Hier stelle ich Ihnen nun, wie in der vorletzten Folge versprochen, nach Norman Johnson und Bonnie Stewart den dritten der Helden vor, die jeder eine beeindruckende Anzahl an ziemlich regelmäßigen Polyedern gefunden und beschrieben haben. Er heißt Harold Scott Macdonald Coxeter und ist der berühmteste unter den dreien; 1907 geboren, war er seit 1936 Professor in Toronto (Kanada) und verfasste unzählige Beiträge zur Geometrie, darunter das Buch "Regular Polytopes", das von der Verallgemeinerung der Polyeder auf mehr als drei Raumdimensionen handelt. Erst am 31. März 2003 ist er im gesegneten Alter von 96 Jahren gestorben.

Sein Werk, das hier gepriesen werden soll und das er gemeinsam mit seinen britischen Kollegen M. S. Longuet-Higgins und J. C. P. Miller aus Cambridge verfasst hat, ist auch schon stolze 50 Jahre alt. Es geht um "uniforme Polyeder". Der Begriff ist eine ziemlich nahe liegende Verallgemeinerung der archimedischen Polyeder: Ein uniformes Polyeder hat lauter gleiche Ecken, und seine Grenzflächen sind lauter regelmäßige Vielecke; es dürfen Vielecke verschiedener Sorten vorkommen. Das gilt alles für die archimedischen Körper auch noch. Die Verallgemeinerung besteht darin, ein unscheinbares Wörtchen wegzulassen: "konvex".

Diese Eigenschaft scheint so selbstverständlich, dass man sie in der Regel gar nicht ausdrücklich erwähnt: Jeder archimedische Körper ist konvex, das heißt, zu zwei beliebigen Punkten des Körpers verläuft die Verbindungsstrecke gänzlich im Körper. Einspringende Ecken, Löcher oder Hohlräume gibt es nicht. Und das muss auch irgendwie so sein, denn wenn alle Ecken gleich sind, dann sind sie entweder alle ganz normal (nach auswärts gerichtet) oder alle einspringend, und Letzteres geht sowieso nicht. (Es sei denn, das Polyeder wäre unendlich, und das ist wieder eine ganz andere Geschichte.)

Wie kann es also überhaupt nicht-konvexe uniforme Polyeder geben? Zum Beispiel indem ihre Grenzflächen, die Polygone, nicht konvex sind. Ein regelmäßiges Vieleck (Polygon) hat n gleiche Seiten und n gleiche Winkel; und wenn es nicht konvex sein muss, dann dürfen sich die Seiten auch überschneiden. Kurz gesagt: Unter den Grenzflächen sind Stern-Vielecke zugelassen.

Die Ecken eines gewöhnlichen n-ecks liegen alle auf einem Kreis. Stellen wir uns Nägel vor, die an den entsprechenden Stellen in den Kreis eingeschlagen sind. Ein sternförmiges n-eck erhält man, indem man mit einem Faden in der Hand den Kreis umläuft und den Faden nicht an jedem Nagel festknotet (das wäre ein gewöhnliches n-eck), sondern zum Beispiel nur an jedem zweiten oder allgemeiner an jedem k-ten Nagel.

Das kleinste nicht-konvexe regelmäßige Polygon ist das Sternfünfeck (Pentagramm), dessen Seiten gleich den Diagonalen eines gewöhnlichen Fünfecks sind: n=5, k=2. Das Sternsechseck (der Davidsstern) zerfällt in zwei gleichseitige Dreiecke; man muss also zwei getrennte Fäden knüpfen und erhält nichts wesentlich Neues – gleichseitige Dreiecke kennen wir ja schon. Stern-Siebenecke gibt es in einer stumpfen Form (k=2) und einer spitzen (k=3). Von den Stern-Achtecken gibt es ein langweiliges (k=2 ergibt zwei Quadrate, um 45 Grad gegeneinander gedreht) und ein interessantes (k=3).

Die Geometer bezeichnen ein gewöhnliches n-Eck gerne kurz mit {n} und ein sternförmiges mit {n/k}. Das Pentagramm ist also ein (5/2)-eck. Die merkwürdige Bezeichnung bekommt Sinn, wenn man die Brüche auf den Kopf stellt: Vom Mittelpunkt des Kreises aus gesehen, überdeckt eine Seite eines gewöhnlichen Fünfecks ein Fünftel des Vollwinkels, und eine Seite des (5/2)-ecks eben zwei Fünftel.

Was für Polyeder kann man nun mit sternförmigen Polygonen bauen? Zum Beispiel dieses (siehe Bild), das wegen der prominenten Fünfsterne recht hübsch aussieht. Man kann es sich aus einem massiven Dodekaeder entstanden vorstellen. Auf jede Fünfecksfläche zeichne man die Diagonalen des Fünfecks, sodass sich ein Pentagramm ergibt. Damit von den Fünfecken nur noch die Pentagramme übrig bleiben, muss man aus jeder Kante eine Art doppelten Keil herausschneiden. Und siehe da: Die dabei entstehenden Schnittflächen (rot im Bild) sind lauter kleine gleichseitige Dreiecke, zwei pro Kante, das macht bei den dreißig Kanten des Dodekaeders 60 Stück.

Also besteht das uniforme Polyeder aus zwölf Pentagrammen und 60 kleinen gleichseitigen Dreiecken? Falsch. Es besteht aus zwölf Pentagrammen und zwanzig großen gleichseitigen Dreiecken. Wie bei gewöhnlichen Polyedern gilt die Bedingung: Flächen grenzen entlang von ganzen Kanten aneinander, und an jede Kante grenzen genau zwei Flächen. Die Kanten des Pentagramms sind die langen, durchgehenden Fünfecksdiagonalen und nicht nur deren sichtbare kurze Teilstücke. Also liegt der größte Teil unserer zwanzig Dreiecke im Dunkeln, sprich im Inneren des Polyeders, und sichtbar sind von jedem Dreieck nur drei kleine Enden in der Nähe der Ecken.

Damit ist auch klar, wieso ein uniformes Polyeder nichtkonvex sein kann, ohne einspringende Ecken zu haben. Was an unserem Beispielkörper so aussieht wie einspringende Ecken, nämlich die Schnittpunkte der Seiten der (5/2)-ecke: Das sind keine Ecken! Ecken sind Endpunkte von Kanten; und wenn an einer Stelle eine Kante ab- und zugleich eine andere auftaucht, ist das noch lange keine Ecke. Deswegen erfüllt dieses Polyeder auch die Bedingung, dass alle Ecken gleich sind. Man darf halt nicht Ecken und Pseudo-Ecken einfach in einen Topf werfen.

Mit der Erweiterung auf Nicht-Konvexes handelt man sich unweigerlich ein paar Komplikationen ein. Erstens muss man – wie beschrieben – damit rechnen, dass Flächen einander durchdringen und damit nicht mehr vollständig sichtbar sind. Das Polyeder ist gewissermaßen mehrfach um seinen Mittelpunkt gewickelt, ebenso wie ein Sternvieleck: Wenn man dessen Seiten entlangläuft, macht man mehrere Umläufe um seinen Mittelpunkt.

Diese bildliche Vorstellung kann man auf folgende Weise exakt machen: Uniforme Polyeder haben, weil alle ihre Ecken gleich sind, einen wohldefinierten Mittelpunkt. Das ist der Mittelpunkt der Umkugel, also der Kugel, auf der alle Ecken liegen und die daher das Polyeder gerade stramm einhüllt. Jeder von diesem Mittelpunkt ausgehende Strahl trifft nicht nur, wie üblich, eine Fläche des Polyeders, sondern mehrere, in unserem Beispiel zwei. Diese Anzahl heißt die "Dichte" des Polyeders.

Die zweite Komplikation sieht man am besten, wenn man etwas verschärft über ein nettes Verfahren zur Erzeugung uniformer Polyeder nachdenkt. Erinnern wir uns an die "Bauchbinden" aus der vorletzten Folge. Man kann sechs platonische beziehungsweise archimedische Körper entlang gewisser Ebenen zerschneiden, die das Polyeder nur in Kanten treffen; dabei ist die Schnittfläche wieder ein regelmäßiges Vieleck. Es handelt sich um das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder.

Nehmen wir also einen solchen Körper und fügen sämtliche Schnittflächen hinzu. Dann kommt es vor, dass jede Kante des ursprünglichen Körpers von genau einer Schnittfläche getroffen wird. Also liegen an jeder Kante drei Flächen an: die beiden ursprünglichen plus die Schnittfläche. Lassen wir jetzt von den ursprünglichen Flächen jede zweite weg, und zwar so, dass an jeder Kante nur noch eine der ursprünglichen Flächen anliegt; das muss nicht gelingen, funktioniert aber erstaunlich häufig. Dann haben wir einen Körper, der hat genau dieselben Kanten wie der Körper, mit dem wir angefangen haben. An jeder Kante liegen genau zwei Flächen, nämlich eine ursprüngliche und eine Schnittfläche. Die Ecken sind auch dieselben geblieben, und alle Ecken sind gleich. (Worüber man sich im Einzelfall noch vergewissern muss.) Also ist es ein uniformes Polyeder!

Prima. Aber wo ist das Innere dieses Polyeders? Das ist eine erstaunlich schwierige Frage. Gewöhnliche Polyeder haben ein Inneres und ein Äußeres, was nicht besonders erstaunlich ist, denn jede Fläche hat eine Innen- und eine Außenseite. Streichen wir von jeder Fläche die Innenseite rot und die Außenseite blau, dann sehen wir nie zwei Flächen verschiedener Farbe aneinander grenzen, egal von wo – innen oder außen – wir uns das gute Stück anschauen. Genau das kann uns bei den Polyedern, die wir mit obiger Schnittflächenmethode konstruiert haben, aber passieren. Wie soll man die Schnittflächen einfärben? Die dem Mittelpunkt zugewandte Seite rot, die abgewandte Seite blau? Das gibt im Allgemeinen Farbkonflikte mit den angrenzenden ursprünglichen Flächen, und es geht überhaupt nicht, wenn die Schnittfläche durch den Mittelpunkt verläuft, was häufiger vorkommt. Oder man legt die Färbung einer Fläche fest, färbt die Nachbarflächen dazu passend und so weiter – und gerät irgendwann doch in Konflikte, weil eine noch ungefärbte Fläche auf einmal zwei unverträglich gefärbte Nachbarn hat.

Es ist im Prinzip dasselbe, wie wenn man zwei Anstreicher bittet, die beiden Seiten eines Möbiusbandes verschieden anzumalen. Das geht auch irgendwann schief. Die offizielle Bezeichnung ist: Diese Polyeder sind – ebenso wie das Möbiusband – nicht orientierbar.

Es ist sehr einfach, unendlich viele nichtkonvexe uniforme Polyeder zu finden. Das geht genauso wie bei den archimedischen Kollegen, unter denen sich unendlich viele Prismen und Antiprismen befinden. Man nehme zwei gleiche Sternvielecke und hänge sie so übereinander, dass ihr Abstand genau so groß ist wie ihre Kantenlänge. Dann kann man jede Kante des oberen Sternvielecks mit der entsprechenden – parallelen – Kante des unteren Sternvielecks durch ein Quadrat verbinden. Das ist die unendliche Serie der Sternvielecksprismen.

Oder man verdreht das obere und das untere Sternvieleck gegeneinander, sodass eine Ecke des unteren genau unter die Mitte einer Kante des oberen zu liegen kommt (und umgekehrt), und verbinde diese Ecke mit den Enden der Kante zu einem gleichseitigen Dreieck. (Bei vielen Sternvielecken, zum Beispiel beim Pentagramm, gibt es da gar nichts zu verdrehen – die Ecke liegt schon richtig.) Damit das wirklich gleichseitig wird, muss man die beiden Sternvielecke, verglichen mit dem Sternvielecksprisma, einander etwas annähern. Das ergibt die Sternvielecks-Antiprismen.

Deren Dreiecke durchdringen sich gegenseitig. Was bleibt ihnen anderes übrig, wenn schon die Kanten der Sternvielecke einander durchdringen? Aber es kommt noch schlimmer. Man kann eine Kante statt mit der darunter liegenden Ecke auch mit der Ecke verbinden, die im unteren Sternvieleck genau gegenüber liegt: vordere Kante des oberen Sternvielecks mit hinterer Ecke des unteren, oder so. Dazu muss man möglicherweise die Sternvielecke etwas anders gegeneinander verdrehen und auf jeden Fall noch etwas näher zueinander bewegen. Außerdem durchdringen sich bei diesen "überkreuzten Sternvielecks-Antiprismen" die Dreiecke noch schlimmer als bei den obigen Antiprismen. Aber für ein uniformes Polyeder ist das ja keine Schande.

Und wenn man dasselbe Spiel mit Quadraten macht? Zwei Sternvielecke um 180 Grad gegeneinander verdreht übereinander hängen und einander entsprechende (parallele) Kanten durch Quadrate verbinden? Gibt es überkreuzte Sternvielecks-Prismen? Es ist kein Problem, die Höhe des ganzen Gebildes so zu wählen, dass es wirklich Quadrate werden; aber was herauskommt, ist kein Polyeder! Denn die beiden Quadratseiten, die nicht zugleich Kanten eines Sternvielecks sind, hängen einsam in der Luft, im Gegensatz zu den drei anderen Fällen.

Außer den drei Serien von Prismen, Antiprismen und überkreuzten Antiprismen gibt es nur noch endlich viele uniforme Polyeder, und sie alle zu finden ist weitaus schwieriger. Das Kleine und das Große Sterndodekaeder, die von lauter Pentagrammen begrenzt sind, und das Große Dodekaeder, in dem zwölf gewöhnliche Fünfecke einander durchdringen, haben wir schon in Folge 9 kennen gelernt. Durch geschicktes Entecken und Entkanten (siehe Folge 8) kann man manchmal aus einem uniformen Polyeder ein weiteres machen. Mit weiteren, mehr oder weniger systematischen Mitteln hatten die Geometer schon vor Coxeter reichlich vierzig nichtkonvexe uniforme Polyeder gefunden. Aber erst in der 1954er Arbeit von Coxeter und seinen Kollegen werden sie alle vollständig aufgezählt. Die platonischen und archimedischen sowie die Prismen und die zwei Sorten Antiprismen nicht gezählt, gibt es noch 57 Stück.

Selbst Coxeter, Longuet-Higgins und Miller konnten damals nicht beweisen, dass ihre Sammlung vollständig war. Erst 1975 stellte sich, durch den Beweis eines Menschen namens J. Skilling, heraus, dass sie wirklich keines übersehen hatten.

Die Bedingung "alle Ecken sind gleich" erzwingt ein hohes Maß an Symmetrie, wie wir das von den platonischen und den archimedischen Körpern schon kennen. Jedes uniforme Polyeder zählt zu einer der großen Symmetriefamilien (Drei-, Vier- und Fünfzählige); es gibt allerlei "Bastarde" unter ihnen, enge Verwandte des schiefen Würfels und des schiefen Dodekaeders. Die zahlreichen Sternvielecke machen sie über die Symmetrie hinaus noch besonders ansehnlich, und die meisten unter ihnen sind ungeheuer vielgestaltig. 60 Ecken und 120 bis 180 Kanten sind häufig vorkommende Werte; das bietet schon eine erhebliche Prachtentfaltung. Der komplizierteste unter diesen Körpern – in mancher Hinsicht eine Ausnahmeerscheinung – besteht aus 40 Dreiecken, 60 Quadraten und 24 (5/2)-ecken, was immerhin 60 Ecken und 240 Kanten ergibt.

Das ist alles sehr schön anzusehen – wenn man die Polyeder leibhaftig vor sich hat. Im Science Museum in London stehen sie sämtlich in einer Vitrine in der Mathematikabteilung. Ich gestehe, ich bin in stummer Bewunderung vor ihnen verharrt; und meine Bewunderung galt nur zum kleineren Teil der Schönheit der geometrischen Körper. Ich staune über die Geduld, den Fleiß und die Präzision des Erbauers (dessen Namen ich leider vergessen habe).

Aber bevor man sie bauen oder auch nur auf dem Bildschirm darstellen kann, wollen sie erst gerechnet werden: die Koordinaten der Eckpunkte für den Computer, für die leibhaftige Herstellung die Form der sichtbaren Flächenteile (was wesentlich mehr Aufwand ist). Coxeter und Kollegen haben ihrer Arbeit eine große Tabelle mit den gröbsten Informationen beigefügt. Insbesondere findet sich dort für jedes Polyeder der Umkugelradius, sprich der (für alle Ecken gleiche) Abstand der (echten) Ecken vom Mittelpunkt. Das ist in den meisten Fällen ein Ausdruck mit Wurzeln unter Wurzeln; nur bei den schiefen Körpern ist eine lange Dezimalzahl als Näherung angegeben, denn für die Bastarde muss man Gleichungen dritten Grades lösen.

Der Benediktinermönch Magnus J. Wenninger von der St. John's Abbey in Minnesota hat in jahrelanger Arbeit für sämtliche uniformen Polyeder die Form der sichtbaren Flächenteile ausgearbeitet und 1971 in seinem Buch "Polyhedron Models" veröffentlicht. Er hat sie, wohlgemerkt, auch sämtlich mit eigenen Händen gebaut; für die komplizierteren unter ihnen gibt er Bauzeiten an, die im Bereich von 50 bis 100 Stunden liegen. Wahrlich ein Unternehmen, für das man einen langen Atem braucht!

Aber damit hat sich Wenninger nicht zur Ruhe gesetzt. Es gibt ja zu jedem uniformen Polyeder auch das Duale. Wie war das? Man ersetze Ecken durch Flächen und umgekehrt; aus einer Kante wird eine querliegende Kante. Wenn das Polyeder eine Umkugel hat, wie das bei den uniformen der Fall ist, dann findet man das Duale durch eine Konstruktion, die keiner Willkür Platz lässt (siehe Folge 11). Also gibt es noch einmal 57 der wildesten Körper; die haben lauter gleiche Flächen (weil die uniformen selbst lauter gleiche Ecken haben), und Wenninger hat sie in einem weiteren Buch namens "Dual Models" beschrieben.

Jedes der Prachtstücke hat übrigens, von Wenninger und anderen, einen langen, griechischen, ziemlich zungenbrecherischen Namen. Aber ich glaube nicht, dass die Namen sonderlich nützlich sind. Können Sie sich unter einem "schiefen Ikosidodekadodekaeder" (Nummer 112 in Wenningers Buch) etwas vorstellen? Oder leuchtet Ihnen ein, was diesen Körper vom "schiefen Dodekadodekaeder" (Nummer 111) unterscheidet?

Zvi Har'El aus Haifa (Israel) hat 1993 das Berechnungsverfahren vereinheitlicht und modernisiert, und Roman Maeder aus Zürich hat Har'Els Verfahren in die mathematische Universalsoftware "Mathematica" umgesetzt (die auch mir für die Computerbilder dieser Folge immer wieder gute Dienste geleistet hat). Maeder stellt nicht nur Computergraphiken aller uniformen Poyeder frei verfügbar ins Netz, sondern auch die zu ihrer Berechnung verwendeten Programme.

Ab da gab es anscheinend kein Halten mehr. Viele Polyederfreunde, darunter etliche, die wir schon aus früheren Folgen kennen, haben es sich nicht nehmen lassen, ihre eigenen uniformen Polyeder, mit eigener Färbung oder Schattierung und/oder mit der Maus des Betrachters bewegbar, ins Netz zu stellen. Schauen Sie nach! Die Augen werden Ihnen übergehen.

Kommentare und Anregungen sind wie immer stets willkommen!

Herzlich Ihr

Christoph Pöppe
Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft

Literaturhinweise zu dieser Folge:
H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Bd. 246, S. 401 – 450 (1954).
Magnus J. Wenninger: Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1971.
Zvi Har'El: Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Geometriae Dedicata Bd. 47, S. 57 – 110 (1993).
Roman E. Maeder: Uniform Polyhedra. The Mathematica Journal Bd. 3, Nr. 4, 1993. Download über Maeders Website www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/

Webhinweise für diese Folge:
www.mathconsult.ch/showroom/unipoly: Roman Maeders großer, illustrierter Überblick über die uniformen Polyeder.
www.georgehart.com/virtual-polyhedra/uniform-info.html: George Hart zu den uniformen Polyedern, mit vielen VRML-Animationen
http://www.software3d.com/: Robert Webb, mit sehr vielen aus Karton gebauten Modellen
http://bulatov.org/polyhedra/uniform/index.html: Vladimir Bulatov
http://www.orchidpalms.com/polyhedra/: Jim McNeill
gratrix.net/polyhedra/uniform: Sam Gratrix
http://www.saintjohnsabbey.org/our-work/arts-trades/artwork/fr-father-magnus-wenninger-osb/: Magnus Wenninger
www.isama.org/polyh/: Liste mit weiteren Quellen
http://www.polytope.net/hedrondude/polychora.htm: Jonathan Bowers oder auch Polyhedron Dude über uniforme Polyeder in vier Dimensionen