Leider hat die Hauptaussage zu meinem Bild „Kepler’s Revolution“ unter „https://www.spektrum.de/artikel/958708&_z=798888“, dass Kepler selbst das Model mit den platonischen Körper umgestoßen hat, nicht gestimmt! Ich wurde zu dieser Aussage aufgrund des Wikipedia-Artikels über Kepler verleitet, aber leider dürfte er in diesem Punkt nicht ganz richtig sein. Es stimmt natürlich, dass Kepler die Ellipsenform der Planetenbahnen gefunden und die drei Kepler’schen Gesetze formuliert hat - aber das Modell mit den platonischen Körpern wurde von ihm anscheinend nie widerrufen! Die ersten beiden Gesetze zur Elliptizität der Planetenbahnen veröffentlichte er im Jahr 1609 in „Astronomia Nova“, aber noch im Jahr 1621 ließ er eine Neuauflage seines Werkes „Mysterium Cosmographicum“ drucken, indem sein Modell mit den platonischen Körpern dargestellt ist und dessen Erstausgabe bereits im Jahr 1596 erfolgte. Kepler war der Meinung, dass die Ellipsen mit ihren relativ kleinen Abweichungen vom Kreis leicht innerhalb der Dicke der Schalen Platz finden. Man beachte, dass er die Schalen ja ziemlich dick dargestellt hat, im Bereich von ca. 10% des Radius! Ich habe diese Richtigstellung vom Mathematiker Univ.-Porf. Dr. Gerhard Betsch in Tübingen und vom theoretischen Physiker a.Univ.-Prof. Dr. Harald Iro in Linz erfahren und bin dafür sehr dankbar. Beide Herren haben sich mit den Werken von Johannes Kepler in der Originalfassung beschäftigt. Um dieser Richtigstellung auch bildhaft Ausdruck zu verleihen, habe ich die Planetenbahnen mit leichter Elliptizität und dickwandigen Schalen(!) in das ursprüngliche Modell von Kepler eingefügt. Mein vorheriges Bild „Kepler’s Revolution“ muss man entsprechend symbolisch sehen. Langfristig hat die genaue mathematische Beschreibung der elliptischen Planetenbahnen natürlich dazu beigetragen, das Modell mit den platonischen Körpern umzustoßen, aber es war eben nicht Kepler selbst der dies vollbrachte. Zum technischen Teil: Surf und ich sind am Limit! Für die Darstellung der dickwandigen Schalen habe ich die Gleichungen für den „quadratischen Torus“ (link: „https://www.spektrum.de/artikel/960329&_z=798888“) hergeleitet und auf zwei dünnwandige Schalen in geringem Abstand aufgesetzt (link: „https://www.spektrum.de/artikel/960420&_z=798888“). Da in Surf aber nicht genügend unabhängige „Surfaces“ zur Verfügung stehen, habe ich für das Kepler-Modell mehrere Bildelemente in eine Surface geben müssen - unter anderem die zwei äußeren Schalen. Nun ist es so, dass ich die Übergänge zwischen den Elementen der äußersten Schale optimiert habe, aber nach der dickwandig-Machung der nächsten, zweiten Schale, die Übergänge in der ersten Schale dadurch beeinflusst und verändert wurden und ein Rauschen und Vertiefungen entlang der Zusammenstoßlinien aufgetreten ist. Dies dürfte darauf zurückzuführen sein, dass in der Nähe von Singularitäten die Lösungen der Gleichungen so empfindlich sind, dass sie durch andere Bildelemente beeinflusst werden, auch wenn sie nicht direkt über eine additive Konstante gekoppelt, sondern nur multiplikativ in der selben Surface untergebracht sind. Trotz vieler Versuche habe ich dieses Problem mit den beiden äußeren Schalen nicht in den Griff bekommen und schließlich als Notlösung einen breitern Torus aufgesetzt. In diesem Fall findet der Übergang dann nicht untern einem flachen, sondern fast im rechten Winkel statt und die Lösung sind offensichtlich nicht so empfindlich gegen Störungen und Kopplungen. Auch oberhalb der Schalen treten zum Teil schwache Ränder im leeren Raum auf. Ich suche hier also nicht mehr nach prinzipiellen Lösungen, sondern beschäftige mich mit zeitraubenden Optimierungen, weil die Anzahl der Flächen und die Rechengenauigkeit in Surf am Limit ist. Weitere Bilder sind in hoher Auflösung auf meiner Surf-Page dargestellt: http://www.bru.hlphys.jku.at/surf