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Da ich es zuerst anders verstanden habe, möchte ich darauf hinweisen, dass (aus der Musterlösung zu schließen) die Anzahl der Züge wohl die Gesamtzahl der betretenen Felder INKLUSIVE des Feldes, auf dem der Wesir zu Beginn steht gewertet werden.
Wer (wie ich anfänglich) einen Zug als das Betreten eines Feldes, auf dem man noch nicht steht, versteht, muss übrigens zum Ergebnis kommen, dass er 0 verschiedene Wege nehmen kann (da man, wenn man nur nach rechts und oben geht, 8 Züge braucht - und, sobald man mindestens einmal von dieser Regel abweicht, mindestens 10 Züge braucht.).
Hallo Herr Hemme, der Wesir soll mit 9 Zügen vom linken unteren auf das rechte obere Feld gelangen, richtig? Wenn man die bewährte Schachbrett-Einfärbemethode der Felder bemüht, ergibt sich, dass der Wesir bei jedem Zug die Feldfarbe wechseln muss. Auf ein Feld gleicher Farbe kommt der Wesir immer nur mit einer GERADEN Anzahl an Zügen. Da das linke untere und das rechte obere Feld die gleiche Farbe haben, kann der Wesir auf keinem Weg mit einer UNGERADEN Anzahl Zügen (u.a. nicht in 9 Zügen) ans Ziel gelangen. Oder habe ich das Rätsel nicht richtig verstanden?
Die Lösung stimmt für 8 Züge. Für 9 Züge gibt es hingegen keinen entsprechenden Pfad, da die Anzahl der Züge vom Start- zum Zielfeld stets gerade sein muss. Um dies einzusehen kann man das Feld wie ein Schachbrett einfärben, sodass das Feld des Wesirs bei jedem Zug die Farbe wechselt. Weil Start und Ziel dieselbe Farbe haben, muss es eine gerade Anzahl von Zügen sein.
Hallo, die gestellte Aufgabe lautete mit 9 Zügen nach rechts oben zu kommen. Alle angeführten 34 Lösungen bestehen aber aus 8 Zügen. In exakt 9 Zügen kommt der Wesir gar nicht nach rechts oben. Genau genommen mit keiner ungeraden Anzahl an Zügen ... Freundlichen Grüße Gerhard
spiegelt man jeden zweiten Halbkreis, so sieht man 6 orange Kreise um einen weißen Kreis. Da erkennt jeder sofort, die Kreise haben alle die gleiche Größe. Der Aussenkreis hat die 9 fache Größe eines oranges Kreises [ (3r)² x Pi ], somit der Ring die 8 fache. [ 9 - 1 (Innenkreis) ] Die orange Fläche ist entsprechend 6/8, das 3/4 entspricht.
Mir scheint die Lösung nicht schlüssig, bzw die Angabe irreführend. Die Knickkante der Fläche, die in der angegebenen Lösung aufscheint, wäre in einer Vorderansicht sichtbar. Konsistenter als Lösung scheint mir ein U profil, aus dem von der offenen Seite ein Kreis ausgestanzt wurde.
Ihr Problem unter https://www.spektrum.de/raetsel/wie-sieht-das-drahtobjekt-von-der-anderen-seite-aus/2041213 hat keine eindeutige Lösung. Die Präsentierte Lösung ist lediglich eine Möglichkeit. Es könnte auch ein nach unten gebogener Bogen sein oder jede beliebige andere Form, die die Höhe des Objekts abbildet. Im Beitrag wird jedoch suggeriert, dass die Lösung eineindeutig sei.
Hallo, es gibt noch eine andere einfache Lösung, bei der man die Fläche nicht ausmalen muss: Immer, wenn man eine Linie kreuzt, wechselt man von außen nach innen oder umgekehrt. Verbindet man den fraglichen Punkt mit einem virtuellen Punkt im Außenraum, muss man nur die Zahl der gekreuzten Linien zählen: Ist sie ungerade, ist der Punkt in der Fläche, ist sie gerade, liegt der Punkt auch außen. Einzige Einschränkung: Die Verbindungslinie darf keine Tangente der geschlossenen Linie sein.
Einfach einem beliebigen Weg von außerhalb zu dem zu untersuchenden Punkt folgen und zählen, wie oft die Linie gekreuzt wird. Bei ungeraden Anzahl von Kreuzungen liegt der Punkt innen, Sony außen.
Die Einfärbemethode ist etwas aufwändig. Leichter geht es so: Man zählt, wie oft man die Linie kreuzt, um von außerhalb zum fraglichen Punkt zu gelangen. Ist die Anzahl der Kreuzungen gerade, dann liegt der Punkt außerhalb. Ist sie ungerade, dann liegt der Punkt innerhalb.
Hallo, danke für die immer wieder interessanten Rätsel.
Für dieses Rätsel gibt es jedoch eine, wie ich finde, sehr viel einfachere und "geschicktere" Methode herauszufinden, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der geschlossenen Linie liegt.
Man starten außen und bewegt sich auf den Punkt zu den man prüfen möchte. Dabei zählt man, wie oft man die Linie überquert bis man den Punkt erreicht. Bei einer ungeraden Anzahl liegt der Punkt auf der anderen Seite, also innen. Bei einer geraden Anzahl auf der selben Seite, also außen. Der gewählt Weg zum Punkt ist hierbei völlig egal, da man mit jede Überquerung der Linie zwangsläufig die Seite wechselt.
Die ganze Figur gedanklich (oder gar real) einzufärben erscheint mir etwas aufwändig, daher habe ich einen anderen, für mich schnelleren Lösungsweg gewählt.
An jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche. Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.
Damit lässt sich dann sehr schnell folgern: P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht. P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht. P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht. P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht, P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.
*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.
Induktionsanfang: Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)
Induktionsschritt: Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.
Induktionsvoraussetzung: Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen. ⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.
Induktionsbehauptung: Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)
Interressante Zugzählung
26.07.2022, PatrickWer (wie ich anfänglich) einen Zug als das Betreten eines Feldes, auf dem man noch nicht steht, versteht, muss übrigens zum Ergebnis kommen, dass er 0 verschiedene Wege nehmen kann (da man, wenn man nur nach rechts und oben geht, 8 Züge braucht - und, sobald man mindestens einmal von dieser Regel abweicht, mindestens 10 Züge braucht.).
Anmerkung zum Rätsel "Wie viele verschiedene Weg kann der Wesir nehmen?"
26.07.2022, Martin Quedzuweitder Wesir soll mit 9 Zügen vom linken unteren auf das rechte obere Feld gelangen, richtig?
Wenn man die bewährte Schachbrett-Einfärbemethode der Felder bemüht, ergibt sich, dass der Wesir bei jedem Zug die Feldfarbe wechseln muss. Auf ein Feld gleicher Farbe kommt der Wesir immer nur mit einer GERADEN Anzahl an Zügen. Da das linke untere und das rechte obere Feld die gleiche Farbe haben, kann der Wesir auf keinem Weg mit einer UNGERADEN Anzahl Zügen (u.a. nicht in 9 Zügen) ans Ziel gelangen.
Oder habe ich das Rätsel nicht richtig verstanden?
Keine Lösung mit 9 Zügen...
26.07.2022, Florian WaschbichlerUm dies einzusehen kann man das Feld wie ein Schachbrett einfärben, sodass das Feld des Wesirs bei jedem Zug die Farbe wechselt. Weil Start und Ziel dieselbe Farbe haben, muss es eine gerade Anzahl von Zügen sein.
8 Züge vs 9 Züge
26.07.2022, Gerharddie gestellte Aufgabe lautete mit 9 Zügen nach rechts oben zu kommen. Alle angeführten 34 Lösungen bestehen aber aus 8 Zügen.
In exakt 9 Zügen kommt der Wesir gar nicht nach rechts oben. Genau genommen mit keiner ungeraden Anzahl an Zügen ...
Freundlichen Grüße
Gerhard
Andere Lösung
26.07.2022, Wilma,,Holzplantagen,,
25.07.2022, Klaus Jürgen Terheidenbaut werden! nun merke ich das ist immer noch Thema!
einfacher
24.07.2022, SchmidtDer Aussenkreis hat die 9 fache Größe eines oranges Kreises [ (3r)² x Pi ],
somit der Ring die 8 fache. [ 9 - 1 (Innenkreis) ]
Die orange Fläche ist entsprechend 6/8, das 3/4 entspricht.
Korrektur Hemmes mathematische Rätsel 22.07.2022
24.07.2022, Gerald RichterDie Knickkante der Fläche, die in der angegebenen Lösung aufscheint, wäre in einer Vorderansicht sichtbar.
Konsistenter als Lösung scheint mir ein U profil, aus dem von der offenen Seite ein Kreis ausgestanzt wurde.
Mfg, G. Richter
Hemmes Mathematische Rätsel
24.07.2022, Jens StolpmannEinfache Lösung für Punkte innerhalb und außerhalb der geschlossenen Linie
24.07.2022, Guido KolanoGeht auch ganz fix ohne einzufärben
24.07.2022, Maik JustusKreuzungen abzählen
24.07.2022, Thomas KlingbeilLeichter geht es so: Man zählt, wie oft man die Linie kreuzt, um von außerhalb zum fraglichen Punkt zu gelangen. Ist die Anzahl der Kreuzungen gerade, dann liegt der Punkt außerhalb. Ist sie ungerade, dann liegt der Punkt innerhalb.
Alternative Lösung
23.07.2022, freyli44Einfachere Lösung des geschlossene Linie Rätsels.
23.07.2022, Johannes Zimmetdanke für die immer wieder interessanten Rätsel.
Für dieses Rätsel gibt es jedoch eine, wie ich finde, sehr viel einfachere und "geschicktere" Methode herauszufinden, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der geschlossenen Linie liegt.
Man starten außen und bewegt sich auf den Punkt zu den man prüfen möchte. Dabei zählt man, wie oft man die Linie überquert bis man den Punkt erreicht. Bei einer ungeraden Anzahl liegt der Punkt auf der anderen Seite, also innen. Bei einer geraden Anzahl auf der selben Seite, also außen. Der gewählt Weg zum Punkt ist hierbei völlig egal, da man mit jede Überquerung der Linie zwangsläufig die Seite wechselt.
Viele Grüße
Johannes
Anderer Lösungsweg
23.07.2022, PatrickAn jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche.
Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.
Damit lässt sich dann sehr schnell folgern:
P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht,
P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.
*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.
Induktionsanfang:
Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)
Induktionsschritt:
Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.
Induktionsvoraussetzung:
Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen.
⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.
Induktionsbehauptung:
Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)