Kommentare - - Seite 214

Irreduzible Polynome vom Grad höchstens 3 über endlichen Körpern lassen sich durch Probieren finden. Nehmen wir also den Körper \(\mathbb{F}_7\) und suchen wir nach (normierten)
irreduziblen Polynome der Form
\[x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \qquad (*) \]
Irreduzibel heißt ja, dass es keine Möglichkeit gibt, dieses Polynom als ein Produkt von zwei Polynomen kleineren Grades zu schreiben. Daraus folgt sofort, dass kein Körperelement in das Polynom eingesetzt werden kann, so dass die Auswertung 0 ergibt. Denn wenn es eine Nullstelle \(\ell\) gibt, dann kann man diese „abdividieren“:
\[(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0):(x-\ell)=x^2+b_1x+b_0 \; ,\]
also gilt
\[(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)=(x-\ell)\cdot(x^2+b_1x+b_0 )\; ,\]
und wir haben das Polynom zerlegt.

Andererseits muss jede Zerlegung eines Polynoms dritten Grades in das Produkt von zwei Polynomen kleineren Grades immer das Produkt eines quadratischen und eines linearen Polynoms sein. Deshalb ist ein Polynom vom Grad 3 genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat. (Bei größeren Graden ist das nicht mehr gegeben, weil das Polynom keine Nullstelle haben, aber trotzdem in kleinere Polynome vom Grad >1 zerfallen kann.

Wenn das Polynom (*) irreduzibel ist, folgt daraus, dass \(a_0\) nicht 0 sein kann, denn ansonsten könnte man \(x\) ausklammern und so eine Zerlegung des Polynoms erhalten. Es bleiben also jeweils 7 Möglichkeiten für \(a_2\)
und \(a_1\) sowie 6 Möglichkeiten für \(a_0\). Damit gibt es \(7^2\cdot 6=294\) mögliche Kandidaten. Für jedes dieser Polynome schaut man nun, ob es eine Nullstelle in \(\mathbb{F}_7\) hat. Hat es keine, ist es irreduzibel.

Diese Rechnung ist ein bisschen mühselig, aber man findet so ein passendes Polynom:
\[x^3+x^2+3x+1 \]
Hierin die Elemente \(0,\dots,6\) von \(\mathbb{F}_7\) eingesetzt, ergibt nacheinander \(1,6,5,4,2,5,5\). Die Null kommt nicht vor, also ist das Polynom irreduzibel. Wie im Artikel sagen wir nun einfach, \(\lambda\) ist Nullstelle dieses Polynoms. Allerdings können wir uns nicht die Potenzen von \(\lambda\) anschauen, um auf die Differenzmenge zu kommen, denn \(\lambda\) ist in diesem Fall kein primitives Element, es hat nur die Ordnung 38, das heißt \(\lambda^{38}=1\) und damit ist \(\lambda^{39}=\lambda\cdot(\lambda^{38})=\lambda\). Das reicht natürlich nicht, um die Differenzmenge zu erzeugen, denn dafür muss die Ordnung mindestens 57 sein. Ein primitives Element hätte die Ordnung \(7^3-1=342\) und reicht natürlich immer. Aber auch das Element \(\lambda+5\) reicht, denn es hat die Ordnung \(171=3\cdot 57\). Mit ihm kommt man auf die im Artikel genannte Differenzmenge.

Sie sehen, bei Differenzmengen größerer Ordnung wird es etwas langwieriger, deshalb hatte ich kein Polynom mehr angegeben. Ohne Computer macht es keinen großen Spaß mehr, die Potenzen auszurechnen und zu reduzieren, insbesondere, wenn man wie hier \((\lambda+5)^j\) für \(j=1,\dots,57\) rechnen muss. Es gibt zwar auch immer primitive, irreduzible Polynome, da ist dann die Nullstelle direkt ein primitives Element, wie das in den beiden im Artikel angegeben Fällen war, aber die zu bestimmen, erfordert genauso viel Rechnerei.