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Denn die Punkte darauf haben eine sinnvolle Größe: so groß wie die Spitze des Dartpfeils. Das mag nur ein Eisen-Atom breit sein, ist aber immer noch eine endliche Größe.

Wenn man schon davon ausgeht, dass jeder Punkt der Dartscheibe (und nur diese) mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird, dass also über das "die Scheibe treffen" hinaus nicht weiter gezielt wird, dann ist es doch sehr naheliegend, die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Teilfläche getroffen wird als proportional zu deren Flächeninhalt anzunehmen. Dann hat etwa das triple-20-Feld einen berechenbaren Bruchteil des Flächeninhaltes der ganzen Scheibe. Die Stege kann man dazu entweder ebenfalls berechnen oder vereinfachend als unendlich dünn annehmen.

Geehrter Herr Warkus
Mit Vergnügen habe ich Ihren Artikel gelesen zur provokanten Aussage, Begriffe begrenzten das Denken. Begriffe haben neben der begrenzenden Wirkung auch eine befreiende auf das Denken. Eine zunächst diffuse Wahrnehmung erhält durch den Begriff eine Gestalt, die in Beziehungen zu anderen Begriffen steht oder gebracht werden kann und also schöpferisches Denken ermöglicht.

Die zu Beginn ungeklärte, diffuse Wahrnehmung kollabiert durch die Einführung zum Begriff analog zu dem von den Quantenphysikern beschriebene Vorgang, wo die diffuse Schwingung des Elektrons um das Proton erst durch die Beobachtung zu einem Teilchen im Raum kollabiert und dadurch s(eine) Position, sich zeigt. Andere Möglichkeiten (Wahrscheinlichkeiten), die das Diffuse beherbergte, verblassen im Schatten des Nichtgeschehens, bleiben aber als Möglichkeit erhalten, um in anderen Umständen, vielleicht in einer anderen Kultur, doch in einem Begriff zutage zu treten.

Die Wahrscheinlichkeit einen idealen Punkt zu treffen, ist die Dichtefunktion gefaltet mit dem Dirac-Impuls. Das ist einfach der Wert der Dichtefunktion an diesem Punkt.
Gehen wir von einem sturz-besoffenen Dart-Spieler in einem unendlich großen Raum, der versucht eine Dartscheibe zu treffen. Hier kann die Dichtefunktion als Gauß-Normalverteilung angesehen werden. Diese ist nirgendwo null.
Befindet sich der Dart-Spieler in einer Kneipe muss die Dichtefunktion entsprechend angepasst werden. Hier kann er zwar jeden Punkt (Dichtefunktion ungleich null) im Raum Treffen, aber nicht den Mond (Dichtefunktion gleich null).

Sehr geehrter Herr Hemme,
wenn man andere Stellenwertsysteme zulässt, gibt es Lösungen. Zum Beispiel gilt im Dualsystem, dass das Quadrat der Zahl, die durch 300 Einsen dargestellt wird (2^299 + 2^298 + ... + 2 + 1) genau die Zahl ist, die aus 299 führenden Einsen, gefolgt von 300 Nullen und einer 1 am Ende, besteht.

@McFadden: Wenn die Zahl n durch drei teilbar ist, bedeutet es, dass ihre Wurzel w auch durch drei teilbar ist. Daraus folgt, dass die Zahl n = w*w durch neun teilbar sein muss, und daraus folgt, dass die Quersumme durch 9 teilbar ist. Das ist der Widerspruch.
Freundliche Grüße, Hans Schnabel

Wenn ich mich richtig entsinne, hat es hier schon Rätsel gegeben, bei denen die Lösung darin bestand, dass nicht eine Dezimalzahl, sondern eine in einem anderen Zahlsystem die fragliche Bedingung erfüllte. Und weil hier nichts von Dezimalzahlen steht, sollte sich eine passende Binärzahl finden, die das Problem löst.

Weil 300 Stellen (ob nun dezimal oder binär) doch etwas unhandlich sind, habe ich stattdessen das analoge Problem mit drei Einsen gelöst. Das ist im Dezimalsystem aus demselben Grund wie in der Lösung angegeben nicht lösbar, aber schon 11001 (dezimal 25) ist eben doch eine Lösung.

Servus,
ich stehe da wohl auf der Leitung- aber wo ist denn davon die Rede, dass die Zahl durch neun teilbar sein muss oder was hätte das für Auswirkungen auf andere Teilbarkeiten?
Wenn ich hinten Nullen anhänge, kann die Zahl sehr schnell durch vier oder zehn uvam. teilbar sein. Was hilft mir da der Beweis, dass sie nicht durch neun teilbar ist? Ich brauche da bitte eine etwas ausführlichere Erläuterung... ;-)
Danke!

Liefert zB ein Würfel nie 8? Gemäß Quantentheorie ist vieles möglich.

Analytische Differentialgeometrie und Topologie .Das antroposophische Prinzip .Was bedeutet die Anzahl an Dimensionen ? Eine n- dimensionle reelle Mannigfaltigkeit beschreibt man gewöhnlich algebraisch durch n verschiedene unabhängige reelle Parameter.Die geometrische Bedeutung dieser Variablen ergibt sich aus einem n- Bein Feld oder aus einem metrischen Tensor nach Riemann .Eine n-dimensionale gekrümmte Mannigfaltigkeit kann man in der Regel als eingebettet in einen n*(n+1)/2 dimensionalen Descarteschen flachen Tangentialraum ansehen.Auf Topolgische Feinheiten möchte ich jetzt nicht weiter eingehen .Was können wir Menschen uns bildlich vorstellen ? Einen farbigen 3 dimensionalen flachen Tangentialraum . Warum ? Wir sehen mit zwei Augen zwei unterschiedliche Flächen.(geometrische Optik). In unserem Gehirn kann daraus holographisch ein gekrümmter zweidimensionaler Raum virtualisiert werden , der in einen 3 dimensionalen flachen Raum eingebettet ist .Das Farbensehen geht mit 3 verschiedenen Sorten Zäpfchen Sehzellen.RGB Parameter versus Y-Helligkeit und Farbsättigung und Farbwinkel Farbkreis variablen. Die Sets lassen sich ineinander mit allgemeinen Parametertransformationen umrechnen .Für höhere Dimensionen benötigt man projektive Darstellungen .um die algebraischen und topologischen Eigenschaften darzustellen .

Liebe Manon Bischoff
Ich möchte nicht kleinlich sein und gehe daher nicht ausführlich auf jede (falsche) Stelle Ihres Textes ein, aber ich möchte Ihnen gerne ein paar Anregungen schreiben:

wie wahrscheinlich ist es, dass ein realer Würfel beim Würfeln (in zwei Teile) zerbricht und (zufällig) 6&2 oder 5&3 "oben" liegen...

"Eine Aufzählung existiert nicht, selbst wenn die Liste unendlich lang ist. Denn zwischen zwei reellen Zahlen findet man immer eine weitere, die dazwischensteckt."
lasse ich lieber mal ohne Kommentar...

"Wem das alles zu kompliziert ist, kann stattdessen auf eine elektronische Dartscheibe zurückgreifen: Da diese bloß endlich viele Lücken zwischen den Noppen aufweist, lässt sich jedem Treffer eine endliche Wahrscheinlichkeit zuordnen"
ich frage mich, woraus besteht denn eine el. Dartscheibe - aus Materie? Also wahrscheinlich (ich möchte nicht philosophisch werden) aus endlich vielen Atomen... mit endlich vielen Zwischenräumen? Oder einer gewissen Unschärfe "dazwischen"
besteht dann aber nicht jede Dartscheibe aus endlich vielen Atomen mit endlich vielen...

da bleibt mir zum Schluss nur noch die Frage (an Sie):
für wie wahrscheinlich halten Sie es, dass ein mathematisch exaktes Modell in unserer Wirklichkeit existiert?
"Die Wahrscheinlichkeit... ...beträgt null...
Das heißt allerdings... ...nur, dass es sehr unwahrscheinlich ist."

fände ich richtig (gut ;-)

mit den besten Wünschen für ein wunderschönes neues Jahr und ganz besonders herzlichen Grüßen
oliver fiedler

...Tatsache ist, über change.org und andere private Anbieter kann man keinen Einfluss nehmen. Das kann man nur über offizielle Petitionen.

Bei dem lesenswerten Artikel über Wahrscheinlichkeiten von 0 wurde versehentlich stets statt Ergebnisraum Ereignisraum geschrieben. Letzterer ist aber die Potenzmenge des ersteren. Klar, unendliche Mächtigkeiten beim Ergebnisraum haben auch unendlich viele Teilmengen zur Folge und umgekehrt, aber es ist doch etwas Andres.

Die Lösung ist korrekt, es gibt aber eine Lücke in der Argumentation. Eines der Kinder könnte 26 sein, dann wären die anderen 16 und 32, aber das ergibt keine Lösung.

Schöner Beitrag! Eine kleine Korrektur habe ich:
"Während man natürliche Zahlen wie 1, 2, 3, … lückenlos auflisten kann, ist das mit reellen Zahlen unmöglich. Eine Aufzählung existiert nicht, selbst wenn die Liste unendlich lang ist. Denn zwischen zwei reellen Zahlen findet man immer eine weitere, die dazwischensteckt."
Das letzte Argument bedingt allerdings nicht die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, denn dies gilt beispielsweise auch für die rationalen Zahlen. Das korrekte Argument für die Überabzählbarkeit ergibt sich aus der Cantor-Diagonalisierung.

Ich packe meinen Koffer und nehme mit... mehr, wenn ich Origami kann.

Telepräsenz: Ich muss keine Tonnen von Menschenfleisch in den Himmel schießen, es reichen Ken und Barbie von zwanzig Zentimetern Körperlänge, die sich aus frei herumfliegenden Astronautenwindeln ein Traumhaus basteln. Im All ist ja eh alles Stein, und wenn man bloß dicke Wände braucht, aber keine Angst haben muss, dass die unterm Eigengewicht einstürzen, kann man einfach alles als Ziegelstein verwenden – eventuell könnte Wasser oder Urin als Mörtel dienen. Flüssigkeiten oder Staub, die ihre Eigenschaften im All ändern, wären sowieso platzsparender beim Transport. Astronautenwindeln könnten gleich als Dünger dienen, wenn das Traumhaus groß genug wird, um ein paar normal große Bio-Gäste zu beherbergen – am besten Unfall-Jockeys ohne Beine, ein paar Kilo sind da auch eingespart (wenn Nordkorea ins All fliegt, beinhaltet die Astronautenausbildung eine Knochensäge). In dem Falle wird Origami für Ken und Barbie gebraucht, um sie in mehr oder weniger Einzelteilen ins Raumschiff zu quetschen, damit sich die Marionetten auch zuverlässig entfalten. Fürs Traumhaus reichen gewöhnliche Puzzle-Talente – schon in der Steinzeit gab es Gebäude, bei denen die Steine nicht bearbeitet wurden, sondern passend ausgesucht. Hat auch was von Tetris, nur hoffentlich verschwindet die Reihe nicht, wenn sie fertig ist. Ich hätte aber vorläufig nichts dagegen, wenn ein paar russische Satelliten i n der Reihe verschwinden. Ich hätte auch nichts dagegen, dass der Kreml im Erdboden verschwände, damit die Russen ihre Mentalität an einem anderen Magnetpol ausrichten müssten, dann könnte man vielleicht endlich gute Kumpels mit ihnen sein.

Wenn die Ressourcen knapp sind, muss man langsam über Piraterie nachdenken. Warum Satelliten teuer hoch schicken, wenn ich billig kapern kann? Die Kosten dürften sich dann verhundertfachen, weil man dann seine teuren Investitionen schützen will, aber was das an Geldern für Forschung und Raumfahrt bedeutet... Der Krieg ist die Rabenmutter aller Dinge, nur das mit dem Umbringen ist ein Konstruktionsfehler.

Die Roboter könnten bloß grob humanoide Gestalt haben, und austauschbare Körperteile. Wenn die Greifer hoch entwickelt sind, könnte man damit sogar mehr ausrichten, als ein Astronaut mit dicken Handschuhen und grobem Werkzeug kann. Signale zwischen Kameras und Augen, aber auch taktile, werden per Funk übertragen, an Houston oder ISS. WLAN macht viel Hirn überflüssig, man muss die Computer weder duplizieren noch miniaturisieren, das Denken bleibt ja auch heute auf der Erde – was beim Planen übersehen wurde, geht im All dann drastisch schief, denn es gibt kaum noch Möglichkeiten, es zu korrigieren. Man könnte sie gleich von einem Team bedienen lassen, mehr Arme, mehr Werkzeug, mehr Aufmerksamkeit.

Behinderte im All sind eine andere Frage – gibt es Behinderungen, die im All nicht stören, sodass die Leute da vollwertige Arbeit leisten könnten? Ein Gelähmter, der mit Gedanken ganze Heere von Robotern lenkt und ganze Städte am Laufen hält, ist ein recht bekanntes Sci-Fi-Klischee, aber auch mit heutiger Technik könnte man Vorläufermodelle von Space-Cyborgs basteln. Wer möchte schon im Pflegeheim versauern, wenn die NASA von 8-16 Uhr seine Erfahrung mit dem Rollstuhl-Joystick brauchen kann? Wenn ich 90jährige oder Krebskranke hinaufschieße, die dort ihr Lebensende abwarten wollen, muss ich sie nicht nur nicht teuer zurückbringen, ich hab auch eine Tiefkühlleiche als Baumaterial. Klingt makaber, aber im Grunde würde sich ja nichts ändern – im All ist die Welt auf links gedreht, Innen ist Außen, also wäre jeder, der an eine sechs Fuß dicke Wand geklatscht wird, genauso unter der Erde begraben. Warum sollte ich mich hier unten verbuddeln lassen, wenn ich eine grinsende Tür in der ISS werden könnte, mit meinem ausgestreckten Mittelfinger als Griff?

Lego-Steine und Flüssigkeiten: Standard-Bauteile, die immer wieder zerlegt und neu geformt werden können, die könnte man bei jeder Gelegenheit rauf schießen, bevor man weiß, was man damit macht. Netze aus ultradünnen Fäden, die kosmischen Staub einfangen, und so nach und nach an Dicke gewinnen. Mit genug Solarpanelen oder Nuklearbatterien könnten Konstruktionen möglich sein, die von Magnetfeldern zusammengehalten werden. Jedes Objekt wird auf einer Seite von der Sonne aufgeheizt, auf der anderen ist es in eisiger Kälte eingefroren, ich habe eine Kraftquelle, die sich bei Rotation verformt...

Dann ist die Frage, wie sehr Raumflüge billiger werden, wenn ich Nuklearantriebe habe. Würde ich mein Gepäck per Aufzug oder Wendeltreppe in den Orbit schaffen, wären Reibung und Erschütterungen kein Problem, ich müsste weniger robust bauen. Doch für so langsame Schiffchen wäre der Energieaufwand kosmisch. Vermutlich würde man eine terrestrische Energieversorgung brauchen, mit Mikrowellen, Lasern, klingt nach Zukunftsmusik aus sehr weiter Ferne. Wenn ich aber ein paar rotierende Gravitations-Dynamos oder gigantische Solapanelmühlen (wegen Solarwind müssten die wahrscheinlich auch rotieren, außer ich schicke die irgendwie auf Rundflüge, damit sie Energie ernten und heim bringen) im All habe, können die die Stromversorgung übernehmen. Und nebenbei den Kreml rösten, das würde die internationale Zusammenarbeit fördern, auch in der Raumfahrt, und damit wiederum Kosten drücken.

Energiespeicherung ist eine andere Frage. Wenn ich einen Regenschirm an die Sonne parke, wird er Richtung Outer Space beschleunigen und Energie aufsammeln, die er in der Finsternis gut gebrauchen kann, aber ich kann das Ding wohl schwer eine Million mechanische Armbanduhren aufziehen lassen, oder? Es sei denn, es wäre in der Lage, sie sich aus kosmischem Staub selbst zu basteln...

Irgendwie ist hier alles Origami, das sich entfaltet. Ideen, die halbgar, halb unabhängig voneinander, evolviert sind, Keime, die vor sich hinträumen, bis sie auf fruchtbaren Boden stoßen. Dann kommt eine Kettenreaktion in Gange, Netzwerke bilden sich, Schaltkreise entstehen, sie verknüpfen sich, als hätten sie schon immer zusammengehört. Denken Sie in 4D: Jede Idee ein Strich in der Zeit, jede sammelt andere Ideen, entwickelt sich, verzweigt und vernetzt, aber alles bleibt ein Märchen, bis die kritische Masse überschritten ist. Dann – Big Bang, plötzlich ist alles da, was man braucht, man muss nur noch an den Bugs feilen und puzzeln. Das Biest füttern und gießen und die Tumore platzen lassen, die es von Innen auffressen wollen, man bekommt eine Explosion, einen Klumpen wachsende Masse, die alles auffrisst, was ihr im Wege steht, die lernt, neue Ressourcen zu verdauen – also immer heißer wird. Ob das auf meine Weise geschieht, oder auf eine andere – wenn die Menschheit nicht krepiert, fliegt sie ins All. Schicksal ist etwas, das sich nie hat vermeiden können.