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Mittelpunkt M des "oberen" Kreises bildet mit P (Berührpunkt) und A ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel MAP = 30°; Strecke [MA] sei r +x.
sin30°= r : (r+x) = 0,5
Daraus folgt x = r, und h = 7 r
h (Höhe im gls. Dreieck)= a/2 × Wurzel 3 = 7 r
r = 1/14 × Wurzel 3
Mit a = 1 ergibt sich r = 1/14 × Wurzel 3
Den Zahlenwert findet jeder Taschenrechner

Hallo, Jürgen und Philip,
bei Eurer Berechnung geht Ihr davon aus, daß das Ass als erste Karte
gezogen wird. Es kann jedoch auch als 2. oder 3. Karte gezogen werden.
Also muß Euer Ergebnis noch mit 3 multipliziert werden und bringt dann
das richtige Resultat.
Das Nichtbeachten möglicher Reihenfolgen hat schon manche Punkte
bei Prüfungen/Klassenarbeiten gekostet.

Leider kann ich das Problem mangels Mathe- und IT- Kenntnissen nicht lösen. Allerdings kenne ich das Problem aus der Literatur. In dem Buch „Zickzack“ von Landon Napoleon (2003) erläutert der Protagonist eben oben genannte Aufgabe. Es handelt sich um einen geistig behinderten Jugendlichen mit großem Talent für Zahlen. Und auch er regt sich über die 86% Nicht-Versteher auf. Ein lesenswertes Buch.

Der Anteil des regelmäßigen Sechsecks und der drei Quadrate am Gesamtflächeninhalt des unregelmäßigen Sechsecks lautet:
Wurzel aus 3 minus 1, also ungefähr 0,732 bzw. 73,2 %.

1-1/4=(7r)^2 ergibt r=Wurzel(3)/14

Aufgrund des bei unendlich vielen Schaltspielen auftretenden induktiven Blindwiderstands der Lampenzuleitungen, wäre am Ende des Experimentes die Lampe aus.
Zudem hätten die (wenn überhaupt noch) "zitternden" "ersten" Valenzelektronen nicht die Möglichkeit, eine Ladungsverschiebung im Leitmaterial zu realisieren...

Es ist müßig, über eine theoretische Lösung nachzudenken, weil sich die reale Physik nicht darum kümmert, was sich Menschen in theoretischen Modellen ausdenken können.

Für das Dreieck ABJ gilt nach dem Satz des Pythagoras 1^2 - (1/2)^2 = (7r)^2.
Insofern ist die Musterlösung, deren Ansatz ich für verblüffend einfach halte und zu dem ich gratulieren möchte, an dieser Stelle fehlerhaft.

In dem Beitrag von Marcel St. vom 24.5. steckt ein Denkfehler.
Es geht um die Länge des zurückgelegten Weges. Antwort: 2 m, die Einheit ist m.
Es geht NICHT darum, wie oft der Umfang des kleinen Kreises in den Umfang des großen Kreises passt! Die Antwort wäre 2x (zweimal), das ist ein dimensionsloser Wert.

Ist es logisch, aus Angst, vergiftet zu werden, nicht mehr zu essen? Denken, das ausschließlich auf harten, beweisbaren Fakten beruht, entsteht auch, wenn man sich mit dem Ziegelstein auf den Kopf haut. Ich kann nur sagen – würde ich meine Frau mein Essen vorkosten lassen, weil ich es für vergiftet hielte, dann wäre ich entweder sehr schnell vergiftet worden, oder hätte mich scheiden lassen, weil mir die Frau zu charakterlos wäre.

Ein System, in dem 2=1 ist, lässt sich einfach vorstellen: Wenn Sie zwei Finger durch ein Blatt Papier stechen, sieht ein 3D-Wesen eine Hand, ein 2D-Wesen, das in der Papierebene lebt, zwei Kreise. Im 3D-Universum reagiert die Hand als Ganzes auf Ereignisse, im 2D-Universum interagieren die Dinge aber mit beiden Kreisen unabhängig. Würden beide Wesen kommunizieren wollen, müssten sie sich eine Mathe basteln, die beide Eventualitäten berücksichtigt: Ist ja beides wahr, je nach Standpunkt.

Mathe ist Zahlen nach Malen – sie beschreibt die Grammatik des Universums, die Geometrie. Es lassen sich die prächtigsten Gemälde daraus basteln. Doch es sind trotzdem alles nur Pünktchen, verteilt auf einer n-dimensionalen Leinwand. Wenn man sich ein paar Dinge zu Ende denkt, sieht man lauter Flöhe auf einer heißen Herdplatte: Unten ist es unerträglich, also klettern sie übereinander, türmen sich zu Geflechten, Netzwerken, Konstrukten, Universen auf, doch nichts davon kann still stehen, nichts stabil bleiben, denn es ruht alles auf dem Rücken brennender Flöhe, die nicht unten bleiben wollen.

Folgerichtig kann man vermuten, dass alles, was gezeichnet werden kann, auch irgendwie, irgendwo möglich ist. Vorausgesetzt natürlich, es findet das passende Universum drum herum – die „Metaphysik“, die ihm als Lebenserhaltungssystem dient. Und ein im Innern schlüssiges Universum muss nicht nach Außen schlüssig sein. Ich denke da an Matrix – Menschen als Batterien sind Unsinn, das funktioniert nur in der echten Welt, wo wir Sonnenenergie über Brötchen tanken und in Arbeitsleistung umwandeln, die die Maschine namens Gesellschaft aufrechterhält. Die Filmmetapher dafür war also passend, aber schlecht durchdacht. In der Filmrealität stellt aber einfach keiner die Frage, ob's Sinn macht, in der physischen Realität lassen wir Fünfe gerade sein, weil wir die Metapher trotzdem verstehen und es den Filmspaß nicht mildert, und die Naturgesetze greifen nicht ein, solange die Filmrealität von Computern simuliert wird, die ihren Strom brav aus dem Kohle- oder Wasserkraftwerk beziehen. Ich kann also theoretisch auf dem Holodeck virtuelle Welten bauen, die ein wenig schummeln, und sie mit Menschen bevölkern, die zum Beispiel irgendeine Denkblockade haben – die Leute bräuchten einen Zensor im Hirn, der ausgerechnet diese eine Frage, die alles auffliegen lässt, so komplett wirr und unzusammenhängend erscheinen lässt, dass sie sich anhört, wie die Frage: Schlumpf Strümpfe Katze blass? So lange die Welt weiter tickt und die Menschenbatterien die Matrix weiter (scheinbar) speisen, würde dieses logische Denk-Loch niemandem im Innern auffallen.

Klingt sehr abstrakt, bis man sich Religion oder totalitäre Systeme anschaut: Versuche, Matrix-VRs mit Alternativlogik zu erschaffen, die gerade weit genug mit der physischen Realität konform gehen, dass sie reibungslos funktionieren, sind uns in die DNA geschrieben. Die DNA wurde von der Evolution geschaffen, die alles aussortiert, das nicht mit der Physik konform geht. Das Erschaffen von Welten liegt in der Natur der Flöhe, und alles, was sie als Motivation brauchen, ist ein brennender Hintern und eine Schneewehe, in die sie damit springen können – wieder und wieder, auf ewig. Wir versuchen, uns oben zu halten, beziehungsweise vorne, bauen uns Burgen, Kapseln, Welten, Matrix-Universen, die uns schützen sollen. Was haben Menschen denn je gemacht, als vor Tod und Teufel wegzurennen?

Die Frage ist also – auf welcher Hierarchiestufe setzt Mathe ein? Wie viele Schichten Flöhe, die Welten in Welten in Welten erschaffen, trennen unsere Matrix von der objektiven Realität? Wie viele Dinge sind ausschließlich in unserem Universum unmöglich? Wie viele Dinge gibt es, die nicht darin verbaut wurden? Wir haben Masse, Energie, Bewusstsein, Bewusstlosigkeit, Pünktchen, Geometrie, Farben, Gefühle, aber keine Qlrx und nicht mal ein ß4. Wobei ß4 weder zählbar noch nicht zählbar ist... Wir nähern uns hier den Basics: Sein und Nichtsein, Ursache und Wirkung, sind Eigenschaften unseres Universums. In diesen Kategorien können wir es begreifen. Doch wir können nichts begreifen, was darüber hinausgeht. Wir haben nichts, was nicht Denken, Logik, Verstand, Gefühl, Wahrnehmung wäre, wir können nicht mal etwas anstreben, was nicht „verstehen“ wäre – einen Zustand, der weder in unserem Hirn, noch in unserem Universum, möglich ist, der vielleicht so fremd ist, dass „Zustand“, „Sein“, „in“, die völlig falschen Begriffe sind.

Auch in unserem Universum gibt’s Dinge, die nicht so richtig reinpassen. Wozu brauche ich „blau“, „warm“ oder „süß“? Würden diese Eindrücke ihre Rollen tauschen oder durch Schraffierungen ersetzt werden, würde das Universum ganz genauso ticken – sie haben nur die Wirkung, die ihrer Masse, Energie, Verteilung in der Raumzeit entspricht, wirken wie austauschbare Marker. Gibt es Welten, in denen sie keine bloße Deko, sondern eigenständige Kräfte sind? In denen „Blau“ existieren kann, ohne eine blaue Fläche oder Licht, das es sichtbar macht? Zu abstrakt, es sich vorzustellen, doch das ist der Clou – ich kann es, rein logisch, tun, ich erkenne, dass Blau eine eigenständige Eigenschaft ist, die an die Dinge, die ich zum Denken, Wahrnehmen, Rechnen brauche, angeheftet ist. Ich kann mir das Unvorstellbare zusammenreimen, auch aus dem Universum heraus. Natürlich geht das nicht weit genug, immerhin gibt es Unvorstellbares in unserem Universum – ein Wesen ohne Sehsinn oder Sehzentrum im Kopf kann sich kein Blau vorstellen. Die Denkmauer kann wahrgenommen, doch nicht durchbrochen werden.

Mathe kann nur Welten bauen, die Mathe bauen kann. Sind sowieso schon mehr, als die Naturgesetzpolizei erlaubt. Was natürlich zu der Frage führt: Wann werden wir Naturgesetze brechen, umschreiben können?

Was unlösbare Widersprüche angeht, den Wichtigsten zeigt Ihnen der Taschenrechner: Div/0=?. Es ist Chaos, ein unbestimmter Zustand, ich sehe das Gleiche, was ich sehe, wenn ein Laster versucht, Sie oder mich in 0 Teile zu zerlegen: Den Tod. Aus einer Gewissheit werden unendlich viele Möglichkeiten, der Babelturm der Flöhe stürzt ins Feuer zurück, jeder kämpft für sich alleine, die Ellbogen entwickeln Kraft, eine Explosion, die anderen Babeltürmen nützlich sein kann. 1/0=E. Materie/Nichts=Energie.

Da Nichts die ganzen Nullen sind, die die Pünktchen trennen, sodass Linien, Flächen, Kuben, die Unendlichkeit der Raumzeit daraus wird, können Sie auch „Materie/Raumzeit=Energie“ daraus machen. Würde ich im Hinterkopf behalten, wenn ich nach der Weltformel suche.

Unlösbare Widersprüche halten die Welt aufrecht. Eine Dimension ist ein Spannungsfeld zwischen Polen, Teilchen, Pünktchen – wie in einer Ehe, muss stets eine angemessene Balance zwischen Geben und Nehmen, Konflikt und Harmonie, Abstoßen und Anziehen da sein, sonst ist der Saft raus. Überall diese Nullen, die keiner sieht, keiner zählt, ohne Masse, Maße, Energie, wir sehen stets nur Objekte und das Unbestimmte, das Energie-Chaos dazwischen, und wenn wir näher kommen, sehen wir nur mehr vom Selben. Und dennoch – das Nichts ist die oft übersehene der drei Großmächte des Universums. Die anderen sind Energie und Materie, also zusammen das Sein. Kann man sich im Dreieck anordnen, wie die drei Farben im Farbkreis, am Ende kommt das Universum dabei raus. Alle drei müssen sich stets im Gleichgewicht halten, ich nehme an, der Satz des Pythagoras wird irgendwann ins Spiel kommen. Ist hier nicht wichtig.

Mathe zählt die Flöhe. Sie kann das formlose Chaos, das die Flöhe umtreibt, sowie die unsichtbare Bühne, auf denen sie tanzen, nur dann erfassen, wenn dabei der eine oder andere Floh auf der Bildfläche erscheint. Und wenn man das Chaos und die Bühne unter die Lupe nimmt, sieht man halt noch mehr tanzende Flöhe, die man zählen kann: Man ist durch die 0 in eine andere Welt geschlüpft, ohne es zu merken.

Die Mathematik erfasst eine Welt aus Eis – Netzwerke, Momentaufnahmen, das Stabile, Harte, Bestimmte, das, was Regeln gehorcht. Doch es gibt ganze Hierarchien von Regeln und Hitze, die Eis schmilzt, neue Netzwerke und neue Regeln ermöglicht. Die Welt der Mathematik ist selbst eine Matrix innerhalb einer Metaphysik, die ihr gelegentlich dazwischen quatscht. Einerseits spiegelt sie eine Ebene der Wirklichkeit, die nicht nur unserer Physik, sondern auch der anderer Universen zugrunde liegen dürfte, und kann sich so mehr Schneemänner bauen, als zwischen Himmel und Erde möglich sind. Andererseits spiegelt sie Himmel und Erde so unvollständig und eigenwillig, dass sie durchaus mit dem unseren überfordert sein kann. Man kann sie halt nicht vom Mathematiker getrennt betrachten: Mathe gibt das Ergebnis von Div/0 korrekt wieder, als „?“. Es ist der Mathematiker, der ihr nicht glauben will. Sie sind immer Teil des Systems, das Sie beobachten - ist auch irgendwie wichtig.

Mathematiker behalten halt gern einen kühlen Kopf. Und das wirkt sich auf ihr Weltbild aus.

Wie jeder schrieb, geht auch die horizontale Lösung.
Wie weit müsste der untere Streifen verschoben werden, damit die komplexere Lösung nicht mehr funktioniert? Zwei Kästchen weit?

Gut dass die Buchkritik über Sprung über den Abgrund angepasst wurde. Bei Kritiken zu diesem Buch geht es nicht um irgendeine literarische Hochleistung zu bewerten wie das von anderen Büchern erwartet werden darf und soll. Meiner Meinung nach ist dieses Buch das Wichtigste was es in unserer Zeit zu lesen gibt und was in allen Sprachen übersetzt werden sollte.
Ich bedanke mich bei den Autoren, wovon Herr Harald Lesch schon seit Jahrzehnten mein stiller Lehrer war und nun wieder ist. Super gemacht!

Die Aufgabenstellung war:
"Die Stelle, mit der der kleine Kreis den großen berührt, ist mit einem weißen Punkt markiert. Wie lang ist der Weg des weißen Punktes gewesen, ... "

Wenn es bei um die Stelle geht, wo der kleine Kreis den großen berührt, dann wandert die Berührstelle auf dem Umfang des großen Kreises und durchläuft den komplett.
Das entspricht meines Erachtens der Aufgabenformulierung.

Offensichtlich ist das laut Lösung aber nicht gemeint.
Gemeint ist wohl, dass die URSPRÜNGLICHE Berührstelle auf dem kleinen Kreis markiert wird und dann beim Drehen desselbigen mitwandert. Dann ist das halt so, dass der Punkt den Durchmesser des großen Kreises einmal rauf und runter durchläuft.
Das ist eine schöne Fragestellung, aber das gibt die Aufgabenformulierung doch so nicht her.

Sehr geehrter Herr Hemme,
die Gesamtfigur hat doch nur sechs Ecken, oder übersehe ich etwas?
Freundliche Grüße, H. Schnabel

Beim Versuch das heutige Rätsel zu lösen, bin ich mit der Angabe nicht klar gekommen: Wo ist hier ein unregelmäßiges ACHT-Eck zu finden?

Redaktion und Kommentator machen beide einen Fehler. Die Redaktion hat insofern Recht, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöt wenn der Spieler wechselt, egal ob der Moderator weiß wo die Ziege ist oder weil er nur zufällig die Tür mit der Ziege öffnet.
Dennoch ist die Aufgabenformulierung trügerisch, da diese alle Fälle in denen der Moderator die Tür mit dem Auto öffnen würde ignoriert. Daher ergibt dies insgesamt ein verzerrtes Wahrscheinlichkeits-Ergebnis.