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In der Theorie dürfte ½ schon richtig sein – irgendwann schalte ich schneller als Planck erlaubt, und alles, was dann geschieht, geschieht für uns gleichzeitig: Die Lampe ist im selben Moment an und aus, miaut... scheint also mit halber Kraft. In der Praxis könnte das Resultat durchaus Kabumm lauten, oder Schwarzes Loch: Wenn ich schneller neues Licht hinzufüge, als das alte überhaupt wegfliegen kann, habe ich irgendwann unendlich viel Energie an einem Ort, und das Universum reagiert auf die Weise, die es für angemessen hält. Natürlich müsste ich dazu die Versuchsanordnung gewaltig ändern, denn schneller schalten als Lichtgeschwindigkeit kann ich ja gar nicht, und alle Impulse müssen ja auch Zeit haben, Strecken zu überwinden und Wirkung zu entfalten. Wenn ich allerdings genug Energie haben will, um die Unendlichkeit zu betreiben, sollte ich es nicht unbedingt bei den geltenden Strompreisen versuchen. Ich kann nur hoffen, dass die Reibung das Experiment verdampft, bevor es zu teuer wird.

Die Frage nach dem Ende der Unendlichkeit scheitert an ihrem inneren Paradoxon, und das Universum antwortet ausweichend – wenn ich mir die An-Aus-Glühbirnen als eine Reihe vorstelle, die entlang einer Zeitachse angeordnet sind, knickt diese irgendwann und weicht in eine andere Dimension aus, die rechtwinklig abzweigt. Ab da überlagern sich alle Glühbirnen, während sie immer kleiner werden, weil sie sich vom Betrachter entfernen. Das vermeintliche Ende nach zwei Minuten markiert dann keinen Zeitpunkt, sondern eine Linie, die ich um 90 Grad gedreht angucke, sodass alle Punkte zu einem zusammenfallen: Eine neue Zeitachse, an die sich die Glühbirnen annähern, ohne sie jemals erreichen zu können.

Ich habe es mit zwei verschiedenen Zeitläufen zu tun – die Subjektiv-Zeit der Glühbirne ist nicht mit der Subjektiv-Zeit des Beobachters identisch. Wenn ich Glühbirnen-Zeitpunkte produziere, schaffe ich Zeit, wenn ich unendlich viele Zeitpunkte produziere, schaffe ich unendlich viel Zeit, und wenn ich sie in den zwei Minuten des Beobachters nicht unterbringen kann, suchen Sie sich halt ein neues Zuhause und brechen auf, um neue Welten zu erforschen, neues Leben und neue Zivilisationen, und stoßen dabei in Galaxien vor, wo nie eine Glühbirne zuvor gewesen ist. Ist im Grunde das gleiche Phänomen, wie wenn Sie Wasser in ein Glas füllen – zunächst wird der Boden abgedeckt, zweidimensional. Wenn Sie zu viel Wasser einfüllen, steigt das Energieniveau so sehr, dass eine neue Dimension geknackt werden kann – die dritte: Der Pegel steigt. Im Grunde sehen Sie so was wie einen Quantensprung, das Überwinden einer Schwelle.

Da dieser Knick in die Unendlichkeit allerdings eine Kurve ist, sind mehrere Ergebnisse möglich – je nachdem, wie es dem Mathematiker bequemt, das Paradoxon so zu vereinfachen, dass er eine Antwort bekommt, wo keine ist.

Mathe ist relativ – sie beschreibt die Welt vom Standpunkt eines Betrachters aus. Manchmal nimmt sie mehrere Standpunkte gleichzeitig ein, das wirkt dann ein wenig wie Schwarze Magie, ist aber nur Schielen für Fortgeschrittene. Sie beschreibt eine Welt, die ohne Unschärfen und Sprünge undenkbar ist – ich kann ja jede Strecke in unendlich viele Abschnitte unterteilen, ganz egal, wie schnell ich fliege, wenn ich mehr als 0 Zeit brauche, um jeden dieser Abschnitte zu überqueren, bin ich unendlich lange unterwegs. Ich muss mit einer begrenzten Zahl von Punkten arbeiten, zwischen denen unendliche Geschwindigkeit möglich ist – also doch das Überqueren unendlich langer Strecken in der Zeit 0.

Das Universum ist ein Stop-Motion-Film, es besteht aus Schnappschüssen, Momentaufnahmen. Was zwischen diesen Aufnahmen passiert, weiß der Teufel – ich würde mal sagen, das Universum explodiert und puzzelt sich wieder zusammen, und was wir so als Zeitfluss und Bewegung wahrnehmen, sind die Kopierfehler, die bei der Rekonstruktion passieren, aber das ist nur mein Dafürhalten. Natürlich würde die Rekonstruktion auch Zeit brauchen, sodass zwischen den Zeitpunkten, die sich für uns zur Zeitlinie summieren, Ewigkeiten vergehen können, in denen ganze Universen entstehen und vergehen, worauf über ein paar schiefe Ecken die Folgerung kommt, dass jeder Augenblick unendliche Energie hat und mit allen anderen Augenblicken in Raum und Zeit interagiert, gefolgt von dem Entschluss, nicht mehr zu kiffen, gefolgt von der Erkenntnis, dass ich es ja nicht tue, gefolgt von der Frage, ob ich nicht damit anfangen sollte, gefolgt von der Freude, dass ich einen Haufen Geld spare, wenn ich auch ohne Gras so drauf bin als ob.

Wenn die Mathematiker ein wenig zu sehr vereinfachen, runden, absolute Werte schaffen, wo eigentlich nur Annäherungswerte möglich sind, kopieren sie nur einen Trick, den das Universum sowieso schon drauf hat. Ohne diesen Trick würden weder Mathe noch Universum funktionieren.

Und es funktioniert sogar auf die gleiche Weise – wenn ich mich der Unendlichkeit mit endlichen Mitteln nähere, scheitere ich ganz am Anfang und... falle. Hat was von Ikarus und Gravitation, der Abhängigkeit von Energieniveau und Frequenzband, der Notwendigkeit, sich innerhalb einer Goldlöckchen-Zone aufzuhalten: Ich kann der Glühbirne nicht in die Unendlichkeit folgen, mir fehlt der Strom, ich falle auf das Ende meiner zweiten Minute zurück. Auch der Mathematiker kann nur so präzise rechnen, wie es seine Ressourcen erlauben und wird sich mit seinen Resultaten den Ressourcen der Dinge anpassen müssen, die er mit seiner Mathe bewegen will – ein Brückenbauer rundet die Kilos nicht so genau, wie jemand, der ein Atomgewicht berechnet, die Physik sorgt dafür, dass es sinnlos wäre. Ergibt das Sinn? Keine Ahnung, ich muss jetzt mit dem Hund spielen, denken Sie selber nach.

Ich weiß nicht mehr, wie der olle Grieche hieß, der meinte, ein Hase könnte nie eine Schildkröte einholen. Hätte er aber ein wenig darüber nachgedacht, warum das doch möglich ist, hätte er der erste Quantenphysiker werden können.

Ich würde sagen, ohne Bezug zur realen Welt ist das Problem unentscheidbar.
Wenn die Schalterstellung nach "2 Minuten" einen beobachtbaren Zustand darstellen würde, dann könnte man die diskrete Antwort 0 oder 1 geben. Wenn nicht, dann kann man nur eine Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Zustands 0 bzw. 1 angeben. Da es hier keinen beobachtbaren Zustand gibt - weil es nicht möglich ist, unendlich viele (physikalische) Vorgänge im angegebenen Zeitintervall auszuführen - sollte m.E. eine Wahrscheinlichkeit mit dem Wert 1/2 angesetzt werden. Das sieht nach Schrödingers Katzenproblem aus.
Interessant finde ich, dass die rein mathematische Partialsummenmethode ebenfalls den Wert 1/2 liefert.

Durch das Einschalten wird der Glühdraht geheizt (die LED angeregt), und kann nicht unendlich schnell abkühlen (abklingen).
Daher leuchtet die Lampe nach 2 Minuten unabhängig vom Grenzwert der Grandi-Reihe, aus rein physikalischen Gründen.

Falscher lösungsterm
Muss heißen 99!*101*97!*99 ....

In diesem wäre es für die Übersichtlichkeit doch sehr hilfreich, wenn die Formel $$\frac{(100!+99!)(98!+97!)...(4!+3!)(2!+1!)}{(100!-99!)(98!-97!)...(4!-3!)(2!-1!)}?$$ und die Formel in der Lösung $$b = \frac{(99! \cdot 101 \cdot 98! \cdot 100 \cdot ... \cdot 3! \cdot 5 \cdot 1! \cdot 3)}{(99! \cdot 99 \cdot 98! \cdot 98 \cdot ... \cdot 3! \cdot 3 \cdot 1! \cdot 1)} = 101$$ nicht als LaTeX Code dargestellt, sondern als Graphik gerendert würden (wahrscheinlich dann als Bild.) - So sind sie auch für nicht LaTeX affine lesbar. Ansonsten sehr schönes rätsel.

Guten Tag,
in der Zeile
"Welchen Wert hat der Bruch
(100!+99!)(98!+97!)...(4!+3!)(2!+1!)/(100−99!)(98!−97!)...(4!−3!)(2!−1!)?"
fehlt im Nenner im ersten Faktor das Fakultätszeichen (100-99!) statt (100!-99!).
Viele Grüße

Hinter der 100 im Nenner des Bruchs fehlt anscheinend das Fakultät-Zeichen.

Sehr geehrter Herr Hemme,
das Ergebnis habe ich ebenfalls berechnet, aber in der Lösung müsste es richtig heißen:
b=(99! x 100 x 97! x 98 x ... x 3! x 5 x 1! x 1)/(99! x 98 x 97! x 96 x ... x 3! x 3 x 1! x 1).
Und in der Aufgabe selbst fehlt unter dem Bruch bei der 100 das Fakultätszeichen.
Freundliche Grüße,
Hans Schnabel

Zuerst wurde in der Wiederholung der Aufgabenstellung im Nenner das Fakultätszeichen bei der 100 "vergessen" und dann wurden als nächstes die (98!+97!) falsch in 98!*100 statt richtig in 97!*99 umgewandelt und zum Schluß natürlich ebenfalls die (98!-97!) falsch in 98!*98 statt richtig in 97!*97. So kann man nur am Ende des Bruches auch das richtige Kürzen nachvollziehen. Vorn, wo man es eigentlich auch sollte, wird das Kürzen zu 101 nicht nachvollziehbar!

Für die Entsprechung der Königin im Spiegel müsste sich der LKW selber im Autospiegel sehen können. Das kann er auch nicht. Der wesentliche Unterschied ist, dass das Auge des Betrachters in der gleichen Ebene liegt und im gleichen Abstand zum Spiegel, wie das betrachtete Objekt. Deshalb ist der Autospiegelvergleich nicht richtig. Ich glaube, die Königin-Berechnung stimmt.

Die Antwort ist, dass der LKW sehr viel weiter weg vom Spiegel ist als ich selbst, während die Königin immer gleich weit vom Spiegel weg ist wie ihr Spiegelbild.
Die Krümmung des Rückspiegels kommt dann noch dazu.

Das geht sogar mit vier Punkten. Zwei bilden den Kreis den man so lange dreht bis der dritte auf dem Rand liegt. Der vierte muss dann auf einer der beiden Halbkugeln liegen.

Man muss bei jeder Tür doch letzten Schlüssel nicht mehr probieren, wenn es nur darum geht, zu WISSEN, welches der richtige ist. Damit kommen wir auf 4+3+2+1+0 = 10.

Falsch: es sind nur 14 Versuche notwendig.
Bei der letzten Tür bleibt nur ein Schlüssel übrig: also KEIN Versuch sondern sofort der absolut richtige Schlüssel!

Eine Reaktion auf die Kolumne ‘Ist 0,999… gleich 1?’ von Manon Bischoff, erschienen in spektrum.de am 18. März 2022.

Mit der Diskussion ob 0,999… gleich eins ist oder nicht müssten wir uns eigentlich in einer Art platonischer Welt aufhalten und nicht in der reellen Welt, aber der Zweifel darüber ob 0,999… tatsächlich eins ist, macht es unklar an welchem Ort wir uns hier befinden. Über die Verhältnisse zwischen den Beinen eines geometrischen Dreiecks besteht in (und übgrigens auch ausserhalb) der Platonischen Welt nicht der geringste Zweifel. So sollte es auch sein in einer Umgebung, wo diese Axiome sich aufhalten. Warum treten denn Zweifel auf bei der Frage ob 0,999… geleich eins ist? Wo befinde ich mich als Laie hier? Wenn auf Erden, so liesse sich fragen: Spielt der Unterschied zwischen eins und 0,999…. überhaupt je eine Rolle in der Welt in der wir leben? Und wenn wir erwägen, so wie Sie, dass 0,999… gleich eins ist, ist dann auch 0,000… gleich null?
Hier ein Beispiel um meine Frage zu verdeutlichen. Stellen wir uns vor, ich nehme eine Wasserflasche und gehe damit zum See unweit von meinem Haus. Ich schüttele die Flasche leer in den See. In der Nacht wühlt ein starker Wind das Wasser im See durch einander. Am nächsten Tag kehre ich zurück zum See und fülle die leere Flasche mit Wasser vom See. Wie gross ist nun die Chance, dass ich exakt das gleiche Wasser wieder in die Flasche zurück kriege? Die Chance ist null, würden die Meisten sagen und sie sind damit nicht weit von der Wahrheit entfernt, aber prezise null ist die Chance meines Erachtens nicht. Sie schmiegt sich unmessbar dicht an die Null aber sie ist nicht gleich null sondern 0,000… Bei 0,000… gehe ich davon aus, dass irgendwo an n-ter Stelle eine Ziffer auftritt, die nicht null ist.
Dank der Entwicklungen in der Thermodynamik wissen wir, dass es Prozesse gibt, deren Endspiel statistischer Natur ist. Die hören nie auf, die sind nie gleich null. Wir tun so alsob sie stoppen, die Meisten von uns glauben auch, dass sie tatsächlich zum Stillstand kommen und dann stoppen (Endergebnis 0) aber sie stoppen nicht und werden wahrscheinlich auch nie stoppen. Unter der Oberfläche gehen sie unaufhaltsam und immer träger weiter (Endergebnis 0,000…). Welchen Einfluss diese nie endenden Prozesse auf uns haben ist äusserst unklar. Ob dieses Wissen für das tägliche Leben nützlich ist, ist natürlich sehr fragwürdig. Für uns ist es viel praktischer davon auszugehen, dass nach gewisser Zeit diese Prozesse zum Stillstand kommen. Wie bei dem Beispiel mit der Wasserflasche hiesse das, dass die Chance, dass du je genau das gleiche Wasser vom gestrigen Tag wieder in die Flasche zurück kriegst gleich null ist. Die Möglichkeit einer 0,000… Chance können wir uns gar nicht vorstellen.
Auch in physischen Theorien wird aus praktischen Gründen eher von 0 als von 0,000… ausgegangen. Der Theoretiker Ilya Prigogine hat diese Betrachtungsweise stark kritisiert. Für ihn hat dies alles mit dem Phänomen Zeit zu tun. Seit Isaac Newton seien die Physiker nach Prigogine nicht im Stande die fundamentelle Zeit in ihren Theorien zu berücksichtigen. Berechnungen beziehen sich in der Newton’schen Welt auf idealisierte Umstände im Labor. Wenn ein Tennisspieler einen Ball übers Netz schlägt kannst du die Bahn des Balls mit Newton’schen Gesetzen genau berechnen. Nur beziehen sich die Berechnungen nicht auf die Aktualität in der Tennishalle, denn da sind zu viele unkontrollierbare Einflüsse, die dafür sorgen, dass kein einziger Ball, der vom Tennisspieler geschlagen wird, die gleiche Bahn beschreibt. Wenn wir sichere und vorhersehbare Ergebnisse haben wollen, müssen wir unsere Berechnugen nicht aus der Aktualität sondern aus der Abstraktion ableiten. Eben da herrschen Umstände, in der die Newton’schen Gesetze immer gültig sind. Darum lässt der Ball, der in der Tennishalle geschlagen wird, sich nicht genau beschreiben. ‘Was definierbar ist hat keine Geschichte’ hat Friedrich Nietzsche uns gelehrt. Mit anderen Worten: Die definierbaren Newton’schen Gesetze befinden sich ausserhalb der Zeit, so wie wir sie in unserem Alltag erleben. Der österreichische Fysiker Ludwig Boltzmann hat versucht der Aktualität der reellen Welt, mit der die unumkehrbare Zeit nahtlos verbunden ist, einen Platz einzuräumen. Er scheiterte aber weil er nur über die traditionelle, Newton’sche Terminologie verfügte.
Ich glaube, dass unsere reelle Welt zum grössten Teil aus komplexen, nie endenden Prozessen realisiert wird. Das Komische ist aber, dass wir Realität und Theorie ständig verwechseln. Wir tun so alsob diese mysteriösen 0,000… Prozesse die praxisferne Theorie wären und die Newton’schen 0-Werte die vertraute Realität. Gelten bei der Beantwortung der Frage, ob 0,000… gleich null ist, die gleichen Massstäbe wie bei Manon Bischoffs Frage oder müssen wir da grundsätzlich anders vorgehen?
Hans Koetschruiter