Innerhalb der vollen kubischen Symmetriegruppe „O_h“ gibt es 48 verschiedene Möglichkeiten einen Würfel in eine andere, aber äquivalente Lage zu bringen. Demnach genügt es, ein 48-stel eines Würfels vorzugeben und den Rest durch die entsprechenden Symmetrie-Operationen zu erzeugen. Die Hälfte dieser Symmetrie-Operationen enthält eine räumliche Inversion (alle Spiegelungen lassen sich aus einer räumlichen Inversion und einer Drehung zusammensetzen). Eine Inversion ist mathematisch ganz einfach auszuführen, man muss nur gleichzeitig x, y und z gegen -x, -y und -z austauschen. Im täglichen Leben lässt sich eine Inversion leider nicht so einfach durchführen, sonst wäre es kein Problem ein Rechtsgewinde schnell in ein Linksgewinde zu verwandeln, wenn man mal eines braucht und nicht zur Hand hat. Aber fragen sie einen geschickten Handwerker, das kann nicht mal der! Im Bild oben sind die regulären Pyramidenstumpfe in einem rötlichen Gelb gehalten, während die invertierten in einem grünlichen Gelb dargestellt sind. Ich habe extra asymmetrische Pyramidenstumpfe genommen, damit man die rötlichen Teile nicht doch durch eine geschickte Rotation in die grünlichen überführen kann. Die gewählten Pyramidenstumpfe besitzen also einen Drehsinn wie Rechts- und Linksgewinde oder wie eben in der Mathematik ein rechts- und ein linkshändiges Koordinatensystem. Hätte ich nur flache Dreiecke auf der Würfeloberfläche genommen, hätte man die umklappen und ineinander überführen können – aber so eben nicht! Der angedeutete Farbunterschied dient nur zur Kennzeichnung der regulären und der invertierten Teile. Damit die volle kubische Symmetrie dann tatsächlich realisiert ist, müssen sie die selben Farbe haben. Es soll ja möglich sein, die Teile mithilfe der Inversion ineinander überzuführen und nicht dadurch wieder zu verhindern, dass sie unterschiedliche Farben haben und damit eine weitere Eigenschaft besitzen, die sie doch wieder unterscheidbar machen. (Farbgruppen gibt es übrigens auch. Da hat man dann weitere Symmetrieoperationen in Form von Farbtransformationen.) Technisches: Damit Surf die Gleichungen für die 48 Elemente lösen konnte, war es notwendig, diese auf 6 „Surfaces“ in jeweils großen Abständen zueinander zu verteilen. Sobald sich zwei Pyramiden zu nahe kommen, kommt es aufgrund der hohen Gesamtpotenz zu fehlerhaften Lösungen mit Rauschen, Verschmierungen, Scheinlösungen etc. Wer dieses und ähnliche Bilder in der hohen Auflösung von 1000x1000 oder mehr betrachten möchte, sei bitte auf meine Webseite http://www.bru.hlphys.jku.at/surf verwiesen.