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Es geht auch ohne vollständige Induktion und der intuitiven Formel n^3+n indem man zweimal die Formel für die Summe der ersten n Zahlen verwendet. Vor der 50 Reihe treten 1+2+3+4+...+49 =25×49 gerade Zalen auf. Die 50. Reihe beginnt dann mit 25×49×2+2 und geht bis 25×49×2+100 Nochmalige Anwendung der Summenformel ergibt die gleiche Summe.

... verkürzt sich und streckt sich um voranzukommen.

Liegt er auf a-b-c-d ( Wert = 23 ) streckt er sich auf e hinaus und nimmt um 5 zu.
e = 5.
Er verkürzt sich um a um so von 28 auf 23 kleiner zu werden.
a = 5.
Nun streckt er (b-c-d-e) sich auf f = 5 ( wieder 28 ).
Er kürzt sich um b = 5 ( wieder 23 ).

und mach so fort bis g, wo er gekürzt den Wert 23 hat.

a-b-c- und e-f-g sind 5 -> d muss 8 sein.

mfg


Er streckt sich g = 5.
Er kürzt sich um c = 5.

a-b-c und e-f-g sind 5.


Jetzt ist er
Nun verkürtz er sich

Legt man ein 4er-Fenster über die 7stellige Zahl und bewegt es nach rechts, dann müssen die links wegfallende Zahl und die rechts hinzukommende Zahl gleich sein.
Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die 7stellige Zahl den Aufbau aaabaaa haben muss.
Daraus ergibt sich unmittelbar der Ansatz 3a+b=23 und 4a+b=28. Subtrahiert man die erste von der zweiten Gleichung ergibt sich sofort a=5, woraus schnell b=8 folgt.

Ich störe mich etwas an diesem Satz:
"Der Algorithmus versucht dann, die zahlreichen Parameter einer extrem komplizierten Funktion f(xi) anzupassen, damit sie die Werte yi möglichst gut reproduziert."

Das kleine Beispiel mit der linearen Regression und den 4 Datenpunkten zeigt, dass es bei der Regression ganz erheblich auf das Modell ankommt, das der Aufgabe zugrunde liegt.
Wenn es nur darauf ankäme, eine Funktion zu finden, die die Datenpunkte bestmöglich annähert, dann könnte man das Polynom vom Grad 3 angeben, das alle Punkte miteinander verbindet. Die Lagrangesche Interpolationsformel liefert hierfür ein konstruktives Verfahren.
Der Witz ist, dass ich a priori einModell habe, das mathematisch im Beispiel eine lineare Funktion und theoretisch irgendeine Funktion ist, deren Parameter ich optimal an die Datenbasis anpassen möchte.

Ganz anders bei der KI. Hier habe ich in den meisten Fällen kein mathematisches Modell, dessen Parameter ich anpasse, sondern ein neuronales Netz. Das mathematische Modell entwickelt sich gewissermaßen erst während des Trainings und der ganzen Sache liegt die Hoffnung zugrunde, dass das herangereifte Modell, das die Trainingsdaten hinreichend gut bewältigt hat, dann auch Daten sinnvoll bearbeitet, die nicht zu den Trainingsdaten gehören, denn wie die KI zu ihrem Ergebnis gekommen ist, wie genau also das mathematische Modell aussieht, bleibt in der Regel verborgen.

Man kann also zusammenfassen:
Regression (Gauß) -> Modellorientiert
KI (ChatGPT et. al.) -> Datenorientiert
Insofern halte ich beides für nicht unbedingt vergleichbar und dementsprechend wenig Gauß steckt in ChatGPT.

Das Problem bei der Beweisführung über vollständige Induktion ist häufig, dass man erstmal die richtige Formel finden muss, respektive sie in einer Aufgabenstellung vermeintlich "vom Himmel fällt" und sich der mathematische Knobelfreund fragt, wie man darauf kommt. So auch hier. Klar, wenn man die Summenformel anhand der ersten Reihen prüft, merkt man das sie stimmen könnte. Aber: sie lässt sich auch herleiten!
Man schreibt sich die Summe einer Reihe n (Sn) etwas um. Dazu nimmt man die Vorgängerzahl der Reihe n-1 (Vn), zieht sie von allen Elementen der Reihe n ab und schreibt sie n-Mal dazu. Damit ist
Sn = Vn*n + 2+4+6+...
Der zweite Teil des Terms lässt sich anders schreiben, so dass:
Sn = Vn*n + 2*(1+2+3+...)
Der Ausdruck in der Klammer ist nach Gauß: n*(n+1)/2, so dass man zusammenfassen kann:
Sn = Vn*n + n*(n+1)
Was ist nur Vn in Bezug auf die Reihe n?
Nun, die Anzahl der Elemente im gesamten Dreieck vor der Reihe n ist wieder nach Gauß: 1+2+...+ (n-1) und der Wert der Zahl am Ende der Reihe n-1 ist das Doppelte der Anzahl. Also:
Vn = 2*(n-1)*n/2 = (n-1)*n
Setzt man das in die Summenformel ein, erhält man:
Sn = (n-1)*n*n + n*(n+1) = n^3 + n
(q.e.d.)

Bei meiner eigenen Herleitung ist mir aufgefallen, dass für zwei Primzahlzwillinge p2=p1+2 gilt, dass das Produkt aus 2,p1,p2 immer das p1 fache dessen Summe ist.

Betrifft "Die fabelhafte Welt der Mathematik: Die rätselhafte Verbindung zwischen Primzahlen und Atombomben"

Im Artikel steht: "Sie beschäftigt sich mit Primzahlen, jenen Werten, die nur durch eins und sich selbst teilbar sind."

Dies ist m.E. aber nicht die korrekte Definition von Primzahlen. Es muss entweder >1 ergänzt werden oder gleich ", die genau zwei Teiler hat".

selbstverständlich stimmt die Formel
S = n^3 + n
aber für meine Wahrnehmung fällt sie hier etwas Zusammenhangslos aus der Luft...
und da ich (wie vielleicht ein paar andere Menschen auch), nicht mit den Gaben eines Ramanujan (das sieht man doch) gesegnet bin...
wäre mir eine irgendwie geartete Herleitung hilfreich gewesen (eine hatte ich, glaube ich, auch schon einmal gepostet)
zB über Dreiecks zahlen, oder die Summe von n geraden Zahlen ab 2+(n-1)*n ...

oder bei OBI ;-)

Sehr geehrte Frau Bischoff,

erlauben Sie mir bitte eine Frage um den komplexen Umfang 2πi:
e^(πi)=-1. Hieraus folgt es: e^(2πi)=1
Hieraus folgt es: 2πi=0, so
-1=0/4×π×π
Hieraus folgt es, dass 0 mit dem Wert (-4×π×π) gleich sein muss.
Wie ist das, wo habe ich mich verrechnet?
Oder: die Null hat andere Bedeutung auf der komplexen Ebene?

Das Ergebnis sagt ja, denn das 24-tel des Wertes ist - π×π/6 und damit dessen Absolutwertes entspricht dem Wert der Euler Produkt bei 2 und der Riemann Funktion bei 2.
Folglich: Die Nullstellen der Zetafunktion zeigen eine Lücke auf, die den Primzahlen entsprechen und die Primzahlen auf dem Umfang des Kreises mit Radius π liegen.

Sicher, wenn alles stimmt, dann stellt der Wert -4π×π alles auf den Kopf.
Es scheint alles Blödsinn zu sein.
Aus diesem Grund möchte ich gerne irgendeine Antwort erhalten, um zu wissen, wo ich falsch denke.
MfG
Otto Markus

Ist eine erste Karte bereits eine 34 / 35 / 36 ( P = 3 x 1 / 36 ) entfällt garantiert die Möglichkeit eine 4,2 % Chance zu erreichen.

Damit entfallen 3 von 36 möglichen ersten Karten, die eine solche 4,2% ige Kombi - Chance haben.

Nur eine erste Karte " E " = 1 hat garantiert DIESE 4,2% Chance.

Bereits " E = 2 " erscheint " gewichtet !

Da die zweite Karte " Z " eine Möglichkeit :
SUMME von 1 bis " E - 1 " ÜBER 1
======
// ist gleich 1 //
KEINE aufsteigende;

NUR die SUMME von " E + 1 bis 34 " ÜBER 1
// ist gleich 32 für E = 2 //
JEDOCH eine aufsteigende Kombi ermöglicht.

Dito für 3. "D" und 4. Karte "V".
-----------------
"E " : k von 1- 33,
"Z " : l von E + 1 bis 34,
"D " : m von Z+1 bis 35,
"V " : n von D + 1 bis 36.

mfg
PS: Ich glaube, man muss über Summenformeln darangehen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Zetafunktion?
Dies würde mich mal auch interessieren.

Ich würde mal gerne etwas über die Zufallsmatritzen erfahren.
Grund: Habe ich den Artikel richtig verstanden, dann: Nicht die Wechselwirkung bestimmt die Realität, sondern die Zufallsmatritzen und die Verteilung der Nullstellen der Betafunktion.
Es hat aber eine unangenehme Folge: Mathematik ist die Realität, das Leben ist eine Illusion.

2 Schreibfehler:

Es heißt "tiefergehend" und "aufeinanderfolgend".

Ich kann sogar sagen, dass 6^666 mit 56 aufhört, und damit hört die gesuchte Zahl mit 28 auf. Der Grund liegt darin, dass sich die Folge der letzten 2 Ziffern der Potenzen von 6 immer wiederholt, es ist eine Folge aus 5 Zahlen: 36, 16, 96, 76, 56. Da 6^6 mit 56 aufhört, machen das auch 6^16, 6^26, 6^36 usw. und damit auch 6^666.

Guten Tag Herr Eder,
ich habe einen alternativen Lösungsvorschlag. Mit der Hypotenuse x = 4cm des kleinen rechtwinkligen Dreiecks lässt sich sagen, dass x+r=6cm ist und aufgrund der Geometrie eines gleichwinkligen Dreiecks kann im Halbkreis gefolgert werden, dass der Abstand zwischen dem Punkt P und den Berührungspunkten des Halbkreises mit den Seiten des gleichwinkligen Dreiecks genau R ist. Und da mit den Strecken x+r, R und einer anliegenden Seite des gleichwinkligen Dreiecks ein neues gleichseitiges Dreieck entsteht ist R genau die Hypotenuse + r also R = x+r = 4cm + 2cm = 6cm. Ich hoffe dies war verständlich, sonst kann ich Ihnen gerne eine Skizze zukommen lassen.

MfG
Johanna Bergmann