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Die Frage bezieht sich auf Max. Angenommen:
1.) Max weiß, welche 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat. So kann er genau sagen, ob die Wahrscheinlichkeit entweder 1/3 oder 5/6.
2.) Max weiß lediglich, dass er 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat.
Es fehlt für ihn, auch für den Befragten, die Information: Welche 6 Münzen hat er in der Tasche. Mathematisch angesehen, da kann Max die Wahrscheinlichkeit nur mit dem Intervall 1/3<=p<=5/6 angeben. Der Wert 5/18 ist damit nur eine Scheinwahrscheinlichkeit für Max und uns. Die Fehlende Information lässt die Aufgabe nicht eindeutig lösen.
In der Wissenschaft gibt es mal nicht eine fehlende Information, sogar mehr. Damit habe diese einfache Aufgabe große Bedeutung für die Wissenschaft. Denke ich dieses Problem weiter nach, dann ist für mich der Urknall fraglich. Es gebe einerseits der Urknall, anderseits die Relativitätstheorie. Sei die Welt relativ, dann sei der Urknall mal auch relativ. Da kann man auch mit dem Raum und Zeit weiter führen, ob die Zeit mit dem Raum verbunden sei. Nehme ich hierzu die Quantenverschränkung als Beispiel. Sei ein Quantum räumlich getrennt, dann es spielt für die getrennten Quanten die Zeit keine Rolle. Da kann man auch mit Masse und Energie weiter gehen.
Sicher, die Wissenschaft schafft neue Informationen, die uns weiter bringt und unseres Leben verbessert. Aber den Kosmos zu verstehen, bleibt noch weiterhin ein Rätsel.

Max hat 6 Münze in der Tasche, der Wert. Die Möglichkeiten:
Max hat in Tasche:
1.) Entweder 1 St. 50 Cent und 5 St. 10 Cent. Hier wäre die Wahrscheinlichkeit 5/6.
2.) Oder 4 St. 20 Cent und 2 St. 10 Cent. Die Wahrscheinlichkeit 2/6=1/3
Wir wissen nicht, ob Max nach 1.) oder nach 2.) Münzen in der Tasche hat. So beträgt für mich die Wahrscheinlichkeit 5/6 mal 1/3=1/18.
Die Frage ist, ob Max es weiss, dass er sechs Münzen mit dem Wert 1 € hat. Ich nehme an, dass er es weiss, sonst hat die Aufgabe für mich keinen Sinn. Nur dann, wenn jemand ihm das Geld in die Tasche steckte.

Es werden hier zwei Fragen gestellt. Mal wie hoch die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfs ist und Mal wie die Anwort aus Sicht von Dornröschen ist. Diese sind jedoch mathematisch unterschiedlich.
Die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfs: Kopf oder Zahl ist 1:1 oder 1/2,
da nur der Wurf am Montag in Betracht gezogen wird.
Die Antwort von Dornröschen, wie die Münze gefallen ist jedoch 1:2 oder 1/3, da jede Aufwachsituation unabhängig von einander betrachtet wird und somit die gleiche Wahrscheinlich hat.
Die Frage ist also, welche Frage wird gestellt?

Hallo,
in der Lösung steht "Jede dieser Möglichkeiten ist gleich wahrscheinlich".
Warum sollte das der Fall sein? Wenn wir nichts weiter über die sechs Münzen wissen, ist es dann nicht viel plausibler anzunehmen, dass jede der sechs Münzen mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede mögliche Münze, also 1, 2, 5, 10, 20,50 Cent sein kann und wir betrachten dann nur die Fälle, bei denen die Summe 100 Cent beträgt?
Das sollten dann 201 mögliche Kombinationen sein, diese 201*6 Münzen enthalten insgesamt 420 10 Cent Münzen, so dass als Wahrscheinlichkeit gut 34,8 % herauskommen.
Aber auch das ist noch falsch, da auch die Annahme, dass jede Münze mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden Wert haben kann, falsch ist. So gibt es etwa 2,4 mal so viele 10 Cent Münzen wie 50 Cent Münzen, aber auch fast 1,4 mal so viele 5 Cent Münzen wie 10 Cent Münzen. Berücksichtige ich auch diese Häufigkeiten, reduziert sich die Wahrscheinlichkeit auf 34,7%.
Aber eigentlich dürfte man nur den Teil der Münzen betrachten, die tatsächlich noch im Umlauf sind, dazu habe ich aber keine Statistik gefunden.

Was für ein unnötiger und "Spektrum" unwürdiger Artikel...

Wie hier mehrfach schon kommentiert wurde, sind beide Antworten richtig, weil die jeweilige Fragestellung eine andere ist.
Die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort ist hier nicht die gleiche wie die von außen betrachtete Wahrscheinlichkeit von Kopf oder Zahl.

Das ist vergleichbar mit dem "Ziegenproblem", nur mit etwas anderem Ablauf. Die von außen betrachtete Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter der ursprünglichen gewählten Tür ist, ändert sich nicht. Anfangs entscheidet sich der Teilnehmer für eine davon und bei der Frage, ob er nach dem Öffnen einer Tür mit dem Zonk zur verbliebenen dritten Tür wechseln will, entscheidet er sich eben nicht zwischen zwei Türen mit gleicher Wahrscheinlichkeit, sondern zwischen der anfänglich gewählten mit Wahrscheinlichkeit 1/3 und zwischen BEIDEN anderen, also der Wahrscheinlichkeit 1/3+1/3.
Ähnlich wird Dornröschen innerhalb des Experiments nicht nach der Wahrscheinlich des Münzwurf-Ergebnisses gefragt, sondern nach der Wahrscheinlichkeit eines von drei möglichen Ereignissen.

Selbst philosophisch ist daran nur "interessant", welche Frage Dornröschen denn nun eigentlich gestellt wird. Wobei das eben auch keine Frage der Philosophie sondern der Semantik ist, weshalb ich mich darüber wundere, dass außer Frau Bischoff noch etliche weitere Autoren ihre Zeit und die ihrer Leser mit diesem "Problem" verschwendet haben.

Dr. Christoph Pöppe hat auf Mint Zirkel dazu einen Beitrag verfasst. Bei ihm taucht auf, was hier fehlt: Dornröschen ist eine rationale Denkerin und über den Ablauf des Experiments voll informiert, wohlgemerkt ohne den Ausgang des Münzwurfs zu kennen. In diesem Fall gibt es nur eine richtige Antwort und sie lautet 1/3. Im Spektrum Artikel wird offen gelassen, ob Dornröschen über den Ablauf des Experiments informiert ist. Damit ist die Frage prinzipiell nicht zu beantworten, da das Problem nicht hinreichend definiert ist.

Man sollte aber generell davon ausgehen, dass sie informiert wurde.

Die korrekte Antwort, die Dornröschen nach dem Aufwachen geben müsste, wenn sie nach dem Ausgang des Münzwurfs gefragt wird, aber nicht über das Experiment informiert wurde, lautet nämlich: "Welche Münze?"

Die Strategie, wie im Beispiel mit Bloat und Watch (bei dem man dann schon 4 Buchstaben und deren Positionen kennt), ist im "hard" Modus nicht erlaubt, da man in dem Modus die bisher bekannten Buchstaben beim nächsten Raten verwenden muss (und die Buchstaben auch - sofern die richtige Position bekannt ist - an die richtigen Positionen müssen). D.h. in dem Falle müßten bei den folgenden Rateversuchen nun die möglichen 4 Lösungwörter durchprobiert werden - interessanterweise ist aber der zweite Rateversuch (des Beispiels) auch im "hard" Modus erlaubt.

Das Wort "chimp" ist übrigens nicht in der Liste der (möglichen) Rätselwörter zu finden (womit sich die Frage stellt, ob das Wort "chimp" nun eine erlaubte Eingabe ist), dafür aber "champ" und "chump". Trotz des Vorkommens der Buchstaben "c" und "h" - auf jedenfall im Lösungswort" - ist allerdings sichergestellt, da eben "c" nun der Anfangsbuchstabe des Wortes ist, dass, sofern weder "m" noch "p", welche nicht auf jedenfall im Lösungswort vorkommen, der Anfangsbuchstabe ist, dann der Anfangsbuchstabe des geratenen Wortes (also "c") als richtig angezeigt wird oder aber "h" als Anfangsbuchstabe zu nutzen wäre. Aber dieses stellen auch andere dritte "Ratewörter" (nicht nur "chump" und "champ") im Beispiel sicher und zwar: "clamp", "clump", "cramp", "crimp" und "crump".

Sofern keiner der Buchstaben auch sowieso schon im Lösungswort vorkommen würden, so wäre jedes Wort, welches drei der vier möglichen Anfangsbuchstaben enthalten würde (es gibt davon eine ganze Menge), genauso gut.

Nun ganz allgemein. Klar sind "soare" und "slane" nun "gute" Startwörter (zumindest für den normalen Modus), aber um eben optimal zu sein, müßte man eigentlich nun auch das jeweils dritte (und vielleicht sogar) vierte jeweils "optimale" Wort (für die jeweiligen bisherigen Ratewörter und bei gegebener "Farbmustern" für die jeweiligen bisherigen Ratewörter) berechnen bzw. betrachten (bzw. genauer die sich für jedes mögliche Lösungswort ergebenden Bäume aus Ratewörtern mit den jeweils zugehörigen bekannten Informationen - aus den bisherigen Ratewörtern - betrachten und dann aus der Menge dieser Bäume eben entweder den Baum raussuchen, bei dem die durchschnittliche Tiefe bis zu einem Blatt nun minimal ist, oder aber den Baum raussuchen, bei dem die worst-case Tiefe bis zu einem Blatt minimal ist - wobei man diese beiden Dinge auch kombinieren kann, da eben z.B. die worst-case Tiefe für verschiedene Startwörter und verschiedene weitere "optimale" Ratewörter gleich sein kann und man dann eben als "Tiebreaker" zwischen allen diesen Möglichkeiten den oder die auswählt, bei denen die durchschnittliche Tiefe minimal ist). Klar könnte es sich dabei ergeben, dass nun entweder "soare" oder "slane" das beste Startwort wäre, aber dann sehe ich nicht zwingend, dass dieses der Fall sein muss. Das interessante an diesem Problem ist, dass dieses von der "Komplexität" her ohne Probleme mit den heutigen Rechenkapazitäten (und Speicherkapazitäten) gelöst werden kann (vor allem, da man eben nicht explizit jeden Baum erstellen muss, sondern wunderbar auch mit solchen Ansätzen wie "Branch&Cut" arbeiten kann), wobei mich der "Link" auf github vermuten läßt, dass dieses schon jemand gemacht haben könnte.

ps. Der letzte Absatz könnte etwas unverständlich sein.

Ich habe für a die Werte 10 und 7 erhalten, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
LG Horst

Das Problem entsteht nach meiner Vermutung durch Interferenz zweier Fragestellungen:
(1) "Wurde Kopf oder Zahl geworfen?"
Das ist die Frage nach dem Ereignis, das beim Werfen der Münze eingetreten ist. Bei einer fairen Münze ist die Antwort: 1/2
(2) Die andere Frage, die durch die Versuchs-Erzählung implizit mitgestellt wird, heißt: "Ist heute Montag oder Dienstag?"
Für diese Frage gilt die 2/3 zu 1/3 Antwort.

Ich sehe das auch so wie Ramon in Beitrag 36. (und vmtl. einige andere Beiträge mit der selben Aussage): die Diskussion entsteht nur durch die Unklarheit der Fragestellung.

Wenn man sich das Problem in der hier geschriebenen Fassung ansieht, steht dort:

""Dornröschen erklärt sich bereit, an einem Experiment teilzunehmen, [...]""
-> Es ist mit hoher Wahrscheinlichkeit so gemeint, dass Dornröschen über den gesamten Ablauf Bescheid weiß.

und:

""Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?""
-> Es wird keine explizite Frage an den Leser gestellt, das Problem ist aber ziemlich eindeutig so zu verstehen: "Was soll Dornröschen sagen um diese Frage objektiv richtig zu beantworten?"

So weit sind sich wohl auch die meisten einig.

Nun zum kontroversen Teil:
Ich persönlich finde die Bedeutung der Formulierung ""Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?"" wiederum ziemlich eindeutig: "Wie hoch ist JETZT die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze DES LETZTEN WURFES »Kopf« gezeigt HAT?".
Dornröschen wird ja nicht gefragt "Wie hoch WAR AM SONNTAG die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigen WIRD?"

Und ja, die Wahrscheinlichkeit hat sich seit letztem Sonntag tatsächlich geändert: von 1/2 zu 1/3
(das Ergebnis des Wurfes hatte ja auch eine Auswirkung: sie wird öfter/weniger geweckt)

Bitte im vorletzten Absatz in "Jane Austins Romane" den Nachnamen zu "Austen" bzw. "Austens" korrigieren. - Danke für den Hinweis auf dieses interessant klingende Buch!

Diese Diskussion ist aus philosophischer Sicht sehr interessant.
Wenn das Problem formal dargestellt wird, kann aus dem Gegebenen doch nur das herauskommen, was Marian schon dargestellt hat.
Da ich kein Mathematiker bin, kann ich es formal nicht darstellen. Wie sieht also die zugrunde liegende Formel aus?

Philosophisch gibt es einen Konsens, dass deskriptive und normative Aussagen in Argumenten nur in ganz engen Grenzen gemischt werden dürfen. Nach der Diskussion hier müsste man noch formale Aussagen hinzunehmen.
Mich erinnert das sehr an das Barbier-Paradoxon und die Russelsche Antinomie. Russel hatte, 15 Jahre nachdem er die Antinomie veröffentlicht hatte, das Paradoxon formuliert, weil die Antinomie wohl sehr schwer verständlich war.

Dann bliebe noch die Frage nach den Enthymemen. In einer von
einer Mathematikerin geschriebenen Mathematikkolumne muss ich doch davon ausgehen, dass der Begriff 'Wahrscheinlichkeit' im mathematischen Sinn vorausgesetzt wird. Ich nehme an, dass es da eine klare Definition gibt?

Die Mathematik liefert auf ein eindeutig gestellte Problem entweder keine Antwort - wie Kurt Gödel gezeigt hat, oder genau eine, aber niemals zwei. Dass Philosopen und Mathematiker auf unterschiedliche Antworten kommen, liegt nicht an der zweideutigkeit der Mathematik, sondern an der Zweideutigkeit der Fragestellung. Strengenommen ist das Dornröschenproblem nur eine Strategie, um zu verschleieren, dass die Frage zweideutig gestellt ist.

Eine Münze ist streng genommen kein mathematischer Begriff. Aber sie wird gerne als Prototyp genommen, für eine binäre Zufallsverteilung in der beide Werte mit Wahrscheinlichkeit 0.5 auftreten. Die Frage also, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde, ist also per Definition gegeben und sie beträgt 0,5.

Das Dornröschen Problem ist aber so gestellt, dass man ganz leicht auf eine ander Fragestellung geführt wird. 'Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Antwort Kopf richtig'? Die Frage unterscheidet sich von der ersten Frage, weil durch die unterschiedliche Anzahl an Aufwachereignissen die Gewichtung geändert wurde.

Nach streng mathematischer Logik ist das Thema also ganz banal. Aus psychologischer Sicht ist es aber total spannend. Denn es zeigt, wie oft wir davon überzeugt sind zu wissen wovon wir reden, ohne es tatsächlich in der ganzen Bandbreite erfasst und geklärt zu haben.

Ich habe gerade noch die Kommentare weiter oben gelesen. Hans Genssler hat schon einmal im meinem Sinne geantwortet. Ramon hat etwas ähnliches geschrieben, verirrt sich dann aber in einer etwas umständlichen Beschreibung.

Grundsätzlich, Herr Schwägerl, ist Ihr Beitrag sehr begrüßenswert insofern als er den Atomausstieg als richtig und sinnvoll einordnet. Ich fand ihn aber trotzdem etwas enttäuschend, weil er die positiven Seiten einer nachhaltigen Energiewirtschaft nur unzureichend darlegt und noch dazu Zweifel an seiner prinzipiellen Durchführbarkeit sät. Da hätte ich mir eine genauere Darstellung gewünscht. Zuerst verstärken Sie noch die Zweifel am Atomausstieg, indem Sie alle Argumente dafür relativ ausführlich darlegen; und erst dann versuchen Sie diese zu entkräften, was aber m.E. nicht so richtig ankommt. Tatsache ist doch folgendes:
1. Die Atomenergie war von Anfang an nicht versicherbar; der Staat hat immer das volle Risiko eines potenziellen GAUs oder Super-GAUs getragen. Zum Glück kam es in Deutschland nie zu einem GAU oder auch nur einem ansatzweise ähnlich schlimmen Unfall.
2. Ebensowenig hat man sich viele Jahre mit der Frage der Endlagerung des Atommülls beschäftigt. Dass dieser in großen Mengen anfallen würde, war von Anfang an bekannt; schließlich gab es Test-Reaktoren, die zwar die technische Machbarkeit des Konzepts zeigten; aber auch, was dabei entsteht. Auch die Halbwertszeiten aller zu erwartenden Abfallprodukte waren bekannt.
3. Ok; diese Fakten wurden bekanntermaßen großzügigst und aus "wirtschaftlichen" Gründen ignoriert. Und die heute verfügbaren nachhaltigen Energiekonzepte waren damals tatsächlich nicht verfügbar; insofern darf man heute nur begrenzt Steine in die Vergangenheit werfen.
Trotzdem sind die Vorteile der heute technisch und wirtschaftlich machbaren nachhaltigen Energieerzeugung nur schwach herausgearbeitet; als da sind:
1. Sowohl Windkraft- als auch Photovoltaikanlagen produzieren heutzutage die Kilowattstunde zu wesentlich niedrigeren Kosten als es ein Weiterbetriieb von AKWs jemals ermöglichen würde.
2. Schon für den vorhandenen Atommüll hat man auch heute noch kein Konzept für dessen Endlagerung. Warum also sollten wir noch mehr produzieren? Mit Wind- und Sonnenkraft hat man dieses Problem nicht ...
3. Wir könnten heute viel weiter sein, wenn die Regierung Merkel die anfänglich von der rotgrünen Regierung auf den Weg gebrachte Förderung nicht systematisch hintertrieben hätte. Deutschland war etliche Jahre führend in der Produktion von Photovoltik-Technik, bevor die Merkel-Regierung (insbesondere Herr Altmaier) behauptet hat, das wäre alles nicht wirtschaftlich und nicht konkurrenzfähig im Vergleich mit Kernkraft- und Kohlekraftwerken. Und man hat ungerührt zugeschaut, wie die entsprechenden Firmen bankrott gingen und die Technik an China verramscht wurde. Hingegen hatten frühere "schwarze" Regierungen nie ein Problem damit AKWs mit Milliardenbeträgen an Förderung bauen und betreiben zu lassen
4. Das Argument, dass wir zu wenig Speicher haben, um "Dunkelflauten" und Winter mit "nachhaltiger" Energie überstehen zu können, ist heute natürlich richtig; es zeigt aber nur, dass wir (hoffentlich noch) nicht schnell genug sind. Leider sind auch heute noch viel zu viele Bremser in Politik und Wirtschaft unterwegs, die die Zeichen der Zeit aus welchen Gründen auch immer hintertreiben. An dieser Stelle besteht erheblicher Nachholbedarf.
5. Es sagt niemand, dass das alles einfach ist - was in Jahrzehnten entstanden ist und sich aus praktischer Sicht durchaus bewährt hat, kann man nicht "mit einem Fingerschnipp" ändern. Zum Beispiel werden wir noch viel Forschungsarbeit leisten müssen, um bezahlbare und leistungsfähige Stromspeicher bereitstellen zu können. Auch verbesserte Wikungsgrade von Photovoltaikanlagen und/oder Winkraftwerken sind sicher noch möglich. Dies sichert aber andererseits auch viele zukunftsträchtige und hochqualifizierte Arbeitsplätze, die gerade wir in Deutschland auch in Zukunft dringend brauchen. Nebenbei würde dies auch unsere Abhängigkeit von China vermindern; zumindest wenn man die neue Technik dann auch bei uns in Deutschland oder zumindest Europa produziert.
Mein persönliches Fazit: Lassen Sie uns alles Mögliche tun, um auf dem Weg in Richtung nachhaltige Energiewirtschaft mit voller Kraft voranzukommen. Unsere Kinder und Enkel werden es uns danken.
Mit freundlichen Grüßen

Es ist zwar furchtbar pingelig (aber so ist sie, die Mathematik):
Von 32 bis 99 sind es 68 Natürliche Zahlen.
Tut auch gar nichts zur Sache.