Neue Puzzles nach Rubik-Art
Im Spektrum-Artikel: "Rubik-Spiele mit einfachen Gruppen" stellen die Autoren drei neue Puzzles nach Art des Rubikwürfels vor. Die Beschäftigung mit ihnen bietet eine spielerische Möglichkeit, sich in die Höhen der abstrakten Algebra aufzuschwingen und mit einigen ihrer vertracktesten Objekte vertraut zu machen: den sporadischen einfachen Gruppen. Hier können Sie die drei Puzzles aufrufen und sich über sie informieren. Für zwei von ihnen sind auch Lösungen angegeben.
M12-Puzzle
Es repräsentiert die von Émile Mathieu im 19. Jahrhundert entdeckte sporadische einfache Gruppe M12 und ist als Internetspiel konzipiert. Die Aufgabe besteht darin, eine durcheinandergewürfelte Anordnung der Zahlen 1 bis 12 wieder in die richtige Reihenfolge zu bringen. Das muss mit einer Kombination von nur zwei Zügen gelingen, die sich jeweils durch Anklicken eines Knopfes ausführen lassen. Um die Auswirkung der beiden Züge zu erkennen, sollte man sie zunächst auf die geordnete Zahlenfolge anwenden.
M12-Puzzle spielen
Hilfe M12
Lösung M12
M24-Puzzle
Es repräsentiert die gleichfalls von Mathieu entdeckte sporadische einfache Gruppe M24. Im Ausgangszustand sind die Zahlen 1 bis 23 der Reihe nach im Kreis angeordnet – wie beim Zifferblatt einer Uhr. Direkt über der 12-Uhr-Position steht außerdem eine 0. Wie beim M12-Puzzle besteht die Aufgabe darin, aus einer durcheinander gewürfelten Folge den Ausgangszustand wiederherzustellen. Auch in diesem Fall gibt es dazu nur zwei Züge. Der eine verdreht das gesamte Zifferblatt um eine Position, so dass jede Zahl einen Platz weiter rückt; die Zahl außerhalb des Kreises bleibt unverändert. Der andere Zug vertauscht alle Zahlenpaare auf Kästchen mit derselben Farbe.
M24-Puzzle spielen
Hilfe M24
Lösung M24(englisch)
Dotto Dieses Puzzle repräsentiert die Gruppe Co0, die John H. Conway von der Princeton University 1968 publiziert hat. Sie enthält die sporadische einfache Gruppe Co1 und hat genau doppelt so viele Elemente. Conway war zu bescheiden, die Gruppe nach sich zu benennen, und gab ihr deshalb die verstümmelte Bezeichnung ".0", was sich auf Englisch "dotto" spricht. In diesem Puzzle gibt es vier Züge.
Dotto enthält das M24-Puzzle. Betrachten Sie die Reihe aus gelben und blauen Kästchen ganz unten. Darin verbirgt sich M24; nur sind die Zahlen hintereinander statt im Kreis angeordnet. Der R-Zug ist die Kreisrotation nach rechts: Die Spalte über der Zahl 0 bleibt, wo sie ist, aber die Spalte über der 1 rückt nach 2 und so weiter bis zur Spalte über der 23, die über die 1 wandert. Um diesen Zug auszuführen, müssen Sie auf den Knopf mit der Bezeichnung "M24 rotate (R)" klicken. Außerdem können Sie zunächst auf eine und dann auf eine andere Spaltenzahl klicken, um eine Kreisrotation auszuführen, welche die zuerst ausgewählte Spalte an die Stelle der zweiten rückt.
Der Zug M, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "M24 Shuffle (M)", vertauscht in jeder "Tetrade" – einer durch vertikale Linien getrennten Gruppe aus 4 Spalten – jeweils die Spalten über den Kästchen gleicher Farbe miteinander. Der Zug S, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "Sign Change (S)", kehrt in den ersten 8 Spalten, also den ersten beiden Tetraden, die Vorzeichen um. Der Zug T, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "Tetrade Move (T)", ist der komplizierteste. Er subtrahiert von jeder Zahl die halbe Summe der Zahlen, die in derselben Tetrade in der gleichen Reihe stehen, und kehrt zudem die Vorzeichen aller Zahlen in der ersten Tetrade um. Dabei werden die schwarz erscheinenden leeren Kästchen behandelt, als würden sie eine 0 enthalten. T, S und M heben sich, zweimal hintereinander ausgeführt, jeweils selbst auf.
Strategietipps:
Beachten Sie, dass sich die Summe über die Quadrate der Zahlen in jeder Reihe nicht ändert. Sie beträgt 64 in der obersten und 32 in jeder anderen Reihe. Wenn Sie es schaffen, eine 8 in die oberste Reihe zu bekommen, haben Sie das Spiel schon fast auf M24 reduziert. Nur die Vorzeichen sind dann noch richtig anzubringen. Um zur Ausgangskonfiguration zu kommen, müssen Sie dafür sorgen, dass alle Zahlen in der Diagonalen ein positives Vorzeichen tragen. Dazu ein Hinweis: Wenn nur auf der Diagonalen falsche Vorzeichen stehen und es nicht mehr als 8 sind, können Sie die zugehörigen 8 Spalten allein mit den beiden M24-Zügen (M und R) in die ersten beiden Tetraden verschieben, dann S anwenden und die Spalten durch Umkehr der zuvor durchgeführten M24-Zugfolge an die ursprüngliche Position zurückbewegen.
Dotto herunterladen (gezippte .exe-Datei, nur für Windows-Systeme)
Diese Puzzles sind aus dem Projekt "Research experience for undergraduates" an der University of Michigan hervorgegangen, das von der National Science Foundation der USA gefördert wurde.
Es repräsentiert die von Émile Mathieu im 19. Jahrhundert entdeckte sporadische einfache Gruppe M12 und ist als Internetspiel konzipiert. Die Aufgabe besteht darin, eine durcheinandergewürfelte Anordnung der Zahlen 1 bis 12 wieder in die richtige Reihenfolge zu bringen. Das muss mit einer Kombination von nur zwei Zügen gelingen, die sich jeweils durch Anklicken eines Knopfes ausführen lassen. Um die Auswirkung der beiden Züge zu erkennen, sollte man sie zunächst auf die geordnete Zahlenfolge anwenden.
M12-Puzzle spielen
Hilfe M12
Lösung M12
M24-Puzzle
Es repräsentiert die gleichfalls von Mathieu entdeckte sporadische einfache Gruppe M24. Im Ausgangszustand sind die Zahlen 1 bis 23 der Reihe nach im Kreis angeordnet – wie beim Zifferblatt einer Uhr. Direkt über der 12-Uhr-Position steht außerdem eine 0. Wie beim M12-Puzzle besteht die Aufgabe darin, aus einer durcheinander gewürfelten Folge den Ausgangszustand wiederherzustellen. Auch in diesem Fall gibt es dazu nur zwei Züge. Der eine verdreht das gesamte Zifferblatt um eine Position, so dass jede Zahl einen Platz weiter rückt; die Zahl außerhalb des Kreises bleibt unverändert. Der andere Zug vertauscht alle Zahlenpaare auf Kästchen mit derselben Farbe.
M24-Puzzle spielen
Hilfe M24
Lösung M24(englisch)
Dotto Dieses Puzzle repräsentiert die Gruppe Co0, die John H. Conway von der Princeton University 1968 publiziert hat. Sie enthält die sporadische einfache Gruppe Co1 und hat genau doppelt so viele Elemente. Conway war zu bescheiden, die Gruppe nach sich zu benennen, und gab ihr deshalb die verstümmelte Bezeichnung ".0", was sich auf Englisch "dotto" spricht. In diesem Puzzle gibt es vier Züge.
Dotto enthält das M24-Puzzle. Betrachten Sie die Reihe aus gelben und blauen Kästchen ganz unten. Darin verbirgt sich M24; nur sind die Zahlen hintereinander statt im Kreis angeordnet. Der R-Zug ist die Kreisrotation nach rechts: Die Spalte über der Zahl 0 bleibt, wo sie ist, aber die Spalte über der 1 rückt nach 2 und so weiter bis zur Spalte über der 23, die über die 1 wandert. Um diesen Zug auszuführen, müssen Sie auf den Knopf mit der Bezeichnung "M24 rotate (R)" klicken. Außerdem können Sie zunächst auf eine und dann auf eine andere Spaltenzahl klicken, um eine Kreisrotation auszuführen, welche die zuerst ausgewählte Spalte an die Stelle der zweiten rückt.
Der Zug M, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "M24 Shuffle (M)", vertauscht in jeder "Tetrade" – einer durch vertikale Linien getrennten Gruppe aus 4 Spalten – jeweils die Spalten über den Kästchen gleicher Farbe miteinander. Der Zug S, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "Sign Change (S)", kehrt in den ersten 8 Spalten, also den ersten beiden Tetraden, die Vorzeichen um. Der Zug T, auszuführen durch einen Klick auf den Knopf "Tetrade Move (T)", ist der komplizierteste. Er subtrahiert von jeder Zahl die halbe Summe der Zahlen, die in derselben Tetrade in der gleichen Reihe stehen, und kehrt zudem die Vorzeichen aller Zahlen in der ersten Tetrade um. Dabei werden die schwarz erscheinenden leeren Kästchen behandelt, als würden sie eine 0 enthalten. T, S und M heben sich, zweimal hintereinander ausgeführt, jeweils selbst auf.
Strategietipps:
Beachten Sie, dass sich die Summe über die Quadrate der Zahlen in jeder Reihe nicht ändert. Sie beträgt 64 in der obersten und 32 in jeder anderen Reihe. Wenn Sie es schaffen, eine 8 in die oberste Reihe zu bekommen, haben Sie das Spiel schon fast auf M24 reduziert. Nur die Vorzeichen sind dann noch richtig anzubringen. Um zur Ausgangskonfiguration zu kommen, müssen Sie dafür sorgen, dass alle Zahlen in der Diagonalen ein positives Vorzeichen tragen. Dazu ein Hinweis: Wenn nur auf der Diagonalen falsche Vorzeichen stehen und es nicht mehr als 8 sind, können Sie die zugehörigen 8 Spalten allein mit den beiden M24-Zügen (M und R) in die ersten beiden Tetraden verschieben, dann S anwenden und die Spalten durch Umkehr der zuvor durchgeführten M24-Zugfolge an die ursprüngliche Position zurückbewegen.
Dotto herunterladen (gezippte .exe-Datei, nur für Windows-Systeme)
Diese Puzzles sind aus dem Projekt "Research experience for undergraduates" an der University of Michigan hervorgegangen, das von der National Science Foundation der USA gefördert wurde.
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