

x= -19; y= 18
x= 18; y= -18
Und weil 2 Parabeln 4 Schnittpunkte haben:
x = 1/2 - √(1373)/2, y = 1/2 - √(1373)/2 ____ (18.027)
x = 1/2 + √(1373)/2, y = 1/2 + √(1373)/2 ___ (19.027)

Wenn Sie die Gleichung durch x-y teilen, dürfen Sie das nur tun, wenn x-y nicht Null ist. D.h. der Fall x=y ist gesondert zu betrachten und liefert zwei zusätzliche Lösungspaare: x=y=(1+wurzel(1373))/2 und x=y=(1-wurzel(1373))/2

In Hans-Karl Eders Artikel "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" wurde an einer Stelle zu Beginn stillschweigend eine Gleichung durch (x-y) geteilt. Dies ist aber nur möglich, wenn x ungleich y ist.

Für den Fall x=y ergeben beide Ausgangsgleichungen dieselbe quadratische Gleichung x^2-x=343, deren Lösungen zwei zusätzliche Lösungspaare des Originalsystems darstellen, nämlich x=y=0.5±sqrt(343.25).

(((7×z)-1)÷((8×z)+1))=4/5
^^^ Ist im Prinzip das Problem auf direktestmöglichem Weg

z = 3, kann man ausprobieren, da wir wissen, dass z die Form (int) hat, weil auch das Ergebnis (int) sein muss und die multiplikatoren (int) sind.
Jeweils den Oberen bzw. unteren Bruch lösen:
7*3 - 1 = 21 - 1 = 20
8*3 + 1 = 24 + 1 = 25

Ist etwas simpler, wenn man direkt zur Gleichug kommt.
Ausserdem braucht man nur 1 Variable.

* (int) integer -> Ganzzahl

Die Zetafunktion (bei dem Wert 2) ist mit den Kreisen von Radius n eindeutig (Es ist beweisbar, durch den Halbkreis Satz.) verbunden.
Dementsprechend ist die Vermutung wahr, falls mindestens eine geometrische Funktion mit reellen Werten existiert, derer komplexen Lösungen (unendlich viele) erfüllen die Gleichung:
1/2 + ti=0
Eine solche geometrische Funktion habe ich gefunden, die die Vermutung bestätigt.
Die wichtigste Information ist der Halbkreis Satz.
(Sie haben einmal einen Artikel über solchen Beweis geschrieben. Den Beweis teile ich jetzt nicht mit.

Ich werde ihn vielleicht an die Redaktion schicken, hier als ein Beitrag. Ich muss mich noch entscheiden. Der Hacken ist, habe ich Recht, sowieso wird es nichts passieren. Die Redaktion hat keine Interesse daran, ob ein Leser Recht hat oder nicht. Und der Beitrag wird nicht veröffentlicht.)

Beim Kürzen mit x-y muss man x=y ausschließen. Tatsächlich sind auch alle Paare (x,y) mit x=y Lösungen beider Gleichungen.

Bei der Division durch x-y haben Sie zwei Lösungen unterschlagen. Denn x=y löst die Differenzgleichung auch und liefert noch zwei irrationale Lösungen (1 ± √1373) / 2.

WolframAlpha findet natürlich auch alle vier Lösungen.

Jetzt haben sie aber vergessen, eine Division durch 0 auszuschließen.
Nämlich wenn (x-y) = 0 ist, auch in diesem Fall wird die geforderte Gleichung (x-y)(x+y)=-(x-y) eingehalten, und x=y.
Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung führt zu den Lösungen (1+Wurzel(1373))/2 und (1-Wurzel(1373))/2, jeweils identisch für x und y.
Zu den angeführten Zahlenpaaren (18/–19) und (–19/18) kommen somit die beiden weiteren Lösungen (19,0270073.../19,0270073...) und (-18,0270073.../-18,0270073...) hinzu.

Ich bin nur ein Hobbymathematiker, aber m.E. ist die o.a. Lösung unvollständig.
Die Gleichung wird durch (x-y) dividiert, d.h. der Fall (x=y) wird bei dieser Herleitung nicht behandelt (w/ Div. durch 0).
Aber auch der Fall x=y führt zu einer Lösung, nämlich über die Gleichung x^2 - x - 343 =0. Die Ergebnisse für x/y sind dann zwar aus R, aber es war ja nicht verlangt, dass x,y aus N sein müssen.

Die Gleichung (x-y)(x+y) = -(x-y) wird durch (x-y) dividiert. Das ist nur möglich, wenn x ≠ y. Wenn x = y, dann stimmt obige Gleichung auch (0 = 0) und wir erhalten zwei weitere Lösungen: ((1±√1373)/2, (1±√1373)/2).

Hallo Herr Eder,
im Rätsel https://www.spektrum.de/raetsel/welches-zahlenpaar-fuehrt-zu-einer-loesung/2212515 dividieren Sie in einer der Umformungen durch (x-y) und übersehen daher eine weitere Lösung für x=y, nämlich x = y = (1+wurzel(1373))/2. Oder es fehlt in der Aufgabenstellung der Hinweis, dass es sich bei x und y um ganze oder jedenfalls verschiedene Zahlen handeln soll.
Schöne Grüße
Peter Denzlein

Aus der Zeile (x-y)⋅(x+y) = -(x-y) sieht man sofort, dass auch (mindestens) eine Lösung existiert für den Fall x = y.

Die Lösungen sind dann
x = y = (1 + √(137))/2
und
x = y = (1 - √(137))/2

Sehr geehrter Herr Eder,
in Ihrer Algebra-Übung zu "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" teilen Sie auf beiden Seiten durch (x-y) . Das darf man natürlich nur machen, wenn man sich davon überzeugt hat, dass man nicht durch Null teilt. Tatsächlich ging so die Lösung mit y=x verloren. Auch damit erhält man eine quadratische Gleichung x²-x-343 mit den Lösungen 0,5 *(1 +- wurzel(1373))
Der y-Wert entspricht dann jeweils genau dem x-Wert.
Mit freundlichen Grüßen

Dieter Schütt

Manche dieser Rätsel sind mir zu kompliziert, an diesem hatte ich gleich Spaß. Denn wenn 4 Zahlen die Summe 23 ergebe und 5 Zahlen die Summe 28, kann die 5. Zahl ja nur eine 5 sein (28-23=5).
Jetzr musste ich nur noch überlegen, an welchen Stellen diese 5. Zahl steht kann. Es sind alle außer der Mittlerrn. So war das Rätsel ohne Aufstelken von Gleichungen schnell zu lösen.