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Vielen Dank, Frau Bischoff, für diesen sehr schönen und vor allem sehr einfach verständlichen Artikel zum Auswahlaxiom (Axiom of Choice, AC). Ich finde das Beispiel von den runden Kuchen beim Bäcker, die in ununterscheidbare Stück geschnitten sind, sehr elegant, um das Dilemma der exakt zu definierenden Auswahlregel zu illustrieren. (Auch wenn es technisch gesehen nicht ganz stimmt: Das Problem des AC ist die Verzagtheit bei unendlichen Mengen.)
Ich habe nur ein paar kleine Anmerkungen zum Artikel:

1. Die Aussage "Aus diesem Grund hat sich das Auswahlaxiom in der »Mainstream-Mathematik« durchgesetzt." ist fast schon zu schwach. Das AC gilt in der modernen Mathematik. Viele Erkenntnisse der Mathematik und abgeleitete Errungenschaften der Naturwissenschaften würde es ohne das AC nicht geben. Man kann Mathematik ohne AC betreiben, aber es ist in etwa so, als ob man Biologie betreibt, ohne an die Evolutionstehorie zu glauben.

2. Die Nicht-Messbarkeit der Vitali-Mengen ist keine Schwäche des AC, sondern die Schwäche der Vorstellung, \R^3 würde den real existierenden Raum eins-zu-eins modellieren. Beliebige Teilmengen (also Elemente der Potenzmenge) von \R^3 sind nicht mit unserer Vorstellung von Raum deckungsgleich, daher wirkt Banach-Tarski nur für uns Menschen paradox. In der Mathematik hilft man sich damit aus, dass man statt der Potenzmenge die Borelmenge von \R^3 anschaut, was sehr elegant und, auf den zweiten Blick, der intuitiven Vorstellung von Maß sehr viel näher kommt als die Potenzmenge.

3. Der mit dem AC äquivalente Wohlordnungssatz ist nicht ganz so absurd, wie er im Artikel erscheint. Dass das offene Intervall (0;1) kein minimales Element bezüglich der allgemein bekannten Ordnung "<" hat, ist auch in der Mathematik mit AC bekannt. Der Wohlordnungssatz sagt nur aus, dass man eine andere Ordnung definieren *kann*, nach der auch (0;1) ein minimales Element hat. Zugegeben, die Tatsache, dass man so eine Ordnung noch nicht "gefunden" hat, spricht natürlich nicht für das AC.

4. Die u. a. von der Annahme des AC abhängige Tatsache, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, ist der Satz von Hamel, vom Dürener Mathematiker Georg Hamel. Der Satz von Hamel ist eines der wichtigsten Korollare des Lemmas von Zorn, vom Krefelder Mathematiker Max August Zorn. Zorn musste 1933 vor den Nazis in die USA fliehen und war dann unter anderem in Yale tätig.

Schließlich möchte noch einmal für diesen brillianten Artikel danken.

Moin,

Wenn die mittlere Zahl als a gewählt wird, dann ergibt sich daraus
(a-1)*(a+1) für das Produkt der äußeren Zahlen. Durch Anwendung der dritten Binomischen Formel erhält man a^2 - 1^2 = a^2 - 1.

Hiermit lässt sich dann auch zeigen, dass für die weiteren Nachbarn (a±2,3,…) entsprende Beziehungen gelten.

Hallo Herr Eder.

Die Aussage gilt sogar für komplexe Zahlen. Gut sieht man das anhand der 3. binomischen Formel:

(a – b) ∙ (a + b) = a² – b²
mit
b = 1

Gruß, Sebastian

Sie kriegen halt kreisförmige Randstücke, wo die Mitte fehlt. Damit das nicht möglich ist, müssen Sie Randstück präziser definieren, und dann sind wir schnell bei: Wenn Gott allmächtig ist, kann er einen so schweren Stein schaffen, dass er selbst ihn nicht hochheben kann ?

Kann er, wenn Sie die Möglichkeit hinzuziehen, dass er nicht den Regeln der Kausalität unterliegt, die er schafft. Kann er also einen so schweren Stein schaffen, ohne die uns bekannten Regeln der Kausalität zu brechen? Und so weiter: Ganz egal, wie Sie das Allmachts-Axiom verteidigen wollen, es wurde bereits dadurch widerlegt, dass es auf ein Universum bezogen ist, in dem Realität durch Ausschluss von Alternativen definiert wird – durch einen fortdauernden Auswahlprozess von Möglichkeiten, einen Wettbewerb, bei denen nur dem Sieger ein Moment der physischen Existenz winkt, und alle anderen verfallen. Wenn Sie eine Auswahl treffen wollen, müssen Sie also die Koordinaten bestimmen – wann und wo gilt sie, und für wen?

Wenn Sie in einem Universum leben, in dem nur eckige Torten existieren, können Sie keinen Bezug zu einem Universum herstellen, in dem sie rund sind. Falls Sie in einem Komposit-Universum leben, in dem sich beide Bezugssysteme überlagern, müssen Sie sie auch beide parallel verwenden. Es ist eine Frage des Werkzeugs – Sie können sich ein Universum denken, in dem Sie bloß Subtrahieren brauchen, aber wenn Sie die Mathe auch auf 1+3 anwenden, kommt -2 raus. Sie können Randstück und Keilstück mit demselben Messer herausschneiden, aber nicht mit derselben Logik aussuchen. Wenn Sie Kuchen und Tee mit demselben Werkzeug essen wollen, nehmen Sie ja auch einen Löffel und keinen Strohhalm.

Mathe ist relativ, beschreibt also die Welt in Bezug auf einen Beobachter. Wenn Sie das einfach ignorieren, haben Sie zum Beispiel das Problem des Zoom-Faktors: Beim Heranzoomen zerfällt jedes Objekt in kleinere Objekte, beim Herauszoomen verschmilzt es mit ihnen zu einem Objekt.

Wieder hilft ein Blick auf die Realität: Der kleinste Baustein des Universums ist das Teilchen. Es kann nicht weiter unterteilt werden, wenn Sie es halbieren, haben Sie nicht ein Teilchen, sondern zwei. Sie haben seine Masse, Größe halbiert, also Werte, die immer von Teilchenschwärmen gebildet werden. Schon die Grundrechenarten sagen Ihnen, dass Dividieren und Multiplizieren das Gleiche sind. Wie lange muss man Mathe studieren, bis man zu genial ist, um die Grundrechenarten eines Blickes zu würdigen?

Dass Punkte relativ sind, sagt Ihnen schon der Heisenberg des Alltags: Jeder Bus, der an Ihnen vorbei fährt, befindet sich an mehreren Orten gleichzeitig, aber nirgendwo so richtig, bis Sie sich als Beobachter genau synchron mit ihm bewegen. Auch in der Zeit ist Napoleon ein Zeitpunkt oder eine Lebensspanne, abhängig vom Zoom-Faktor, und wenn sich beide Zeitpunkte überlagern, gilt auch hier die Unschärfe. Nördlich, südlich von Bielefeld ist ein Koordinatensystem, aber Nanometer sind hier als Messeinheit ziemlich nutzlos. Plancksche Zeit heißt, dass da mehrere Ereignisse zu einem zusammenfallen, aber das bedeutet nur, dass sie alle zusammen die Mindest-Energiemenge entfalten, um als Pixel unseres Universums zu existieren – wie viele Myriaden Ereignisse über Äonen zusammenkommen müssen, damit das zufällig ausnahmsweise mal passiert, weiß ich nicht, aber für die Quantenwelt sind wir Galaxien, und die Zeitdilatation dürfte entsprechend sein.

Das Bezugssystem des Beobachters macht Objekte zu Mengen, Punkte zu Linien, Richtungen zu Räumen, Festes zu Unbestimmten, Endliches zu Unendlichem, und umgekehrt. Mathe gilt immer nur in einem bestimmten Bezugssystem, und wenn Sie unbeabsichtigt zwischen den Bezugssystemen wechseln, fliegen Ihnen unter Umständen alle Axiome um die Ohren.

Sie befinden sich in einem dynamischen, sich stets neu zusammensetzenden Fraktal. Wenn die Mathe nicht damit fertig wird, ist das deren Problem, und nicht das des Fraktals.

Noch offensichtlicher wird es, wenn man von der mittleren Zahl ausgeht, dann hat man nämlich die dritte binomische Formel: (n-1)*(n+1)=n^2-1

Die Mathematik ist nicht am Ende, liebe Manon. Die Physik sucht währenddessen nach der Weltformel - mit Hilfe der Mathematik! Heißt das nicht, dass die Physik warten muss?

Und ich dachte schon, dass es sich um einen Spezial Fall der binomischen Formel (a+b) (a-b) = a² - b²

aber danke lach ich wohl falsch ;-)

Anderer Lösungsansatz mit der mittleren Zahl als Basis:
(a-1)*(a+1) = a^2 - 1
Das ist die dritte binomische Formel, also... :)

Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

Viele Grüße
Arnold Nipper, arnold@nipper.de

Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

Viele Grüße
Arnold Nipper, arnold@nipper.de

Vielen Dank für viele nette mathematische Rätsel, die helfen, Im Kopf ein wenig fit zu bleiben!
Vielleicht darf ich folgendes anmerken: Wenn in der Beweisführung die drei benachbarten Zahlen nicht mit a, a+1, a+2 umschrieben werden, sondern mit a-1, a, a+1, führt das Produkt der beiden Nachbarzahlen sehr schnell zur 3. binomischen Formel: (a+b)*(a-b) = a*a - b*b (mir fehlt hier die Möglichkeit, Quadratzahlen/Potenzen zu schreiben) => (für b=1) a*a - 1. Was zu beweisen war.
Zugleich zeigt dies ganz allgemein für alle anderen Zahlen-Triple, die in gleichem Abstand aufeinander folgen, dass das Produkt der beiden äußeren Zahlen um das Quadrat ihres Abstandes zur mittleren Zahl kleiner ist als das Quadrat der mittleren Zahl: a*a - b*b

Die Regel gilt für sämtliche Zahlen. Dahinter steckt die dritte Binomische Formel. Nennt man die mittlere Zahl b, dann gilt immer: (b-1)(b+1)=b^2-1. Die Regel ist nicht auf natürliche Zahlen oder ganze Zahlen beschränkt.

In dem Fall ist a = n unb b = 1
(n - 1).(n + 1) = n^2 - 1

(5 - 1).(5 + 1) = 5^2 - 1

VG
Benoit

Mir hat Ihr Artikel über das Auswahlaxiom gut gefallen. Über folgende Sätze bin ich aber etwas gestolpert. Es geht um die Menge (0,1): "Laut Wohlordnungssatz hat diese Menge ein kleinstes Element – aber welches? Was ist die kleinste Zahl, die größer ist als 0? Darauf gibt es in der Standardmathematik keine Antwort"
Beim Wohlordnungssatz geht es aber darum, die Menge anders zu ordnen als vielleicht vorher, und bezüglich dieser (neuen) Ordnung hat dann jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element, also auch die Menge selbst. Man könnte sich hier zum Beispiel ein beliebiges Element x aus (0,1) aussuchen, die Menge (0,1) ohne x wohlordnen und dann x < y für alle y in (0,1) ohne x definieren. Das gibt dann eine Wohlordnung auf (0,1), und x ist bezüglich dieser Ordnung das kleinste Element von (0,1).
So etwas ähnliches können Sie aber auch ohne Wohlordnungssatz erreichen: Wir setzen die übliche Ordnung auf (0,1) ohne x zu einer Ordnung auf (0,1) so fort, dass x < y für alle y in (0,1) ohne x definiert wird. Das gibt dann eine neue Ordnung auf (0,1) bezüglich derer x das kleinste Element ist. Anders als bei der Wohlordnung oben gibt es dann aber kein nächstgrößeres Element von x, weil es in (0,1) ohne x kein kleinstes Element gibt ( bei der Wohlordnung oben schon).

Die Betonung und Schwierigkeit beim Wohlordnungssatz liegt also darin, dass nicht nur die Menge selbst, sondern dass jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

Es gibt ja weitere Axiomsysteme wie z.B. Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG), New Foundations (NF),
Scottsches Axiomensystem, ...

Wenn man die Beschreibbarkeit der Welt durch Mathematik betrachtet, dann sind scheinen Axiomsysteme in gewisserweise eine vergleichbare Stellung zu haben wie die Naturgesetze.

Mich würde interessieren, ob
- es Untersuchungen darüber gibt ob die verschiedenen Axiomsysteme in Bezug auf die Beschreibbarkeit der Welt gleich mächtig sind,
- eine Fundierung der Axiomsysteme in der Natur möglich ist.

Ein Beitrag zu diesem Thema wäre interessant.

Mit freundlichen Grüßen --- Peter Zwiauer