Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
Der/die diese Aufgabe ausgedacht hat, Hut ab vor ihm/ihr. Trost für uns, für " nicht viel Wissender": wir können der Aufgabe mindestens annähern.
Gegeben ist: alle elf Strecken sind 2. Die äußeren 5 Strecken bestimmen ein regelmäßiges 5-Eck, dessen Winkel beträgt 72°. Zur 5-Eckseite 2 gehören 2 mal 54°. Fläche=5 mal die Fläche von der 3-Eck Radius,Radius,2 (2 mal tang(54)/2=tang(54). Aber nach der Aufgabe dürfen wir diesen Weg nicht gehen.
In dem 5-Eck lässt sich es 4 gleichseitigen 3-Ecke feststellen, also wir Leser sollten diesen Weg zur Lösung nehmen. Die Flächensumme (S) von den vier 3-Ecken ist größer als die gesuchte Fläche vom 5-Eck. Ich schätze die gesuchte Fläche folgender Masse ab: Jedes 3-Eck hat dreimal 60° inneren Winkel. Der Winkelunterschied beträgt 60°-54°=6° das Verhältnis ist 1/10=6°/60°. Von der "S" ziehe ich 0,1 ab, denn Fläche 3-Eck=tang(60)=Höhe der 3-Eck. Höhe der 3-Eck= Wurzel (4-1=3). Gerechnet nach dem Pythagoras Satz. S=4 mal Wurzel (3)~6,9 Die gesuchte Fläche~6,9-0,1=6,8 BEMERKUNG: DIe äußeren Punkte sind A,B,C,D,E. Die inneren Punkte F,G. Die ABF ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Fläche nach dem Herons Satz beträgt 1,732. BCF ist wiederum ein gleichseitiges 3-Eck. Die Fläche wiederum 1,732. Ich kann die Seiten DF, EF momentan nicht bestimmen, sonst könnten die 3-Eck-Flächen AEF, EFD berechnet werden. So wäre die gesuchte Fläche= 1,732+1,732+Fläche AEF+Fläche EFD. Vielleicht könne man die Strecken EF und FD mit dem goldenen Schnitt berechnet werden. Dazu bräuchte ich mehr Wissen es nachzugehen.
Anstatt "Wenn Adam die Wahrheit sagt, sagen Chris und David die Unwahrheit und damit wiederum David und Emil die Wahrheit, was aber ein Widerspruch ist." zu schreiben, sollte man lieber "Wenn Adam die Wahrheit sagt, sagen Chris und David die Unwahrheit und damit sagt wiederum Ben oder David die Wahrheit, was aber in beiden Fällen ein Widerspruch ist." schreiben (und den Fall, dass auch Chris oder Emil dann die Wahrheit sagen würden, braucht man nicht zu beachten).
Die kritische Länge der Brücke im Traum ist 5 km. Der Zug ist 5 (60/12) mal schneller als der Läufer. Der Zug hat gerade den Abstand vom Anfang der Brücke 10 km. So befindet sich der Läufer vom Anfang der Brücke 2 (10/5) km entfernt. Läuft der Träumer in die Richtung nach das Ende der Brücke 2 km, so erreichte der Zug gerade die Brücke. Der Läufer wird in 5 km eingeholt, so kann der Läufer bis zum Einholen noch 1 km laufen. So ist die Brücke 4 km + 1 km=5 km lang. In der Wirklichkeit bedeutet es gleich den Unfall. Um den Unfall zu vermeiden, nehme ich 20-50 m von der Länge der Brücke ab. Damit ist die Länge der Brücke zwischen 4950 m und 4980 m.
Die Aufgabe führt auf die quadratische Gleichung a^2 - 17a + 60 = 0. In der üblichen Notation von Polynomen lautet sie im Allgemeinen (mit x statt a)
x^2 + p x + q = 0 (*)
wobei p = -17 und q = 60 zu verwenden ist. Zur Lösung der o.g. (Polynom-) Gleichung gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich 1) Lösungen probieren oder 2) Lösungen berechnen. Da p und q ganze Zahlen sind und vermutet werden kann, dass die Lösung ebenfalls eine ganze Zahl ist, dürfte Probieren am einfachsten sein. Zur Berechnung gibt es die Mitternachtsformel, die man ohne Umschweife anwenden kann, aber man muss mit Brüchen und Wurzeln hantieren. Die Mitternachtsformel ergibt sich aus Gleichung (*) durch quadratisches Ergänzen.
1) Probieren Etwas plump wäre es, in (*) nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 usw. einzusetzen um zu prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bei 5 ist das der Fall, da 25 - 5*17 + 60 nämlich 0 ergibt. Und bei 12 ist es genauso.
Ein im Allgemeinen besseres Verfahren liefert folgende Überlegung: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu q = -x (x + p). Sind x, p und q ganze Zahlen, dann ist x ein Teiler der rechten Seite. Da sie gleich q ist, ist x also Teiler von q. Man muss demnach im konkreten Fall die Teiler von q = 60 betrachten. Diese ergeben sich aus 60 = 1*60 = 2*30 = 3*10 = 4*15 = 5*12 = 6*10. Die richtigen Zahlen 5 und 12 sind dabei. Probiert man die Teiler der Größe nach durch, so probiert man unnötigerweise nach der 5 noch 6 und 10, bevor man mit der 12 den zweiten Treffer landet. Mit dem folgenden Verfahren passiert das nicht.
Gleichung (*) lässt sich anders umschreiben: Gesucht sind Lösungen x1 und x2 mit x^2 + p x + q = (x - x1) (x - x2). Multipliziert man die rechte Seite aus, ergibt sich x^2 - (x1 + x2)x + x1 x2. Durch Vergleich mit der linken Seite folgt (Satz von Vieta) -p = x1 + x2 und q = x1 x2. Im konkreten Fall heißt das 17 = x1 + x2 und 60 = x1 x2. Wie zuvor betrachtet man die Produkte, die 60 ergeben. Nach Vieta sollte die Summe der Faktoren 17 sein. Das ist just bei 60 = 5*12 der Fall, denn 5 + 12 = 17. Daher hat man x1 = 5 und x2 = 17 (oder umgekehrt) bzw. die Gleichung x^2 - 17x + 60 = (x - 5) (x - 12) = 0.
2) Berechnen Beim quadratischen Ergänzen suchen wir ein r so, dass x^2 - 17x + r^2 = (x -r)^2. Nach Ausmultiplizieren der rechten Seite (binomische Formel) und Zusammenfassen der Terme beider Seiten (wobei x^2 und r^2 entfallen) erhält man -17x = -2x r. Diese Gleichung ist für r = 17/2 erfüllt (wie eine formale Division durch -2x ergibt). Wir erhalten:
Eine simulierte Intelligenz [KI] in Form von auf Rechnern ausführbaren Programmen hat kein Bewusstsein seiner selbst. Die Beschreibung der Möglichkeiten eines solchen Programms wird häufig 'vermenschlicht', wodurch der Eindruck entsteht, das Programm würde selbständig irgendetwas tun, was nicht der Fall ist.
92-63=1 Nach der Voraussetzung darf man nur eine Ziffer in eine andere Position bringen, um das Ergebnis 1 zu bekommen. Wir haben 5 Ziffern: 9,2,6,3,1 Die 9 kann man nirgendwo hin tun, denn auf der linken Seite der Gleichung bleibt -61. Mit der 2 ist die Situ gleich: 9-63. Werden jede Ziffer geprüft, dann kommt man zum Ergebniss: Man kann unter den Ziffern 9,2,6,3,1 keine finden, damit man zum Ergebniss 1 kommt. Keine mathematische Lösung, aber ein Positionieren einer Ziffer führt zur mathematische Lösung. So habe ich die Ziffern unter die Luppe genommen. Die 9 und 6 sind besondere Ziffern. Mit der Drehung lassen sich umwandeln. 92 zu 62; 63 zu 93 So: 62-63=-1 92-93=-1 Die Aufgabe kann nur gelöst werden, wenn man statt "92-63=1" die falsche Gleichung "63-92"=1" nimmt. Ich denke, Sie haben mit Absicht "92-63=1" angegeben, denn bei "63-92=1" wären 9 und 6 gleich aufgefallen. Gute Aufgabe! Man lernt nie aus. Ehrlich gesagt, ich wollte schon mit Rätseln aufgeben und eine schöne Meinung an Sie schreiben. Was hat mich zurückgehalten? Sie sagten, es gibt eine Lösung. Ich habe mich überwunden; und sagte mir: "Nimm an, dass es eine Lösung gibt!" Nicht direkt, aber irgendwie, so überlegte ich weiter.
Der Abstand=6 (6 Einheit) Lösung: Ich nehme für den gesuchten Abstand das a. Wir haben zwei Streckenlänge (38, 34), die drei Strecken sind parallel und die Endpunkte von ihnen liegen aufm Kreis. Damit kann man sich zwei Viereck vorstellen. Das erste mit Seitenlängen a, 38; und das zweite mit Seitenlängen 3a, 34. Grund der Eigenschaft des Kreises lässt sich zwei Gleichungen auf den Durchmesser (d) aufschreiben: a^2 + 38^2=d^2 (3a)^2 + 34^2=d^2 Hier ergibt es sich für a den Wert 6.
Um die Jahreswende 2022/23 habe ich mich per eMail mit folgendem Text an die Autorin Manon Bischoff gewandt. Sie hat mir empfohlen, meine “Gedanken” hier zu veröffentlichen. Hier also der Text:
Als im Juli 1991 das Ziegenproblem durch einen Artikel von Gero von Randow in der ZEIT in Deutschland bekannt wurde, habe ich mich gleich mit zwei Leserbriefen an der Debatte beteiligt.
Dabei habe ich zum Beleg der Plausibilität der Zwei-Drittel-Lösung u.a. das Problem auf 100 Türen erweitert. Allerdings habe ich schon im ersten Brief dezent darauf hingewiesen, dass der Moderator "laut Spielregel" handelt, obwohl das in der Aufgabenstellung nicht formuliert worden war.
Selbstverständlich war ich davon ausgegangen, dass Marilyn vos Savant diese Regel in ihrer ursprünglichen Aufgabenstellung formuliert hatte. Allerdings ist dann die Lösung sehr einfach, wie ich durch weitere Beispiele darlegte; und ein Streit über die Lösung wäre absurd.
Bei mir dämmerte natürlich der Gedanke, dass ein Grund für den Wirbel sein könnte, dass die Aufgabenstellung und die behauptete Lösung gar nicht zusammenpassen; anders ausgedrückt: dass die Zwei-Drittel-Lösung für die formulierte Aufgabe (für was auch sonst) falsch ist. Aber auch dieser Gedanke schien mir nach dem Streit, der in den USA schon über ein halbes Jahr angedauert hatte, absurd.
In meinem zweiten Brief eine Woche später habe ich dann wieder sowohl durch exakte mathematische Begründung als auch mit gut verständlichen Plausibilitätsüberlegungen dargelegt, dass für die Gültigkeit der Zwei-Drittel-Lösung der Moderator durch die Spielregel verpflichtet werden muss, nach der ersten "Wahl" (die ja dann gar keine ist) des Kandidaten zunächst eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen.
Gero von Randow (und im Anschluss daran viele andere) hat mein Beispiel mit den 100 Türen in einem weiteren Zeitartikel und in seinem Buch zum Ziegenproblem veröffentlicht. Aber die Bedeutung der genannten Spielregel hat er - trotz eines Telefongesprächs, das ich damals zusätzlich zu meinen Briefen mit ihm führte - nicht erkannt.
Einen ausführlichen Artikel zum Problem und zur Debatte habe ich dann im Jahr 2009 verfasst:
Auch in Wikipedia gibt es einen Link auf diesen Artikel (der nicht von mir eingetragen worden ist).
Der Kernsatz dort lautet:
"Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung, insbesondere auch für das "Nachspielen" und für "Computer-Beweise"."
Übrigens verraten viele der Zwei-Drittel-Befürworter mit der "riskanten" eigenen "Ausschmückung" der ursprünglichen Aufgabenstellung, dass sie nicht von einem Zwang durch die Spielregel ausgehen, womit die Zwei-Drittel-Lösung wie ein Kartenhaus zusammenfällt. So Gero von Randow mit dem Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was" und Sie mit der Bemerkung "Der Moderator kann Sie aber gut leiden ...”
Wie schon von einigen beschrieben, ist 1/2 die korrekte Antwort auf die Frage, meine Herleitung: Lasst uns Dornröschen auf den Rücksitz eines Autos verfrachten und da schlafen. Bei Kopf nimmt der Fahrer die rechte Tunnelröhre, Zahl die linke. Es ist also gleich Wahrscheinlich, in welcher Tunnelröhre Dornröschen ist. In der einen wird sie einmal geweckt, in der anderen zweimal. Das mehrmalige Wecken, ändert nichts an der Tunnelröhre. Sie subjektive Wahrscheinlichkeit gibt es nicht, das ist ein Problem im unpräzisen Aufbau: Kopf 1€ Zahl 1€ Jetzt wird aber bei Zahl 2x geweckt = 2€ -> die Wahrscheinlichkeit änder sich für Dornröschen nicht, es bleibt bei 1/2, aber die Gewinnerwartung wird in der Realität geändert. Wenn ich jemand eine Wette anbiete und 1 Euro bei Kopf, aber 2 Euro bei Zahl, wird auch jeder Zahl nehmen, obwohl die Wahrscheinlichkeit 50/50 ist.
Zur Meinung 61. Dornröschen weiß gar nicht, wie viel mal sie geweckt wurde, denn sie wurde ständig narkotisiert. Die drei Aufwachsituationen nach deinem Sicht gehört damit zum äußeren Beobachter.
Die Frage, wie du auch geschrieben hast: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt. Und diese Frage wurde an Dornröschen gestellt. Fakt ist: Die Münzenwurf wurde bereits am Sonntag Abend ausgeführt(einmal). Danach wurde keine mehr ausgeführt. Die Frage bezieht sich lediglich auf diese einzige Frage an Dornröschen . Die meisten Meinungen gehören hierzu. Wie viel mal es gefragt wird, es beeinflusst den Fakt überhaupt gar nicht. Und die diese Meinung vertreten, die sagen 1/2 zur Wahrscheinlichkeit. Ob, was Dornröschen gesagt hat, das wissen wir gar nicht. Also mit der Aufgabe wurden wir, die Leser gefragt, ob was wir meinen. Wie du siehst, jeder hat anderen Ansatz, der entweder zu 1/2 oder zu 1/3 gehört, oder einige sagen: die Aufgabe blöd ist.
Ersts mal bin ich überrascht, dass man hier über "Meinungen" diskutiert. Es kann nur eine richtige Antwort geben, und es sollte möglich sein sich auf diese zu einigen. Und wen die Logik nicht überzeugt, der soll es halt ausprobieren und 100 mal das Experiment durchspielen (dazu muß ja niemand eingeschläfert werden). Wesentlich ist, das was in Antwort 60 schon betont wurde: hier werden 2 Fragen miteinander vermischt, die unterschiedliche Antworten haben. Man muß sich also zuerst einmal auf die Frage einigen. Für den äußeren Betrachter gibt es nur 2 unabhängige Ereignisse und die Wahrscheinlichkeit, daß eines von beiden eintritt ist jeweils 1/2. Aus der Sicht von Dornröschen sieht das Ganze aber anders aus: es gibt 3 verschiedene Aufwachsituationen, die alle gleich wahrscheinlich sind. Nur eine davon ist mit dem Kopf der Münze verbunden, also ist die Wahrscheinlichkeit dieser Situation 1/3. Die Variante mit dem Boxkampf ändert daran gar nichts, auch wenn ich zugebe dass das Ergebnis dann intuitiv schwerer zu akzeptieren ist.
Die Frage bezieht sich auf Max. Angenommen: 1.) Max weiß, welche 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat. So kann er genau sagen, ob die Wahrscheinlichkeit entweder 1/3 oder 5/6. 2.) Max weiß lediglich, dass er 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat. Es fehlt für ihn, auch für den Befragten, die Information: Welche 6 Münzen hat er in der Tasche. Mathematisch angesehen, da kann Max die Wahrscheinlichkeit nur mit dem Intervall 1/3<=p<=5/6 angeben. Der Wert 5/18 ist damit nur eine Scheinwahrscheinlichkeit für Max und uns. Die Fehlende Information lässt die Aufgabe nicht eindeutig lösen. In der Wissenschaft gibt es mal nicht eine fehlende Information, sogar mehr. Damit habe diese einfache Aufgabe große Bedeutung für die Wissenschaft. Denke ich dieses Problem weiter nach, dann ist für mich der Urknall fraglich. Es gebe einerseits der Urknall, anderseits die Relativitätstheorie. Sei die Welt relativ, dann sei der Urknall mal auch relativ. Da kann man auch mit dem Raum und Zeit weiter führen, ob die Zeit mit dem Raum verbunden sei. Nehme ich hierzu die Quantenverschränkung als Beispiel. Sei ein Quantum räumlich getrennt, dann es spielt für die getrennten Quanten die Zeit keine Rolle. Da kann man auch mit Masse und Energie weiter gehen. Sicher, die Wissenschaft schafft neue Informationen, die uns weiter bringt und unseres Leben verbessert. Aber den Kosmos zu verstehen, bleibt noch weiterhin ein Rätsel.
AB/CD
22.04.2023, Otto MarkusEine knifflige Aufgabe zum Flächenrechnen.
22.04.2023, Otto MarkusTrost für uns, für " nicht viel Wissender": wir können der Aufgabe mindestens annähern.
Gegeben ist: alle elf Strecken sind 2. Die äußeren 5 Strecken bestimmen ein regelmäßiges 5-Eck, dessen Winkel beträgt 72°. Zur 5-Eckseite 2 gehören 2 mal 54°. Fläche=5 mal die Fläche von der 3-Eck Radius,Radius,2 (2 mal tang(54)/2=tang(54). Aber nach der Aufgabe dürfen wir diesen Weg nicht gehen.
In dem 5-Eck lässt sich es 4 gleichseitigen 3-Ecke feststellen, also wir Leser sollten diesen Weg zur Lösung nehmen. Die Flächensumme (S) von den vier 3-Ecken ist größer als die gesuchte Fläche vom 5-Eck. Ich schätze die gesuchte Fläche folgender Masse ab: Jedes 3-Eck hat dreimal 60° inneren Winkel. Der Winkelunterschied beträgt 60°-54°=6° das Verhältnis ist 1/10=6°/60°. Von der "S" ziehe ich 0,1 ab, denn Fläche 3-Eck=tang(60)=Höhe der 3-Eck.
Höhe der 3-Eck= Wurzel (4-1=3). Gerechnet nach dem Pythagoras Satz. S=4 mal Wurzel (3)~6,9
Die gesuchte Fläche~6,9-0,1=6,8
BEMERKUNG:
DIe äußeren Punkte sind A,B,C,D,E. Die inneren Punkte F,G. Die ABF ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Fläche nach dem Herons Satz beträgt 1,732. BCF ist wiederum ein gleichseitiges 3-Eck. Die Fläche wiederum 1,732.
Ich kann die Seiten DF, EF momentan nicht bestimmen, sonst könnten die 3-Eck-Flächen AEF, EFD berechnet werden. So wäre die gesuchte Fläche= 1,732+1,732+Fläche AEF+Fläche EFD.
Vielleicht könne man die Strecken EF und FD mit dem goldenen Schnitt berechnet werden. Dazu bräuchte ich mehr Wissen es nachzugehen.
Schönheitsfehler in der Argumentation
21.04.2023, Björn Stuhrmann"Wenn Adam die Wahrheit sagt, sagen Chris und David die Unwahrheit und damit sagt wiederum Ben oder David die Wahrheit, was aber in beiden Fällen ein Widerspruch ist." schreiben (und den Fall, dass auch Chris oder Emil dann die Wahrheit sagen würden, braucht man nicht zu beachten).
5 km
21.04.2023, Otto MarkusDer Zug ist 5 (60/12) mal schneller als der Läufer. Der Zug hat gerade den Abstand vom Anfang der Brücke 10 km. So befindet sich der Läufer vom Anfang der Brücke 2 (10/5) km entfernt. Läuft der Träumer in die Richtung nach das Ende der Brücke 2 km, so erreichte der Zug gerade die Brücke. Der Läufer wird in 5 km eingeholt, so kann der Läufer bis zum Einholen noch 1 km laufen. So ist die Brücke 4 km + 1 km=5 km lang.
In der Wirklichkeit bedeutet es gleich den Unfall. Um den Unfall zu vermeiden, nehme ich 20-50 m von der Länge der Brücke ab. Damit ist die Länge der Brücke zwischen 4950 m und 4980 m.
Quadratische Gleichungen lösen
21.04.2023, Kuchenx^2 + p x + q = 0 (*)
wobei p = -17 und q = 60 zu verwenden ist. Zur Lösung der o.g. (Polynom-) Gleichung gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich 1) Lösungen probieren oder 2) Lösungen berechnen. Da p und q ganze Zahlen sind und vermutet werden kann, dass die Lösung ebenfalls eine ganze Zahl ist, dürfte Probieren am einfachsten sein. Zur Berechnung gibt es die Mitternachtsformel, die man ohne Umschweife anwenden kann, aber man muss mit Brüchen und Wurzeln hantieren. Die Mitternachtsformel ergibt sich aus Gleichung (*) durch quadratisches Ergänzen.
1) Probieren
Etwas plump wäre es, in (*) nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 usw. einzusetzen um zu prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bei 5 ist das der Fall, da 25 - 5*17 + 60 nämlich 0 ergibt. Und bei 12 ist es genauso.
Ein im Allgemeinen besseres Verfahren liefert folgende Überlegung: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu q = -x (x + p). Sind x, p und q ganze Zahlen, dann ist x ein Teiler der rechten Seite. Da sie gleich q ist, ist x also Teiler von q. Man muss demnach im konkreten Fall die Teiler von q = 60 betrachten. Diese ergeben sich aus 60 = 1*60 = 2*30 = 3*10 = 4*15 = 5*12 = 6*10. Die richtigen Zahlen 5 und 12 sind dabei. Probiert man die Teiler der Größe nach durch, so probiert man unnötigerweise nach der 5 noch 6 und 10, bevor man mit der 12 den zweiten Treffer landet. Mit dem folgenden Verfahren passiert das nicht.
Gleichung (*) lässt sich anders umschreiben: Gesucht sind Lösungen x1 und x2 mit x^2 + p x + q = (x - x1) (x - x2). Multipliziert man die rechte Seite aus, ergibt sich x^2 - (x1 + x2)x + x1 x2. Durch Vergleich mit der linken Seite folgt (Satz von Vieta) -p = x1 + x2 und q = x1 x2. Im konkreten Fall heißt das 17 = x1 + x2 und 60 = x1 x2. Wie zuvor betrachtet man die Produkte, die 60 ergeben. Nach Vieta sollte die Summe der Faktoren 17 sein. Das ist just bei 60 = 5*12 der Fall, denn 5 + 12 = 17. Daher hat man x1 = 5 und x2 = 17 (oder umgekehrt) bzw. die Gleichung x^2 - 17x + 60 = (x - 5) (x - 12) = 0.
2) Berechnen
Beim quadratischen Ergänzen suchen wir ein r so, dass x^2 - 17x + r^2 = (x -r)^2. Nach Ausmultiplizieren der rechten Seite (binomische Formel) und Zusammenfassen der Terme beider Seiten (wobei x^2 und r^2 entfallen) erhält man -17x = -2x r. Diese Gleichung ist für r = 17/2 erfüllt (wie eine formale Division durch -2x ergibt). Wir erhalten:
0 = x^2 - 17x + 60 = x^2 - 17x + r^2 + 60 - r^2 = (x - r)^2 + 60 - r^2
Die Gleichung kann nun nach x aufgelöst
x1/2 = r +/- sqrt( r^2 - 60 )
und r = 17/2 eingesetzt werden (sqrt() ist die Quadratwurzelfunktion):
x1 = 17/2 + sqrt( (17/2)^2 - 60 ) und x2 = 17/2 - sqrt( (17/2)^2 - 60 )
Wird das Vorgehen auf Gleichung (*) angewendet, erhält man die Mitternachtsformel:
x1/2 = -p/2 +/- sqrt ( (p/2)^2 - q )
Im konkreten Fall ist p = -17 und q = 60 (s.o.). Man erhält erwartungsgemäß:
x1 = 17/2 + 7/2 = 12 und x2 = 17/2 - 7/2 = 5. Dabei rechnet man unter der Wurzel so:
(17/2)^2 - 60 = 17^2/4 - 60 = (17^2 - 4*60)/4 = (289 - 240)/4 = (7/2)^2
Simulierte Intelligenz
21.04.2023, Elias Hallmoser63-92
21.04.2023, Otto MarkusNach der Voraussetzung darf man nur eine Ziffer in eine andere Position bringen, um das Ergebnis 1 zu bekommen. Wir haben 5 Ziffern: 9,2,6,3,1
Die 9 kann man nirgendwo hin tun, denn auf der linken Seite der Gleichung bleibt -61. Mit der 2 ist die Situ gleich: 9-63. Werden jede Ziffer geprüft, dann kommt man zum Ergebniss: Man kann unter den Ziffern 9,2,6,3,1 keine finden, damit man zum Ergebniss 1 kommt.
Keine mathematische Lösung, aber ein Positionieren einer Ziffer führt zur mathematische Lösung.
So habe ich die Ziffern unter die Luppe genommen. Die 9 und 6 sind besondere Ziffern. Mit der Drehung lassen sich umwandeln.
92 zu 62; 63 zu 93 So:
62-63=-1
92-93=-1
Die Aufgabe kann nur gelöst werden, wenn man statt "92-63=1" die falsche Gleichung "63-92"=1" nimmt.
Ich denke, Sie haben mit Absicht "92-63=1" angegeben, denn bei "63-92=1" wären 9 und 6 gleich aufgefallen.
Gute Aufgabe! Man lernt nie aus.
Ehrlich gesagt, ich wollte schon mit Rätseln aufgeben und eine schöne Meinung an Sie schreiben.
Was hat mich zurückgehalten?
Sie sagten, es gibt eine Lösung. Ich habe mich überwunden; und sagte mir: "Nimm an, dass es eine Lösung gibt!" Nicht direkt, aber irgendwie, so überlegte ich weiter.
Viereck auf dem Kreis
20.04.2023, Otto MarkusLösung: Ich nehme für den gesuchten Abstand das a. Wir haben zwei Streckenlänge (38, 34), die drei Strecken sind parallel und die Endpunkte von ihnen liegen aufm Kreis. Damit kann man sich zwei Viereck vorstellen. Das erste mit Seitenlängen a, 38; und das zweite mit Seitenlängen 3a, 34. Grund der Eigenschaft des Kreises lässt sich zwei Gleichungen auf den Durchmesser (d) aufschreiben:
a^2 + 38^2=d^2
(3a)^2 + 34^2=d^2
Hier ergibt es sich für a den Wert 6.
Rätsel: Wie groß ist der Abstand?
20.04.2023, KuchenKlärung
20.04.2023, Gerhard KellerAls im Juli 1991 das Ziegenproblem durch einen Artikel von Gero von Randow in der ZEIT in Deutschland bekannt wurde, habe ich mich gleich mit zwei Leserbriefen an der Debatte beteiligt.
Dabei habe ich zum Beleg der Plausibilität der Zwei-Drittel-Lösung u.a. das Problem auf 100 Türen erweitert. Allerdings habe ich schon im ersten Brief dezent darauf hingewiesen, dass der Moderator "laut Spielregel" handelt, obwohl das in der Aufgabenstellung nicht formuliert worden war.
Selbstverständlich war ich davon ausgegangen, dass Marilyn vos Savant diese Regel in ihrer ursprünglichen Aufgabenstellung formuliert hatte. Allerdings ist dann die Lösung sehr einfach, wie ich durch weitere Beispiele darlegte; und ein Streit über die Lösung wäre absurd.
Bei mir dämmerte natürlich der Gedanke, dass ein Grund für den Wirbel sein könnte, dass die Aufgabenstellung und die behauptete Lösung gar nicht zusammenpassen; anders ausgedrückt: dass die Zwei-Drittel-Lösung für die formulierte Aufgabe (für was auch sonst) falsch ist. Aber auch dieser Gedanke schien mir nach dem Streit, der in den USA schon über ein halbes Jahr angedauert hatte, absurd.
In meinem zweiten Brief eine Woche später habe ich dann wieder sowohl durch exakte mathematische Begründung als auch mit gut verständlichen Plausibilitätsüberlegungen dargelegt, dass für die Gültigkeit der Zwei-Drittel-Lösung der Moderator durch die Spielregel verpflichtet werden muss, nach der ersten "Wahl" (die ja dann gar keine ist) des Kandidaten zunächst eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen.
Gero von Randow (und im Anschluss daran viele andere) hat mein Beispiel mit den 100 Türen in einem weiteren Zeitartikel und in seinem Buch zum Ziegenproblem veröffentlicht. Aber die Bedeutung der genannten Spielregel hat er - trotz eines Telefongesprächs, das ich damals zusätzlich zu meinen Briefen mit ihm führte - nicht erkannt.
Einen ausführlichen Artikel zum Problem und zur Debatte habe ich dann im Jahr 2009 verfasst:
http://www.gfksoftware.de/Ziegenproblem/
Auch in Wikipedia gibt es einen Link auf diesen Artikel (der nicht von mir eingetragen worden ist).
Der Kernsatz dort lautet:
"Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung, insbesondere auch für das "Nachspielen" und für "Computer-Beweise"."
Übrigens verraten viele der Zwei-Drittel-Befürworter mit der "riskanten" eigenen "Ausschmückung" der ursprünglichen Aufgabenstellung, dass sie nicht von einem Zwang durch die Spielregel ausgehen, womit die Zwei-Drittel-Lösung wie ein Kartenhaus zusammenfällt. So Gero von Randow mit dem Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was" und Sie mit der Bemerkung "Der Moderator kann Sie aber gut leiden ...”
Logik
20.04.2023, Swidbert84Lasst uns Dornröschen auf den Rücksitz eines Autos verfrachten und da schlafen. Bei Kopf nimmt der Fahrer die rechte Tunnelröhre, Zahl die linke. Es ist also gleich Wahrscheinlich, in welcher Tunnelröhre Dornröschen ist. In der einen wird sie einmal geweckt, in der anderen zweimal. Das mehrmalige Wecken, ändert nichts an der Tunnelröhre.
Sie subjektive Wahrscheinlichkeit gibt es nicht, das ist ein Problem im unpräzisen Aufbau:
Kopf 1€
Zahl 1€
Jetzt wird aber bei Zahl 2x geweckt = 2€
-> die Wahrscheinlichkeit änder sich für Dornröschen nicht, es bleibt bei 1/2, aber die Gewinnerwartung wird in der Realität geändert.
Wenn ich jemand eine Wette anbiete und 1 Euro bei Kopf, aber 2 Euro bei Zahl, wird auch jeder Zahl nehmen, obwohl die Wahrscheinlichkeit 50/50 ist.
Aufwachsituation
19.04.2023, Otto MarkusDie Frage; Antwort an die Meinung 60.
18.04.2023, Otto MarkusFakt ist: Die Münzenwurf wurde bereits am Sonntag Abend ausgeführt(einmal). Danach wurde keine mehr ausgeführt. Die Frage bezieht sich lediglich auf diese einzige Frage an Dornröschen . Die meisten Meinungen gehören hierzu. Wie viel mal es gefragt wird, es beeinflusst den Fakt überhaupt gar nicht. Und die diese Meinung vertreten, die sagen 1/2 zur Wahrscheinlichkeit.
Ob, was Dornröschen gesagt hat, das wissen wir gar nicht. Also mit der Aufgabe wurden wir, die Leser gefragt, ob was wir meinen. Wie du siehst, jeder hat anderen Ansatz, der entweder zu 1/2 oder zu 1/3 gehört, oder einige sagen: die Aufgabe blöd ist.
Dornröschen hat kein Problem
18.04.2023, Kai-Uwe GossWesentlich ist, das was in Antwort 60 schon betont wurde: hier werden 2 Fragen miteinander vermischt, die unterschiedliche Antworten haben. Man muß sich also zuerst einmal auf die Frage einigen. Für den äußeren Betrachter gibt es nur 2 unabhängige Ereignisse und die Wahrscheinlichkeit, daß eines von beiden eintritt ist jeweils 1/2. Aus der Sicht von Dornröschen sieht das Ganze aber anders aus: es gibt 3 verschiedene Aufwachsituationen, die alle gleich wahrscheinlich sind. Nur eine davon ist mit dem Kopf der Münze verbunden, also ist die Wahrscheinlichkeit dieser Situation 1/3. Die Variante mit dem Boxkampf ändert daran gar nichts, auch wenn ich zugebe dass das Ergebnis dann intuitiv schwerer zu akzeptieren ist.
Bemerkung zur Aufgabe
18.04.2023, Otto Markus1.) Max weiß, welche 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat. So kann er genau sagen, ob die Wahrscheinlichkeit entweder 1/3 oder 5/6.
2.) Max weiß lediglich, dass er 6 Münzen vom Wert 1€ in der Tasche hat.
Es fehlt für ihn, auch für den Befragten, die Information: Welche 6 Münzen hat er in der Tasche. Mathematisch angesehen, da kann Max die Wahrscheinlichkeit nur mit dem Intervall 1/3<=p<=5/6 angeben. Der Wert 5/18 ist damit nur eine Scheinwahrscheinlichkeit für Max und uns. Die Fehlende Information lässt die Aufgabe nicht eindeutig lösen.
In der Wissenschaft gibt es mal nicht eine fehlende Information, sogar mehr. Damit habe diese einfache Aufgabe große Bedeutung für die Wissenschaft. Denke ich dieses Problem weiter nach, dann ist für mich der Urknall fraglich. Es gebe einerseits der Urknall, anderseits die Relativitätstheorie. Sei die Welt relativ, dann sei der Urknall mal auch relativ. Da kann man auch mit dem Raum und Zeit weiter führen, ob die Zeit mit dem Raum verbunden sei. Nehme ich hierzu die Quantenverschränkung als Beispiel. Sei ein Quantum räumlich getrennt, dann es spielt für die getrennten Quanten die Zeit keine Rolle. Da kann man auch mit Masse und Energie weiter gehen.
Sicher, die Wissenschaft schafft neue Informationen, die uns weiter bringt und unseres Leben verbessert. Aber den Kosmos zu verstehen, bleibt noch weiterhin ein Rätsel.