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Sehr geehrte Frau Bischoff,
folgende ergänzende Anmerkung zu Ihrem Artikel "Achilles und die Schildkröte ...":
"Die im "Paradoxon" gewählte Formulierung "niemals" erzeugt den scheinbaren Wiederspruch: "Niemals" bedeutet hier, dass nach endlich vielen der beschriebenen Schritte Achilles die Schildkröte nicht erreicht, was offensichtlich korrekt ist. Wie weiter unten im Artikel dargestellt sind dazu unendlich viele Schritte notwendig: Kurz im Rahmen der Analysis ausgedrückt ist der Grenzwert (Achilles erreicht die Schildkröte) der unendlichen Reihe nicht Element der Menge der endlichen Partialsummen (Einzelschritte) aber trotzdem existiert dieser Grenzwert.

Sie wissen, dass Sie Angststarre beschreiben, oder? Atome werden zu Kaninchen vor Autoscheinwerfern, wenn wir sie anschauen. Oder wie würden Sie reagieren, wenn die Andromeda-Galaxie Sie anstarrt? Wie reagieren Sie, wenn der Boss ins Büro kommt – sieht er da nicht immer die Zeit still stehen, viele Leute, die brav an ihren Schreibtischen arbeiten?

Emotionen sind mit Elektromagnetismus und Gravitation eng verwandt – dass da ein Boss ist, sagt Ihnen das Licht, dass Sie auf ihn reagieren, ist dem Licht egal, das ist ein Programm in Ihnen drin. Also können Sie im Grunde nur die Wirkung messen, die Information wirkt so, als würde sie teleportiert werden – das Weiße Rauschen zwischen Ihnen bleibt ja ein Flimmern bunter Flecken, das nicht weiß, dass diese Flecken für irgend jemanden Information sind.

Es ist eine Beobachtung, die wir vorläufig als Axiom nehmen können, weil sie sich immer dort als wahr erwiesen hat, wo sie überprüft werden konnte: Stillstand eines Objekts wird durch Kreisläufe seiner Teile erhalten – wenn Sie etwas nicht ständig reparieren und erneuern, verfällt es schnell, der Zahn der Zeit kann nur durch Hausmeister und Klempner aufgehalten werden. Sie leben in einem solchen System, heißt Staat, und der altert ja auch viel langsamer als Sie.

Wenn Sie ein Quantensystem beobachten, machen Sie einen auf China und gehen den Leuten durch Totalüberwachung auf den Sack. Chinesen sind super darin, nach oben Spiegel zu bilden – sie zeigen dem Kaiser, was er sehen will, sie zeigen es auch den Oberen der Hierarchie, doch das Ganze zerfällt zu Staub, sobald der Kaiser auch nur einen Sekundenbruchteil zwinkert. Denn in der Zeit, in der der Kaiser wegschaut, müssen sie ihr ganzes Privatleben hinkriegen, so viel wie möglich von dem zurück klauen, was ihnen Kaiser und Beamte während der kurzen Momentaufnahme schamlos abgeknöpft haben – das Mikro-Management, ohne das sie nie die Kraft hätten, die China-Show aufrechtzuerhalten.

Wenn Sie in der Firma sind, arbeiten Sie für die Firma, wenn der Boss zuschaut, arbeiten Sie für den Boss, Sie haben keine Zeit für sich und verschleißen. Wenn Feierabend ist, geht die Firma offline, Sie kümmern sich um sich selbst. Dann gehen Sie ins Bett, und während Sie offline sind, tun Ihre Zellen das, was Chinesen eben so tun, wenn der Kaiser nicht zuschaut. Und deswegen sind Sie am nächsten Tag auch weniger erschöpft und wenn die Schlafenszeit ausbleibt, wirkt es wie Uiguren-Gulag.

Fraktale, Hierarchien, Frequenzen, Dilatation. Sogar Gravitation ist mit drin – wenn Sie ein Objekt, das sich in der Zeit langsamer bewegt, aus verschiedenen Punkten einer parallel verlaufenden Zeitlinie beobachten, bei der die Zeitfrequenz höher ist, sehen Sie aus vielen Punkten wenige Punkte, die aber stets in der gleichen Entfernung von Ihnen sind – wenn die Uhr eines Objekts seltener tickt als Ihre, umkreisen Sie es.

Raum und Zeit sind eben eine Einheit, und die Feststellung, dass Zeit vergehen muss, um Raum zu überwinden, müffelt schon irgendwie nach Denkfehler. Bei Einstein sieht das anders aus, je größer Ihr Hüpferl durch den Raum, desto größer Ihr Hüpferl durch die Zeit – Sie bewegen sich quasi diagonal durch ein Quadrat mit den Seitenlängen 1*1 Sekunde (oder Lichtsekunde) – das Licht braucht einen Sprung, alles andere mehrere, kann aber dabei auch öfters die Richtung wechseln, auf den Raum reagieren – weil Licht mit so viel Raum auf einmal zusammenstößt und zwar in ein und demselben Augenblick, verdichtet sich jede noch so winzige Energie zum Schwarzen Loch. Und Sie können Schwarze Löcher gern als Photonen sehen, die durch die Zeit rasen, was die Raumzeit um sie herum so verbiegt, dass das herauskommt, das Sie auch tatsächlich sehen. Ist irgendwie nix mit masselos, oder?

Ist doch alles so langweilig, offensichtlich, einfach und alltäglich, immer und überall zu sehen, in unzähligen Variationen und allen möglichen Größenordnungen. Sie können sogar annehmen, Sie wären Teil eines Quantensystems und nach dem riesigen Auge im Himmel suchen – wenn es die Welt anguckt, haben Sie ja Freeze Frame, all Ihre Teilchen erstarren und Sie mit ihnen. Arbeit, Freizeit, Schlaf, sind für uns je acht Stunden – aber ist es für Ihre Körperzellen auch so? Vielleicht sind Ihre 8 Stunden Schlaf ja deren 16 Stunden, und umgekehrt?

Die Antwort, wieviele Lose man mindestens kaufen muss, um mindestens 2 Richtige zu erzielen, lautet 4. Hier sind, als ein Beispiel, die 4 Tripel:
(1,2,5), (3,4,7), (5,6,2), (1,2,6).
Damit wäre 4 kleinste Auswahl an Losen, mit der man garantiert den Trostpreis gewinnt. Warum die Fano-Ebene nicht wie erhofft das Optimum liefert, kann ich auch nicht sagen. Die Mathematik birgt viele Geheimnisse. ;-)

Wie haben Sie es geschafft, selbst bei der graphischen
Lösung die falschen Maße anzugeben?

x= -19; y= 18
x= 18; y= -18
Und weil 2 Parabeln 4 Schnittpunkte haben:
x = 1/2 - √(1373)/2, y = 1/2 - √(1373)/2 ____ (18.027)
x = 1/2 + √(1373)/2, y = 1/2 + √(1373)/2 ___ (19.027)

Wenn Sie die Gleichung durch x-y teilen, dürfen Sie das nur tun, wenn x-y nicht Null ist. D.h. der Fall x=y ist gesondert zu betrachten und liefert zwei zusätzliche Lösungspaare: x=y=(1+wurzel(1373))/2 und x=y=(1-wurzel(1373))/2

In Hans-Karl Eders Artikel "Welches Zahlenpaar führt zu einer Lösung?" wurde an einer Stelle zu Beginn stillschweigend eine Gleichung durch (x-y) geteilt. Dies ist aber nur möglich, wenn x ungleich y ist.

Für den Fall x=y ergeben beide Ausgangsgleichungen dieselbe quadratische Gleichung x^2-x=343, deren Lösungen zwei zusätzliche Lösungspaare des Originalsystems darstellen, nämlich x=y=0.5±sqrt(343.25).

(((7×z)-1)÷((8×z)+1))=4/5
^^^ Ist im Prinzip das Problem auf direktestmöglichem Weg

z = 3, kann man ausprobieren, da wir wissen, dass z die Form (int) hat, weil auch das Ergebnis (int) sein muss und die multiplikatoren (int) sind.
Jeweils den Oberen bzw. unteren Bruch lösen:
7*3 - 1 = 21 - 1 = 20
8*3 + 1 = 24 + 1 = 25

Ist etwas simpler, wenn man direkt zur Gleichug kommt.
Ausserdem braucht man nur 1 Variable.

* (int) integer -> Ganzzahl

Die Zetafunktion (bei dem Wert 2) ist mit den Kreisen von Radius n eindeutig (Es ist beweisbar, durch den Halbkreis Satz.) verbunden.
Dementsprechend ist die Vermutung wahr, falls mindestens eine geometrische Funktion mit reellen Werten existiert, derer komplexen Lösungen (unendlich viele) erfüllen die Gleichung:
1/2 + ti=0
Eine solche geometrische Funktion habe ich gefunden, die die Vermutung bestätigt.
Die wichtigste Information ist der Halbkreis Satz.
(Sie haben einmal einen Artikel über solchen Beweis geschrieben. Den Beweis teile ich jetzt nicht mit.

Ich werde ihn vielleicht an die Redaktion schicken, hier als ein Beitrag. Ich muss mich noch entscheiden. Der Hacken ist, habe ich Recht, sowieso wird es nichts passieren. Die Redaktion hat keine Interesse daran, ob ein Leser Recht hat oder nicht. Und der Beitrag wird nicht veröffentlicht.)

Beim Kürzen mit x-y muss man x=y ausschließen. Tatsächlich sind auch alle Paare (x,y) mit x=y Lösungen beider Gleichungen.

Bei der Division durch x-y haben Sie zwei Lösungen unterschlagen. Denn x=y löst die Differenzgleichung auch und liefert noch zwei irrationale Lösungen (1 ± √1373) / 2.

WolframAlpha findet natürlich auch alle vier Lösungen.

Jetzt haben sie aber vergessen, eine Division durch 0 auszuschließen.
Nämlich wenn (x-y) = 0 ist, auch in diesem Fall wird die geforderte Gleichung (x-y)(x+y)=-(x-y) eingehalten, und x=y.
Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung führt zu den Lösungen (1+Wurzel(1373))/2 und (1-Wurzel(1373))/2, jeweils identisch für x und y.
Zu den angeführten Zahlenpaaren (18/–19) und (–19/18) kommen somit die beiden weiteren Lösungen (19,0270073.../19,0270073...) und (-18,0270073.../-18,0270073...) hinzu.

Ich bin nur ein Hobbymathematiker, aber m.E. ist die o.a. Lösung unvollständig.
Die Gleichung wird durch (x-y) dividiert, d.h. der Fall (x=y) wird bei dieser Herleitung nicht behandelt (w/ Div. durch 0).
Aber auch der Fall x=y führt zu einer Lösung, nämlich über die Gleichung x^2 - x - 343 =0. Die Ergebnisse für x/y sind dann zwar aus R, aber es war ja nicht verlangt, dass x,y aus N sein müssen.

Die Gleichung (x-y)(x+y) = -(x-y) wird durch (x-y) dividiert. Das ist nur möglich, wenn x ≠ y. Wenn x = y, dann stimmt obige Gleichung auch (0 = 0) und wir erhalten zwei weitere Lösungen: ((1±√1373)/2, (1±√1373)/2).

Hallo Herr Eder,
im Rätsel https://www.spektrum.de/raetsel/welches-zahlenpaar-fuehrt-zu-einer-loesung/2212515 dividieren Sie in einer der Umformungen durch (x-y) und übersehen daher eine weitere Lösung für x=y, nämlich x = y = (1+wurzel(1373))/2. Oder es fehlt in der Aufgabenstellung der Hinweis, dass es sich bei x und y um ganze oder jedenfalls verschiedene Zahlen handeln soll.
Schöne Grüße
Peter Denzlein