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Wenn Sie die Gleichung durch x-y teilen, dürfen Sie das nur tun, wenn x-y nicht Null ist. D.h. der Fall x=y ist gesondert zu betrachten und liefert zwei zusätzliche Lösungspaare: x=y=(1+wurzel(1373))/2 und x=y=(1-wurzel(1373))/2

In Hans-Karl Eders Artikel "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" wurde an einer Stelle zu Beginn stillschweigend eine Gleichung durch (x-y) geteilt. Dies ist aber nur möglich, wenn x ungleich y ist.

Für den Fall x=y ergeben beide Ausgangsgleichungen dieselbe quadratische Gleichung x^2-x=343, deren Lösungen zwei zusätzliche Lösungspaare des Originalsystems darstellen, nämlich x=y=0.5±sqrt(343.25).

(((7×z)-1)÷((8×z)+1))=4/5
^^^ Ist im Prinzip das Problem auf direktestmöglichem Weg

z = 3, kann man ausprobieren, da wir wissen, dass z die Form (int) hat, weil auch das Ergebnis (int) sein muss und die multiplikatoren (int) sind.
Jeweils den Oberen bzw. unteren Bruch lösen:
7*3 - 1 = 21 - 1 = 20
8*3 + 1 = 24 + 1 = 25

Ist etwas simpler, wenn man direkt zur Gleichug kommt.
Ausserdem braucht man nur 1 Variable.

* (int) integer -> Ganzzahl

Die Zetafunktion (bei dem Wert 2) ist mit den Kreisen von Radius n eindeutig (Es ist beweisbar, durch den Halbkreis Satz.) verbunden.
Dementsprechend ist die Vermutung wahr, falls mindestens eine geometrische Funktion mit reellen Werten existiert, derer komplexen Lösungen (unendlich viele) erfüllen die Gleichung:
1/2 + ti=0
Eine solche geometrische Funktion habe ich gefunden, die die Vermutung bestätigt.
Die wichtigste Information ist der Halbkreis Satz.
(Sie haben einmal einen Artikel über solchen Beweis geschrieben. Den Beweis teile ich jetzt nicht mit.

Ich werde ihn vielleicht an die Redaktion schicken, hier als ein Beitrag. Ich muss mich noch entscheiden. Der Hacken ist, habe ich Recht, sowieso wird es nichts passieren. Die Redaktion hat keine Interesse daran, ob ein Leser Recht hat oder nicht. Und der Beitrag wird nicht veröffentlicht.)

Beim Kürzen mit x-y muss man x=y ausschließen. Tatsächlich sind auch alle Paare (x,y) mit x=y Lösungen beider Gleichungen.

Bei der Division durch x-y haben Sie zwei Lösungen unterschlagen. Denn x=y löst die Differenzgleichung auch und liefert noch zwei irrationale Lösungen (1 ± √1373) / 2.

WolframAlpha findet natürlich auch alle vier Lösungen.

Jetzt haben sie aber vergessen, eine Division durch 0 auszuschließen.
Nämlich wenn (x-y) = 0 ist, auch in diesem Fall wird die geforderte Gleichung (x-y)(x+y)=-(x-y) eingehalten, und x=y.
Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung führt zu den Lösungen (1+Wurzel(1373))/2 und (1-Wurzel(1373))/2, jeweils identisch für x und y.
Zu den angeführten Zahlenpaaren (18/–19) und (–19/18) kommen somit die beiden weiteren Lösungen (19,0270073.../19,0270073...) und (-18,0270073.../-18,0270073...) hinzu.

Ich bin nur ein Hobbymathematiker, aber m.E. ist die o.a. Lösung unvollständig.
Die Gleichung wird durch (x-y) dividiert, d.h. der Fall (x=y) wird bei dieser Herleitung nicht behandelt (w/ Div. durch 0).
Aber auch der Fall x=y führt zu einer Lösung, nämlich über die Gleichung x^2 - x - 343 =0. Die Ergebnisse für x/y sind dann zwar aus R, aber es war ja nicht verlangt, dass x,y aus N sein müssen.

Die Gleichung (x-y)(x+y) = -(x-y) wird durch (x-y) dividiert. Das ist nur möglich, wenn x ≠ y. Wenn x = y, dann stimmt obige Gleichung auch (0 = 0) und wir erhalten zwei weitere Lösungen: ((1±√1373)/2, (1±√1373)/2).

Hallo Herr Eder,
im Rätsel https://www.spektrum.de/raetsel/welches-zahlenpaar-fuehrt-zu-einer-loesung/2212515 dividieren Sie in einer der Umformungen durch (x-y) und übersehen daher eine weitere Lösung für x=y, nämlich x = y = (1+wurzel(1373))/2. Oder es fehlt in der Aufgabenstellung der Hinweis, dass es sich bei x und y um ganze oder jedenfalls verschiedene Zahlen handeln soll.
Schöne Grüße
Peter Denzlein

Aus der Zeile (x-y)⋅(x+y) = -(x-y) sieht man sofort, dass auch (mindestens) eine Lösung existiert für den Fall x = y.

Die Lösungen sind dann
x = y = (1 + √(137))/2
und
x = y = (1 - √(137))/2

Sehr geehrter Herr Eder,
in Ihrer Algebra-Übung zu "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" teilen Sie auf beiden Seiten durch (x-y) . Das darf man natürlich nur machen, wenn man sich davon überzeugt hat, dass man nicht durch Null teilt. Tatsächlich ging so die Lösung mit y=x verloren. Auch damit erhält man eine quadratische Gleichung x²-x-343 mit den Lösungen 0,5 *(1 +- wurzel(1373))
Der y-Wert entspricht dann jeweils genau dem x-Wert.
Mit freundlichen Grüßen

Dieter Schütt

Manche dieser Rätsel sind mir zu kompliziert, an diesem hatte ich gleich Spaß. Denn wenn 4 Zahlen die Summe 23 ergebe und 5 Zahlen die Summe 28, kann die 5. Zahl ja nur eine 5 sein (28-23=5).
Jetzr musste ich nur noch überlegen, an welchen Stellen diese 5. Zahl steht kann. Es sind alle außer der Mittlerrn. So war das Rätsel ohne Aufstelken von Gleichungen schnell zu lösen.

Gleiche Mustern, Fraktale entstehen durch Funktionen. Hierzu gehören auch die geometrische Funktionen. Die Energieniveau der Kernspaltung weist ähnliche Mustern auf.
Nun, es gibt s9 eine geometrische Funktion, die das ähnliche Muster hervorruft.
Die FUNKTION:
Kegelschnitte sind die folgenden: die Parabel, der Kreis und die Ellipse, die Hyperbel. Der Energieniveau passt als einfachstes Modell der Kreis.
Bemerkung: Ist eine physikalische Eigenschaft mit dem Kreis teilweise beschreibbar, so entspricht die Eigenschaft teilweise auch einer Eigenschaft des Kreises. Ist die Riemannsche Zetafunktion mit dem Kreis verbindbar, so kann die die physikalische Eigenschaft mit der Zetafunktion verbunden werden.
A.) Zetafunktion und der Kreis.
Der Kreis hat eine besondere Eigenschaft, die sich in dem Halbkreis Satz ausdrückt: m^2= p×q (Grund des Thales Satz)
Die Gleichung ist gleich die geometrische Funktion, die zu Riemannscher Zetafunktion bei dem Wert 2 führt.

Ich nehme einen Kreis mit Radius r (r=1,2,.....,n). Sei AB=2r; O=das Origo; C=ein beweglicher Punkt auf dem Umfang.
Die Ausgangsposition: der COB Winkel=90°. C bewegt sich in die Richtung B auf dem Umfang.Voraussetzung: C nicht =B. Der belaufen Weg geht damit zu dem Wert π/2 (Grenzwert).

p(0)=AO=r; p(x)=ein Wert zwischen O und B. q(x)=2r-p(x); P(x) liegt zwischen O und B, so P(x)C(x)=m(x)
Hieraus folgt es: (p(x) + q(x))/r = 1/2

Kehrwert der Funktion:
1/m(x)^2 = (1/p(x)) × (1/ q(x))

Die Summe der Werten von 1/p(x) geht zum Wert π/2, weil die belaufe Länge von C(x) hat den Grenzwert π/2.
Es ist der Summenwert von 1/q(x) zu bestimmen.
Nach dem obigen Ergebnis:
m(1/2)^2=p(r+(1/2)) × q(2r-r-(1/2))=
p(r+(1/2)) × q(r-(1/2))
Hieraus folgt es: C(1/2)B=r. Damit ist die Dreieck OC(1/2)B eine gleichseitige Dreieck mit Innenwinkel 60°.
Die Summe der Werten von 1/q(x) geht zum Wert π/3
Dem entsprechend geht die Summe von 1/m(x)^2 zum Wert (π/2) × (π/3)
Folge: Die Zetafunktion beschreibt eine allgemein gültige Eigenschaft der Kreise.

Weitere Eigenschaft des Kreises: jeder Kreis ist doppelt symmetrisch. Dementsprechend gibt es vier Geraden in Bezug auf die Zetafunktion bei dem Wert 2:
x=-/+ 1/2 und y=-/+ 1/2

Weitere Eigenschaft des Kreises: zu m(x) als Radius, der vier mal im Kreis Auftritt, gehört ein Umfang.
Die Werte p(x) und q(x) kann man auch als Radius deuten.

Die Eigenschaften schaffen komplexe Mustern und Fraktale, die sich unendlich wiederholen, was in der Physik zum Quantenchaos führt.

Bemerkung: Wurzelziehen aus negativen Zahlen bedeutet geometrisch, dass das Ergebnis wird mit 90° auf die imaginäre Achse platziert: Wurzel(-a)= a^(1/2) × a^(ti)
Ist -a eine Nullstelle von einer Funktion, dann liegt die auf der Gerade 1/2 + ti.

Die Geraden x=-/+ 1/2 und y=-/+ (1/2 + it) des Kreises sind die Symetrieachsen der Mustern, der Fraktale, auf der die Mustern und Fraktale gemeinsame Werte haben. Diese gemeinsamen Werte sind die Nullstellen einer Funktion.
Diese Funktion, nach der Eigenschaften des Kreises, kann nur die Zetafunktion bei den Wert 1/2 + it sein.

Der Eigenschaften des Kreises entsprechend gehört dem Kreis eine 4 × (r^2) × (π^2) wertige Fläche (2×p(x)×π × 2×q(x)×π).
Ist r=1, dann die Fläche bemisst:
4 × π × π
Folglich: Dem Komplex Origo gehört zwei Werte: einmal der Wert Null und einmal der Wert 4×π^2 als eine komplexe Flächeneinheit.

Weitere Bemerkung: der Radius r kann auch so aufgefasst werden, dass r dem Radius der Energieniveau entspricht.
Folglich: E^2 < 4×(r^2)×(π^2)×(Planck Energie)

Es geht auch ohne vollständige Induktion und der intuitiven Formel n^3+n indem man zweimal die Formel für die Summe der ersten n Zahlen verwendet. Vor der 50 Reihe treten 1+2+3+4+...+49 =25×49 gerade Zalen auf. Die 50. Reihe beginnt dann mit 25×49×2+2 und geht bis 25×49×2+100 Nochmalige Anwendung der Summenformel ergibt die gleiche Summe.