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Eine alternative Lösung wäre diese: In der Ecke des Quadrats, in der die eine Ecke des Dreiecks liegt, ergänzen zwei Winkel Alpha und Beta den 60°-Winkel des gleichseitigen Dreiecks zu den 90° des Quadrats. Sei x die Kantenlänge des Quadrats, dann gilt: x = 80 cm * cos(Alpha) = 80 cm * cos(Beta) Wegen 0 <= Alpha, Beta <= 30° folgt daraus Alpha = Beta = 15°. Damit ist x = 80 cm * cos(15°), was zu berechnen war.
Die Aufgabe vom 09.07.2022 ist sehr einfach lösbar, wenn man eines der beiden kleinen weißen Dreiecke der Zeichnung betrachtet: Aus der unmittelbaren Anschauung leuchtet ein, dass die Seitenlänge des Quadrates gleich der Länge der Dreiecksseite (80 Zentimeter) mal dem Cosinus von 15° ist, was direkt zum Ergebnis führt.
Ein Winkel im Gleichseitigen Dreieck beträgt 60 Grad. Der Winkel zur unteren Seite des Quadrates beträgt beträgt 25 Grad. Das unterste Dreieck hat eine Hypothenusenlänge von 80 mm. Die Ankathete (Seite des Quadrates) Ist daher 80*Cos(15) = 77,2740661031.
Es gibt noch eine einfachere Lösung für die Berechnung der Seitenlänge. Gegeben: gleichseitiges Dreieck mit a = b = c = 80cm dementsprechend Winkel α = Winkel β = Winkel γ = 60° Größe vom spitzen Winkel der beiden spitzwinkligen Dreiecke: (90° - 60°) / 2 = 15° Länge der Hypotenuse: 80 cm Länge der Ankathete: cos(15°) * 80 cm ≈ 77,274 cm
Die Spiegelsymmetrie des Dreiecks zur Diagonalen ergibt sich zwar bei der Lösung (etwa durch Trigonometrie), kann jedoch mMn nicht vorausgesetzt werden.
Die Aufgabe muss 12 Brüche umfassen, damit sie so schön aufgeht, nämlich 1:(5 x Wurzel(4) + 4 x Wurzel(5)) bis zu 1:(16 x Wurzel(15) + 15 x Wurzel(16)). Sonst geht das Ergebnis nicht so schön auf, sondern ist: Wurzel(4):4 - Wurzel(11):11 = 1:2 - 1:Wurzel(11) Was immer noch viel einfacher ist als die sieben Brüche!
Liebes Team, Mein Lösungsweg: Eine auf die Sehne x normale Sehne y muss aufgrund der Symmetrie ebenfalls Länge 12 haben. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 10. Aufgrund des Sehnensatzes muss das Produkt der beiden Sehnenabschnitte auf den sich schneidenden Sehnen x und y gleich sein. Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks beträgt 5 mal Wurzel aus 3. Das Produkt dieser Höhe und des unteren Abschnitts z muss also 5 mal 7 = 35 sein, wodurch z gleich 7/(Wurzel aus 3)sein muss und x insgesamt nach Addition von 5 mal Wurzel aus 3 gleich 22/3 mal (Wurzel aus 3). Danke für die interessante Aufgabe! Liebe Grüße, Petra Martini
hier hat sich wohl ein Fehler eingeschlichen. In der Aufgabe sind sieben Brüche zu summieren, aber die Lösung 1/4 wäre korrekt, wenn es um zwölf Brüche ginge, die nach dem gegebenen Muster gebildet werden.
Aufgabenstellung und Lösung passen hier nicht zusammen: In der Aufgabenstellung geht es um sieben Brüche (4...10). In der Lösung werden zwölf Brüche verwendet (4...15). Wendet man das Lösungsschema auf die Aufgabenstellung, so an sollte das Ergebnis 1/2-1/Wurzel(11) sein. Was die Vermutung nahe legt, dass bei der Aufgabenstellung etwas schief gelaufen ist. Schließlich soll es ja ein "schönes" - also rationales Ergebnis erzielt werden. Das lässt sich immer dann erreichen, wenn die erste Zahl eine Quadratzahl und die zweite Zahl der Vorgänger einer Quadratzahl ist...
oder einfacher
10.07.2022, Florian Kaether-> cos(15°)*80 = 77.27
Lösung ohne Pythagoras
10.07.2022, Thomas KlingbeilIn der Ecke des Quadrats, in der die eine Ecke des Dreiecks liegt, ergänzen zwei Winkel Alpha und Beta den 60°-Winkel des gleichseitigen Dreiecks zu den 90° des Quadrats. Sei x die Kantenlänge des Quadrats, dann gilt:
x = 80 cm * cos(Alpha) = 80 cm * cos(Beta)
Wegen 0 <= Alpha, Beta <= 30° folgt daraus Alpha = Beta = 15°.
Damit ist x = 80 cm * cos(15°), was zu berechnen war.
Mathematik: Welche Seitenlänge hat dann das Quadrat?
10.07.2022, Holger SauerAus der unmittelbaren Anschauung leuchtet ein, dass die Seitenlänge des Quadrates gleich der Länge der Dreiecksseite (80 Zentimeter) mal dem Cosinus von 15° ist, was direkt zum Ergebnis führt.
Warum nicht einfach 80*cos15 ??
09.07.2022, GüntherViel zu kompliziert.
09.07.2022, WernerDer Winkel zur unteren Seite des Quadrates beträgt beträgt 25 Grad.
Das unterste Dreieck hat eine Hypothenusenlänge von 80 mm.
Die Ankathete (Seite des Quadrates)
Ist daher 80*Cos(15) = 77,2740661031.
Welche Seitenlänge hat dann das Quadrat?
09.07.2022, Luis BonitoUntere Seite= 80 cos 15 grad
LG
Luis
Welche Seitenlänge hat das Quadrat?
09.07.2022, Thomas Kintzel:-)
Einfachere Lösung zur Berechnung der Seitenlänge des Quadrates
09.07.2022, Heinz-Jürgen LadbergGegeben: gleichseitiges Dreieck mit a = b = c = 80cm
dementsprechend Winkel α = Winkel β = Winkel γ = 60°
Größe vom spitzen Winkel der beiden spitzwinkligen Dreiecke: (90° - 60°) / 2 = 15°
Länge der Hypotenuse: 80 cm
Länge der Ankathete: cos(15°) * 80 cm ≈ 77,274 cm
Symmetrie des Dreiecks zur Diagonalen nicht gegeben
09.07.2022, Roger JohnWas kommt heraus?
08.07.2022, Rolf Sander1/15 Prozent von 15 = 15 Prozent von 1/15
Hallo
08.07.2022, juergenim letzte Satz sollte anstelle " x/15 = "
" x Prozent = " stehen.
mfg juergen
Bei sieben Brüchen ist das Ergebnis Wurzel(4)/4 - Wurzel(11)/11
06.07.2022, Thomas SattlerWurzel(4):4 - Wurzel(11):11 = 1:2 - 1:Wurzel(11)
Was immer noch viel einfacher ist als die sieben Brüche!
Alternativer Lösungsweg des Rätsel vom 6.7. Kreissehnen
06.07.2022, Petra MartiniMein Lösungsweg:
Eine auf die Sehne x normale Sehne y muss aufgrund der Symmetrie ebenfalls Länge 12 haben. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 10.
Aufgrund des Sehnensatzes muss das Produkt der beiden Sehnenabschnitte auf den sich schneidenden Sehnen x und y gleich sein.
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks beträgt 5 mal Wurzel aus 3.
Das Produkt dieser Höhe und des unteren Abschnitts z muss also 5 mal 7 = 35 sein, wodurch z gleich 7/(Wurzel aus 3)sein muss und x insgesamt nach Addition von 5 mal Wurzel aus 3 gleich 22/3 mal (Wurzel aus 3).
Danke für die interessante Aufgabe!
Liebe Grüße,
Petra Martini
HEMMES MATHEMATISCHE RÄTSEL: Wie groß ist die Summe der Brüche? Lösung passt nicht zur Aufgabe!
06.07.2022, Andreas Eiselehier hat sich wohl ein Fehler eingeschlichen. In der Aufgabe sind sieben Brüche zu summieren, aber die Lösung 1/4 wäre korrekt, wenn es um zwölf Brüche ginge, die nach dem gegebenen Muster gebildet werden.
Mit freundlichen Grüßen, Andreas Eisele
Hier passt etwas nicht...
06.07.2022, Martin SczepanIn der Aufgabenstellung geht es um sieben Brüche (4...10). In der Lösung werden zwölf Brüche verwendet (4...15). Wendet man das Lösungsschema auf die Aufgabenstellung, so an sollte das Ergebnis 1/2-1/Wurzel(11) sein. Was die Vermutung nahe legt, dass bei der Aufgabenstellung etwas schief gelaufen ist. Schließlich soll es ja ein "schönes" - also rationales Ergebnis erzielt werden. Das lässt sich immer dann erreichen, wenn die erste Zahl eine Quadratzahl und die zweite Zahl der Vorgänger einer Quadratzahl ist...