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Guten Tag,
ich bin etwas einfacher vorgegangen.
Wenn eine Fläche jeweils in Länge und Breite verdoppelt wird, vervierfacht sie sich.
Um die Fläche zu verdoppeln, muss man folglich Länge und Breite mit Wurzel-zwei multiplizieren.
Oder umgekehrt ausgedrückt, um eine Fläche zu halbieren, muss man Länge und Breite durch Wurzel-zwei dividieren.
In der gegebenen Aufgabe geht es ja genau darum, die Fläche auf die Hälfte reduzieren.
Also teile ich die Seitenlänge (8 cm) durch Wurzel-zwei und komme auf das Ergebnis 4x Wurzel-zwei.

Der Skalenfaktor x/a wirkt sich quadriert auf die Fläche D=2A aus, d.h. A=(x/a)^2 * D=(x/a)^2 * 2A. Daraus folgt 2x^2=a^2, d.h. x=a/sqrt(2)=4*sqrt(2)=5,656...

Zunächst einmal erscheint mir die 2-malige Angabe eines gleichseitigen Dreiecks nicht erforderlich zu sein. Hier genügt die schwächere Bedingung der Gleichschenkligkeit.
Die beiden Dreiecke mit Grundlinie x bzw. a sind zueinander ähnlich und nach der Angabe verhalten sich ihre Flächeninhalte wie 1:2. Der Streckungsfaktor ist x:a = x:8. Das Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke ist das Quadrat des Streckungsfaktors.
Also ist (x/8)² = x² / 8² = 1/2 und damit x² = 32, woraus sich das Ergebnis x=4 sqrt(2) ergibt.

Eine Besonderheit der Zahl 1/e, die ich als Schüler beim Herumspielen mit dem Taschenrechner entdeckt habe: 1/e ist die Zahl, die mit sich selbst potenziert ein minimales Ergebnis gibt. Also 1/e hoch 1/e < x hoch x für alle positiven reellen Zahlen

Aus der Ähnlichkeit der Flächen D und A und aus D = 2A ergibt sich, dass alle Längen in A um den Faktor 1/√2 kürzer sein müssen. Daher x = 8/√2 = 5,66

Sehr geehrter Herr Eder,

die Lösung lässt sich schneller finden, wenn man berücksichtigt, dass sich x zu a verhält, wie neue Höhe zu alter Höhe. Da sich die Fläche halbieren muss, müssen sowohl a als auch die alte Höhe durch Wurzel 2 dividiert werden. x = 8/Wurzel 2= 4*wurzel2
Beste Grüße
Thorsten Titzmann

Ich habe die Aufgabe in 6 Zeilen gelöst.
Leider kann man hier keine Anlagen hochladen.
Der Lösungsansatz berechnet die Flächen des Dreiecks und des Trapezes in Abhängigkeit von x und setzt beide gleich. Da beim Trapez der Term tan 60° = Wurzel(3) vorkommt und Wurzel(3) auch beim Dreieck vorkommt, hebt sich beim Gleichsetzen vieles auf, was die Berechnung sehr einfach macht.

Was für eine ungeeignete Strategie für eine Auswahl. Wenn die ersten 37% der "Testobjekte" sowieso abgelehnt werden - gleich welche "Qualifikation/Eigenschaften" sie besitzen und soweit man das (als eine Art von Übersicht!) überhaupt selbst (Bias!) neutral beurteilen kann -, lohnt es sich eben nicht (Effizienz!), diese überhaupt zu "interviewen/untersuchen". Heraus kommt für einen - nenne wir es "Personaler" - praktisch, dass man eine Zufallsauswahl von 37% der Gesamtheit verwirft und nur die folgenden 4 bis 5 der Zufallauswahl der Reihe nach (!) "interviewt/untersucht". Wie dämlich!

Das obere gleichseitigen Dreieck ist ähnlich zu dem gesamten gleichseitigen Dreieck (trivial da alle Winkel gleich). Damit sind die Verhältnisse aller Seitenlängen gleich und das Verhältnis der Flächen ist das Quadrat dieses Verhältnisses. Da die Flächen im Verhältnis 1:2 stehen, ist die Seitenlänge im Verhältnis 1:√2. Somit ist x = 8/√2 = 4√2. Als Konsequenz ergibt sich dasselbe Ergebnis auch wenn das Dreieck nur gleichschenklig ist.

Eine interessante Sache, in deren Zusammenhang mir e begegnet ist, ist das was ich laienhaft als "optimalen Faktor" bezeichne. Als mathematikaffiner Schüler vertrieb ich mir die Zeit, indem ich verschiedenste Zahlen meiner Umwelt analysierte und in Verbindung setze. Dabei kann ich irgendwann - soweit ich mich erinnere etwa in der siebten Klasse - auf die Frage, wie das größtmögliche Produkt erreicht werden kann, wenn wenn man eine beliebige Zahl in beliebig viele kleinere Zahlen teilt und diese dann als Faktoren miteinander multipliziert.
Beispielsweise ließe sich die Zahl 12 in 6; 4 und 2 zerlegen, deren Produkt 48 ergibt.
Schnell erkannte ich, dass das größtmögliche Produkt entstünde, wenn alle Faktoren gleich groß sind, da dies meiner damaligen Beobachtung zu Flächeninhalten und Volumina aus der Geometrie entsprach. (Wie ich später lernte entspricht diese andere Beobachtung meinerseits zumindest in der Fläche der dritten binomischen Formel.)
Es ergäbe sich für 12 also beispielsweise eine Aufteilung in 4; 4 und 4. Deren Produkt ist mir 64 auch größer als die 48 aus meinen vorherigen Beispiel.
Nach etwas herumprobieren entdeckte ich, das ich mit dem Zerlegen in Einzelteile, die nahe der Zahl 3 sind, größere Produkte erhielt. Also mit 3; 3; 3 und 3 kam ich auf das Produkt 81.
Durch einiges herumprobieren stellte ich fest, das mit einem Faktor von 2,8 sogar noch größere Produkte erreicht wurden.
Leider traute ich mich nie, meine Mathematiklehrerin nach meinen Beobachtung zu fragen und so verließ mich irgendwann das Interesse daran. Als im Unterricht später erst die eulersche Zahl e und dann auch Grenzwerte behandelt wurden, hatte ich das ganze schon so sehr vergessen, dass ich nicht daran dachte, hiermit die Faktoren noch optimieren zu können.
Erst viele Jahre später machte es in meinem Kopf klick und ich stellte meine Beobachtung als Frage ins Internet und äußerte meine Vermutung, dass tatsächlich e der optimale Faktor sein könnte. Ein freundlicher Zeitgenosse stellte tatsächlich etwas wie eine Art Beweis auf, dass der optimale Faktor ist. Leider kann ich den Beweis nicht in Gänze nachvollziehen, da sich mein Lebensweg beruflich zu einem anderen Feld entwickelt hat, aber ich glaube der Person einfach mal und freue mich über die späte Lösung meines Kindheitsmathematikrätsels.

Erstaunlich, daß in einem solchen Artikel ein derartig hanebüchener Fehler enthalten ist:
Frosch und Läufer starten, ich bitte Sie darum, gleichzeitig!!
Sie zerstören ja jedwege Physik...
Und die Eulersche Zahl ist nicht die eulersche Zahl, sie ist und bleibt die Eulersche Zahl!
Kopfschüttel...

Ansatz :
x1² + 900 = r²
x2² + 1600 = r²
( x2 - x1 )² + 70² = 98²
Lösung :
x2 = 68,586 - abs(x1)
x1 = - 39,40
x2 = 29,19
r = 49,52

Lieber Hans-Karl Eder, deutscher Mathematiker und Pädagoge,

Ich (Gideon Barth 20 Jahre alt) zerbreche mir gerade den Kopf um halb 4 in der Nacht weil ich gerade nix besseres zu tun habe. Und kann Ihnen sagen, dass in Ihrem Rätsel wohl ein Fehler unterlaufen ist:

Die 2. Aussage wird nicht eingehalten. „Kein Paar befindet sich auf beiden Hauptdiagonalen“.
Die Lösung besagt, dass die Schlüssel sich im Eck oben rechts befindet und 3. Reihe 3. Spalte. Diese legen jedoch beide auf der Hauptdiagonale.

Ach und mir fällt gerade auf, dass die Regel auch die blauen Busse brechen.
Entweder ist die 2.regel schlecht formuliert oder da ist ein Fehler drin.

Betrachtet man nur den rechten Halbkreis mit M = Ursprung,
ergibt sich folgendes Gleichungssystem :
x1 + x2 = 7
x1² + 9 = r² = x2² + 16
Lösung :
x1² + 9 = ( 7 - x1 )² +16
x1 = -4
x2 = 3
r = 5

Nach langer Zeit habe ich einen Algorithmus für Primzahlen gefunden ...Man beginnt bei der Zahl 13 und addiert folgendes:
+4+2+4+2+4. Ist 17,19,23,25,29
+6+2+6 ist 35, 37,43
+4+2+4+2+4.....+6+2+6.....immer im Wechsel,
anschließend sind die 25 und 35 (5er Zahlen) zu streichen, aber schneller und einfacher wie das Sieb des Eratosthenes!!! Das Collatz Problem hat mich darauf gebracht, das alles Teilungen stets in Primzahlen enden, also Quadrate immer konstant im Zahlensystem existieren. Alle Primzahlen sind durch addieren der 1 irgendwann (spätestens nach dem 6. Mal ) in die Zahlenfamilie der 2er /4er und damit Quadrate änderbar. Bitte lassen Sie es prüfen.