Man kann mit einiger Sicherheit davon ausgehen, dass das Wort "Fraktal" und die unzähligen Bilder vom Apfelmännchen und seinen Verwandten nie das große Publikum erreicht hätten, wenn nicht Benoît Mandelbrot sich so unermüdlich für ihre Popularisierung eingesetzt hätte. Insofern hat Mandelbrot mehr für die Verbreitung von Mathematik unter das Volk getan als jeder andere Zeitgenosse.

Seine Arbeiten kamen zu einem günstigen Zeitpunkt. Er selbst hatte die berühmte Menge, die inzwischen seinen Namen trägt, 1979 noch als ziemlich unansehnliche Ansammlung schwarzer Punkte auf einem Computerausdruck kennengelernt. Nur wenige Jahre danach, Anfang der 1980er, gerieten die ersten PCs in die Hände des Publikums, und etwas später waren sie so leistungsfähig, dass man damit schon ganz hübsche Mandelbrot-Mengen (und vor allem deren farbenfrohe Umgebung) auf den Bildschirm bringen konnte.

Damit brach eine beispiellose Begeisterung für Fraktale los. Unsere Zeitschrift hat im Oktober 1985 in der Rubrik "Computer-Kurzweil" eine Programmieranleitung für die Mandelbrot-Menge dazu beigesteuert. Im September 1989 folgte der Hauptartikel zum Thema: "Fraktale – eine neue Sprache für komplexe Strukturen" von dem Bremer Mathematiker Heinz-Otto Peitgen und seinen damaligen Assistenten Hartmut Jürgens und Dietmar Saupe. Peitgen hat seinerseits viel zur Popularität der Fraktale beigetragen: durch Grafiken, öffentliche Auftritte und Fortbildungsveranstaltungen. Vor allem hat er Mandelbrot durch das legendäre Video "Fraktale in Filmen und Gesprächen" von 1990 ein Denkmal gesetzt.

Wann bricht die Folge aus ihrem Käfig aus?

Die Idee hinter der Mandelbrot-Menge (in der mathematischen Kurzfassung: Schau nach, ab wann die Folge der Iterierten der komplexen Funktion f(z)=z²+c aus einem begrenzten Käfig ausbricht) erlaubt ungeheuer viele Variationen (Spektrum der Wissenschaft 7/1991, S. 12; 8/1991, S. 6; 9/1991, S. 12; 10/1991, S. 12). Nachdem das Verfertigen von Fraktalbildern bei den Amateuren aus der Mode gekommen ist, haben sich die Künstler des Themas bemächtigt. Mit Programmen wie Ultrafractal und selbstgeschriebener Software schaffen sie eine derartige Fülle an Werken, dass man nur über eigens zu diesem Zweck erstellte Websites wie Fractalforums/ und The infinite fractal loop einigermaßen den Überblick behält. Erst vor wenigen Monaten hat ein neuer Versuch, das Prinzip der Mandelbrot-Menge ins Dreidimensionale zu erweitern, erhebliches Aufsehen erregt (Mandelbrot dreidimensional, Spektrum der Wissenschaft 4/2010, S. 56).

Aber die Mandelbrot-Menge ist keineswegs Mandelbrots einzige Leistung; sie steht auch keineswegs im Mittelpunkt seines Gesamtwerks. Er war zwar ein richtiger Mathematiker, aber sein einflussreichstes Buch heißt nicht umsonst "Die fraktale Geometrie der Natur".

Programm zum totalen Umdenken

"Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade", schreibt Mandelbrot in der Einleitung und gibt damit nichts weniger vor als ein Programm zum totalen Umdenken, was die geometrische Modellierung der Realität angeht. Natürlich kann man die Flanke eines Berges durch einen Flickenteppich aus ebenen Dreiecken beschreiben. Genau das tun ja die Computerspiele. Aber diese Beschreibung verstellt den Blick für das Wesentliche: nämlich dass sich strukturelle Eigenschaften des Berges auf jeder Größenskala wiederfinden. Deswegen ist es sinnvoll, Gegenstände der Natur wie Bäume, Flusssysteme, das Adergeäst in der Niere des Menschen, den Weg eines Blitzes oder eine Küstenlinie durch Fraktale zu modellieren, jene merkwürdigen mathematischen Gebilde mit paradoxen Eigenschaften, darunter der Selbstähnlichkeit, dass sie nämlich auf jeder noch so kleinen Größenskala dieselbe Struktur aufweist.

Gegenstände der materiellen Welt können diese Eigenschaft nicht haben. Schließlich bestehen sie aus Atomen, und die können beim besten Willen die Grobstruktur in ihrem Inneren nicht reproduzieren. Aber, so wurde Mandelbrot nicht müde zu betonen, diese Tatsache tut der Modellierung durch Fraktale keinen Abbruch. Auch die klassische Geometrie kann materielle Gegenstände höchstens auf Atome genau modellieren, ohne dass das ihren grundsätzlichen Wert beeinträchtigen würde.

Da Fraktale sich praktisch überall in der Natur finden, hatte Mandelbrot jede Menge Gelegenheit, von einem Fachgebiet zum anderen zu springen und überall die überraschendsten Analogien zu suchen. Bemerkenswerterweise sind unter den Objekten, die einer fraktalen Modellierung zugänglich sind, auch Börsenkurse (Börsenturbulenzen – neu erklärt, verfasst von Mandelbrot selbst, in Spektrum der Wissenschaft 5/1999, S. 74).

Diese Vielseitigkeit, dieser ungeheure Assoziationsreichtum machte die Faszination der Person Mandelbrot aus – und sein Problem. Er liebte es, einem Forschungsfeld durch kühne und etwas verrückte Vermutungen Anregungen zu geben. Die sorgfältige Ausarbeitung seiner Ideen überließ er anderen und wandte sich derweil dem nächsten Gebiet zu. Wer die "fraktale Geometrie der Natur" durcharbeiten will, hat jede Menge Lücken zu füllen (Spektrum der Wissenschaft 7/1988, S. 114). Das ist nicht das, was Mathematiker unter korrektem Arbeiten verstehen, weswegen er unter ihnen nie über eine gewisse Außenseiterposition hinauskam.

Aber seine Ideen haben sich durchgesetzt. Selbst die Hardliner aus der Theorie dynamischer Systeme, die den früheren Namen ihres Gebiets, "Chaostheorie", als zu populistisch empfinden, lassen inzwischen die Gänsefüßchen an dem Wort "Fraktal" weg.

Christoph Pöppe ist Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft.