In der letzten Folge habe ich Ihnen vorgeführt, wie man auf "destruktive" Weise aus den platonischen Körpern neue Polyeder erzeugen kann: durch Abschneiden von Ecken, Kanten oder beiden zugleich. Diesmal soll es etwas konstruktiver zugehen: Statt die Körper klein zu scheiden, fügen wir ihnen etwas hinzu. Merkwürdig ist nur: So richtig fundamental ist der Unterschied zwischen beiden Verfahren nicht. Es ist schon etwas mehr als bloß ein Unterschied im Vorzeichen; aber wenn wir das Hinzufügen ebenso unter Beachtung der Symmetrien gestalten wie das Abschneiden, dann bleiben wir in der Familie des jeweiligen Polyeders, und da trifft man unweigerlich alte Bekannte.

Die eine Familie sind die Fünfzähligen, deren prominenteste Vertreter das Dodekaeder und das Ikosaeder sind. Die andere Familie, die Vierzähligen, sind die Verwandtschaft von Würfel und Oktaeder. Und das Tetraeder? Na ja, genau genommen bildet es seine eigene Familie, aber gewisse Beziehungen zu den Vierzähligen lassen sich nicht leugnen, auch wenn letztere über den offensichtlichen Mangel an Symmetrie die Nase rümpfen mögen.

Wie geht Hinzufügen? Zum Beispiel so: Man drückt den Mittelpunkt jeder Fläche des Körpers nach außen. Was heißt das genau? Jeder platonische Körper hat einen wohldefinierten Mittelpunkt im Inneren, das Zentrum, in dem sich alle Drehachsen und Spiegelungsebenen schneiden. Man stelle sich vor, der Mittelpunkt sei mit allen Ecken durch Stangen verbunden. Jetzt kommen auch noch Stangen hinzu, die den Mittelpunkt mit den Mittelpunkten der einzelnen Flächen verbinden. Und in diesen Stangen steckt eine Teleskopmechanik, mit der man sie alle schön gleichmäßig länger machen kann.

Was tun dabei die Flächen? Sie brechen auf. Ein Fünfeck vom Dodekaeder zerbricht in fünf Dreiecke, die jeweils aus den Enden einer Kante und dem Mittelpunkt des Fünfecks bestehen. Während die Teleskopstangen ausgefahren werden, werden die Dreiecke immer spitzer. Sie bilden die Wände eines Zeltes, das über der ursprünglichen Fläche errichtet wird, mit der Teleskopstange als zentraler Zeltstange. Insgesamt ergibt sich ein Stern mit so vielen Spitzen, wie der Ursprungskörper Flächen hat.

Man kann die Teleskopstangen natürlich auch einfahren statt ausfahren; das ist einfach eine andere Wahl des Vorzeichens. Einfahren geht bis auf Länge null; dann ist der ganze Körper nur noch ein Gerippe aus den Kanten, über die sich die papierdünne Haut spannt. Die Kurzfilme zeigen das Ausfahren der Teleskopstangen von null bis auf eine ziemlich große Länge. Dem Ausfahren sind prinzipiell keine Grenzen gesetzt; allerdings sehen die Sterne für sehr große Ausfahrlängen ziemlich igelförmig aus und zeigen wenig Neues.

Einige Stellungen der Teleskopstangen sind wegen zusätzlicher Eigenschaften bemerkenswert. Jede Kante gehört ja zu zwei Flächen, und auf jeder der beiden Flächen ist dieser Kante ein Dreieck (eine Zeltwand) zugeordnet. Bei einer bestimmten Stellung der Teleskopstangen liegen diese beiden Dreiecke in einer Ebene und vereinigen sich zu einer Raute. Das ergibt die Rautenkörper, die wir aus der letzten Folge ("Entecken") schon kennen: das Rhombendodekaeder für Würfel und Oktaeder, das Rhombentriakontaeder (na gut: den Rauten-Dreißigflächner) für Dodekaeder und Ikosaeder, und für das Tetraeder? Den Würfel, denn in diesem Fall ist die Raute ein Quadrat.

Besonders interessant wird es, wenn mehrere nicht direkt benachbarte Zeltwände in eine Ebene geraten. Wenn zum Beispiel beim Oktaeder die Zeltwände gerade gleichseitige Dreiecke sind, liegen jeweils drei von ihnen in derselben Ebene wie eine Fläche des ursprünglichen Oktaeders. Zusammen ergeben diese vier Flächen ein gleichseitiges Dreieck der doppelten Seitenlänge; von denen gibt es insgesamt acht Stück, die sich gegenseitig durchdringen. Das ist die "stella octangula", die wir auch schon früher kennengelernt haben.

Beim Dodekaeder muss man auf den entsprechenden Moment etwas länger warten; aber wenn die lange Seite des Zeltflächen-Dreiecks zur kurzen im Verhältnis des Goldenen Schnitts (= (√5+1)/2 ) steht, dann findet jede Dodekaederfläche in ihrer Ebene fünf Zeltdreiecke, mit denen sie sich zum Fünfstern ergänzt.

Dasselbe Spiel geht beim Ikosaeder erheblich schneller; aber das Ergebnis besteht aus nicht besonders regelmäßigen Sechsecken und sieht auch nicht sehr auffällig aus. Deswegen hat es auch keinen besonderen Namen – es ist halt nur die erste "Stellation" ("Versternung") des Ikosaeders. Aber wenn die Zeltstangen schon ziemlich weit ausgefahren sind, geraten wieder je fünf Dreiecke in eine Ebene und bilden sogar einen Fünfstern. Nur das Fünfeck dazwischen ist keine Fläche des Ikosaeders, sondern liegt in seinem Inneren. Denn wenn man sich eine Ecke des Ikosaeders ausguckt und von den fünf dieser Ecke anliegenden Dreiecken jeweils die eine Kante nimmt, die nicht an diese Ecke grenzt, erhält man ein regelmäßiges Fünfeck.

Und wenn man schließlich die Zeltstangen des Ikosaeders ein- statt ausfährt, kommen irgendwann genau diese Fünfecke zum Vorschein, zumindest teilweise. Der Körper besteht dann aus zwölf einander durchdringenden Fünfecken.

Die offiziellen Namen dieser Sternkörper sind gewöhnungsbedürftig. Der, den ich zuletzt beschrieben habe, heißt "Großes Dodekaeder", obgleich er volumenmäßig kleiner ist als das gewöhnliche Dodekaeder aus denselben zwölf Fünfecken. Der zwanzigspitzige Stern zum Ikosaeder heißt "Großes Sterndodekaeder"; das "Kleine Sterndodekaeder" ist dafür wirklich aus dem Dodekaeder entstanden, zwölfspitzig und verglichen mit seinem großen Bruder wirklich noch etwas pummelig. Ein "Großes Ikosaeder" gibt es auch, aber das ist eine ganz andere Geschichte.

Bei der nächsten Sorte Körperverwandlung sollen die Flächen auf eine andere Art aufbrechen, wenn wir die Flächenmittelpunkts-Teleskopstangen ausfahren. Und zwar soll längs der Verbindungslinie von Flächenmittelpunkt zu Ecke keine Bruchlinie entstehen. Insbesondere soll die Fläche nicht in Dreiecke zerbrechen. Ersatzweise müssen die Bruchlinien vom Flächenmittelpunkt an eine andere Stelle der Kante verlaufen, und das muss aus Symmetriegründen der Kantenmittelpunkt sein. Also zerbricht die Fläche in "Drachen"; das sind Vierecke mit zwei Paar gleichlangen Seiten, wobei aber gleiche Seiten nicht einander gegenüber liegen wie im Parallelogramm, sondern benachbart sind. In unserem Fall sind die Paare gleich langer Seiten erstens zwei halbe Kanten, zweitens zwei Verbindungslinien von Flächenmittelpunkt zu Kantenmittelpunkt.

Damit diese Art der Körper-Vergrößerung funktioniert, müssen wir in unsere platonischen Körper weitere Teleskopstangen einbauen, und zwar vom Körpermittelpunkt zu den Mittelpunkten aller Kanten. Wenn die Flächenmittelpunkts-Stangen ausgefahren werden, müssen die Kantenmittelpunkts-Stangen sorgfältig mitgeführt werden, damit die vier Eckpunkte eines Drachens auch wirklich in einer Ebene bleiben.

Die – etwas mühsame – Rechnerei wird reich belohnt! Bei einer bestimmten Stellung der Stangen finden sich die Drachen, die im ursprünglichen platonischen Körper einer Ecke anlagen, auf einmal in einer Ebene wieder und fügen sich zu einer Seitenfläche des dualen platonischen Körpers. Damit liefert die Zerlegung in Drachen einen schönen stetigen Übergang zwischen den dualen Partnern derselben Familie. Wer also kontinuierlich einen Würfel in ein Oktaeder oder ein Dodekaeder in ein Ikosaeder verwandeln möchte, verwende die Drachen.

Wer es gerne auf Griechisch ausdrückt, sagt "Deltoid" statt Drache. Entsprechend hat der Drachenkörper auf halbem Wege zwischen Würfel und Oktaeder auch einen offiziellen Namen: "Deltoid-Dodekaeder".

Nachdem wir die Kantenmitten-Teleskopstangen schon eingebaut haben, können wir sie natürlich auch unabhängig von den Flächenmittelpunkts-Stangen ansteuern. Dadurch zerbricht zum Beispiel ein Fünfeck vom Dodekaeder nicht in fünf Dreiecke noch in fünf Drachen, sondern in zehn Dreiecke der halben Größe. Je nachdem, wie groß wir die Ausfahrlängen für die verschiedenen Sorten Teleskopstangen wählen, entstehen die verschiedensten Körper. Der etwas dickliche, vielfach gefaltelte Stern, den Sie in dem Kurzfilm sehen, ist nur eines von vielen Beispielen.

Das Ikosaeder ist auf diese Weise herstellbar, ebenso wie die ganze Schar der Dodekaeder-Ikosaeder-Drachenkörper. Insgesamt liefert das Verfahren mit den unabhängig voneinander angesteuerten Teleskopstangen-Scharen einen guten Überblick über die ganze Familie (der Vier- beziehungsweise Fünfzähligen). Das heißt nicht, dass jedes Mitglied der Familie über dieses Verfahren herstellbar wäre – aber so ungefähr.

Wenn beispielsweise bei den Fünfzähligen die Stangen in beliebiger Stellung stehen (wohlgemerkt: alle Flächenmittelpunktsstangen in der einen Länge und alle Kantenmittelpunktsstangen in der anderen Länge), dann zerfällt der Körper in 120 Dreiecke. Die können selbst die Grenzflächen eines Polyeders sein; möglicherweise liegen sie auch zu mehreren in einer Ebene, sodass das Polyeder weniger als 120, dafür größere Flächen hat. Oder über jedem Dreieck liegt ein "Überbau": ein Hütchen oder etwas Komplizierteres, das unter sich vielleicht das Dreieck vollkommen verbirgt. Aber es muss für jedes Dreieck derselbe Überbau sein, genauer gesagt: ein Überbau über einem Dreieck und über dessen unmittelbaren Nachbarn der spiegelbildliche Überbau. So lässt sich jedes Mitglied der Fünfzähligen-Familie beschreiben. Für die Vierzähligen gilt Entsprechendes.

Kommentare und Anregungen sind wie immer stets willkommen!

Herzlich Ihr

Christoph Pöppe
Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft