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Aus "abc"=5abc folgt wie oben c=5. Dann ist die rechte Seite durch 5c=25 teilbar. Es folgt "bc"=25 oder "bc"=75, d.h. b=2 oder b=7. Für b=2 hat "a25"=50a die negative Lösung a=-1/2. Für b=7 hat "a75"=175a die Lösung 1. Ergo "abc"=175.
Bem: Gemeint ist mit "abc" die Dezimaldarstellung der Zahl 100a+10b+c, mit abc das Produkt a*b*c.

Gerne lese ich Ihre Buchbesprechungen und habe daraufhin schon einige Werke erstanden. Manchmal sind leider offensichtlich fehlerhafte Inhalte zu bemängeln. Fügt man einem Kreisumfang eine Einheit hinzu, so erhöht sich der Durchmesser um 1/Pi. Bei einem Meter also um etwa 32 cm. Wie man beim Erdumfang auf 121m kommt ist mir schleierhaft.
Exponenten erkennt das Texterfassungssystem häufig nicht. Es ist ratsam die Exponentialschreibweise, also z.B. 1E40 für 10 hoch 40 zu verwenden.

In der Lösung sehe ich bei vielen Bildern nur eine graue Fläche. So scheint beispielsweise der Link https://static.spektrum.de/fm/912/f2000/719_muen29.gif nicht zu funktionieren.

George Gamow war in der Tat ein hervorragender Wissenschaftler. Es wäre aber sicherlich besser gewesen, wenn er und sein Kollege Stern für seine Besuche die Treppe genutzt hätten !

Es war ABC/5 = A x B x C gefordert, und 175/5=1*7*5.
Mit der Ziffer 0 dürfte es nur die Lösung ABC = 000 geben, aber ist das eine gültige Lösung?

Wie sich zeigen lässt, gibt es für jedes k >= 6*6*6 zumindest eine Möglichkeit, einen Würfel in k kleinere Würfel zu zerschneiden, indem man einen Würfel in 6*6*6 kleinere Würfel zerteilt, und dann einige Blöcke von 3*3*3 Würfel wieder zu einem Würfel zusammenfasst bzw. einzelne Würfel wieder in 2*2*2 Würfel zerteilt.
Es wäre vielleicht interessant, ab welcher Zahl k eine Zerteilung in k Würfel prinzipiell möglich ist.

aber 1 * 7 * 5 ist 35 und nicht 175.
Es gibt keine Lösung.

1. Zuerst wird geschrieben, dass die Borwein Integrale (zumindest die jeweils Folgenglieder ersten bis zur Abweichung) nun den Wert pi/2 haben. Dieses ist richtig¹, sofern man eben den Integrationsbereich von 0 bis unendlich betrachtet. Weiter unten im Artikel (Nach Überschrift bzgl. dem Bauchgefühl) steht dann aber, dass der Wert der Integrale nun pi wäre, wobei dieses für den Integrationsbereich von 0 bis unendlich nicht richtig ist, nur bei Betrachtung des Integrationsbereichs von minus-unendlich bis unendlich ergibt sich dann der Wert pi für das Integral (wobei die jeweils zu integrierende Funktion gerade ist, da u.a. sinus(x) und 1/x jeweils ungerade Funktionen sind und das Produkt von ungeraden Funktionen nun gerade ist...). Es wird allerdings so sein, dass nun bei der Betrachtung der "Random-Walks" jeweils der Integrationsbereich von minus unendlich bis unendlich betrachtet wurde (im anderen Falle wären nur Intervalle mit 0 oder positiven Werten für die Intervallenden betrachtet worden).

2. Es werden im Artikel dann doch durchaus diskrete (bzw. endliche) Wahrscheinlichkeitsräume mit kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen beliebig vertauscht, obwohl hier doch gewisse Unterschiede bestehen. D.h. z.B. bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen (bzw. diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen mit abzählbarer Menge von Elementarereignissen) kann man eigentlich nicht so einfach schreiben, dass einem einzelnen Punkt (Elementarereignis) nun ein gewisser Wert als Wahrscheinlichkeit direkt zugeordnet wird (dass Maß eines einzelnen Punktes in einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum ist 0)².
Bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen ist eine solche Zuordnung dagegen einfach möglich (und auch korrekt).
Ich hoffe, dass die beiden Physiker in Ihrer Arbeit nicht genauso ungenau bzgl. der Begrifflichkeit waren (aber dann traue ich Physikern dabei ziemlich viel bzgl. Ungenauigkeiten zu³).

Ansonsten erinnert mich der Artikel auch wieder an eine Vorlesung in Numerik II, wobei ich aufgrund meiner Erinnerungen dann doch nicht sicher bin, dass nun wirklich die beiden Physiker (2019) als erstes auf die Beziehung der Borwein-Integrale mit Random-Walks gekommen sind - es ist allerdings auch so, dass durchaus nicht alle Professoren, welche Lehrveranstaltungen leiten, dann gewisse Dinge auch später in irgendwelchen Journalen veröffentlichen.

ps. @Wolfgang Stegemann:
Beschäftigen Sie sich doch etwas mit evolutionären Algorithmen und betrachten dann dabei auch, dass die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dann nicht unbedingt jeweils die Gleichverteilung sein muss. Sicherlich kann man in einigen Fällen bei solchen evolutionären Algorithmen dann auch so etwas wie Random-Walks finden.

¹) Wobei die Berechnung der Integralwerte nur jeweils für das erste Folgenglied (mit der zu integrierenden Funktion sin(x)/x ) vergleichsweise einfach ist (bzw. als Bekannt angekommen werden kann).

²) Genauso wie der Wert eines Integrals, bei dem der Träger (Integrationsbereich) nun nur ein einzelner Punkt ist, nun jeweils 0 ist, jedenfalls sofern man eben nicht solche Funktionen wie die Dirac-Funktion betrachtet ;-).

³) Ich muss mir dazu immer wieder nur eine bekannte Theorie anschauen, welche als gültig angesehen wird, aber bei der die Theorie, als mathematische Theorie betrachtet, dann ein paar kleinere Inkonsistenzen aufweist (welche aber Physiker bis heute nicht erkannt haben). Eine weitere Erklärung hierzu werde ich nicht abgeben, da ich nicht vorhabe dafür zu sorgen, dass hier irgendwer dann später mit meiner Hilfe (ohne dass ich davon selbst irgendeinen Vorteil hätte), dafür dann später irgendwelche wissenschaftliche Lorbeeren erntet.

Liebe Qadira,
lieber Rätseltexter,
Es ist doch immer ganz hilfreich, korrekt und fehlerfrei zu schreiben. Gerade bei Rätseln. UMSO leichter verständlich ist das Rätsel dann für die Ratenden. Herzlichen Gruß

Zitat von https://www.spektrum.de/rezension/buchkritik-zu-der-mensch-und-das-biest/1994155?utm_medium=newsletter&utm_source=sdw-nl&utm_campaign=sdw-nl-buchrezensionen:

"Die lange Geschichte startet bereits vor 100 Millionen Jahren mit einem friedlichen Nebeneinander, bis der Mensch mit der Domestizierung von Tieren beginnt und Nutztiere teilweise durch Gewalt in sein Leben einbindet."

Ein Kommentar erübrigt sich. Vor 100 Millionen Jahren lebten viele Dinosaurier, aber noch keine Menschen, so dass jedenfalls die eine Hälfte (?) des friedlichen Miteinanders fehlte. Das ist ein einigermaßen grotesker Fehler um einen Faktor von tausend. Gibt es bei Buchkritiken keine Redaktion?

Mit besten Grüßen und gelegentlichem Dank für Ihre ansonsten großartige Redaktionsarbeit, die mein Leben fast täglich bereichert

Das Rätsel istvspannend und die Lösung kann ich bis zum Cosinussatz nachvollziehen. Auch das Aufstellen der Gleichung ist plausibel.
Ich versuche, die Formel nachzuvollziehen die Schritte sind mir aber zu gross und es gelingt mir nicht, die Gleichung nach r aufzulösen. Könnten Sie einen detaillierteren Rechenweg angeben? Danke

Vielleicht lässt sich durch die Borwein Integrale die Evolution erklären. Nicht zufällige, willkürliche Mutationen im Genom durch Kopierfehler tragen zur Entstehung von Varianten bei, sondern die Grenzen, an die der Random-Walk stößt, und diese Grenzen werden gebildet durch die epigenetisch vermittelte Umwelt.

Oh Gottchen, hier spiegelt sich so viel Leben...

Der Krug geht so lange zum Brunnen, bis er bricht. Wir machen jeden Tag das Gleiche, werden trotzdem älter und irgendwann sind wir tot. Wir können Gläser stapeln, bis das Ganze unterm eigenen Gewicht zusammenbricht. Eine wachsende Geldmenge macht uns reicher und kurbelt die Wirtschaft an, doch irgendwann fängt sie an, uns ärmer zu machen und die Wirtschaft zu ruinieren, ob wir sie nun als Inflation wahrnehmen oder als kosmische Gewinne an den Börsen verbuchen. Silicon Valley sponsert hundert Projekte, 99 scheitern, doch das 100te hat Erfolg und macht den Verlust mehr als wett. Generell muss man tausend Mal scheitern, um einmal Erfolg zu haben – was wiederum dazu führt, dass uns die Kosten-Nutzen-Rechnung irgendwann umbringt, weil wir irgendwann den Dreh raus zu haben glauben, Versuch und Irrtum sein lassen und die Erfolgsrezepte wiederholen, die Erfolg wie Scheitern kumulieren, Ressourcen verbrauchen, die Geschwindigkeit wächst linear, die Masse der Fehler, die mitgetragen werden müssen und andere Fehler erzeugen, wächst exponentiell, bis dem Erfolg der Saft ausgeht und er das Scheitern nicht mehr aufwiegen kann. Schauen Sie sich all die Stringtheorien an, die auf dem vorschnellen Fehlschluss basieren, in der Quantenphysik würden Zauberfeen herrschen, wie viele Leute verschwenden ihr Leben damit? Wie viele Karrieren, Hoffnungen und Träume werden zerbrechen, wenn die tönernen Füße den Koloss nicht mehr tragen können?

Unbegrenztes Wachstum trifft auf begrenzte Ressourcen. Ein sichtbares Muster kumuliert einen unsichtbaren Effekt – voneinander abhängige Muster überlagern sich also. Goldlöckchenzonen, Planetenumläufe, die in 4D Spiralen sind, Wiederholungsmuster und lineare Muster, Kraft und Gegenkraft, Wellenmuster, Entropie, Kipppunkte, Fraktalmuster, die unendlich wachsen, doch aus endlichen Mustern bestehen, die aussehen, als hätten sie auch versucht, ins Unendliche zu wachsen, Parabelflug, Evolution, die zu Staats-Amöben führt, die auf dem Niveau von Einzellern neu anfangen, Hochmut kommt vor dem Fall, alles stirbt, all die Muster, aus denen das Universum besteht, folgen in groben Zügen...

...dem Muster, das Sie beschreiben: Muster wiederholen sich, aber nicht in die Unendlichkeit hinein. Bis auf die grundlegenden, die von den Physikern entziffert werden. Irgendwann geht halt allem der Saft aus, oder es stößt sich das Köpfchen an Grenzen, für die sein Saft nicht ausreicht. Nur das Universum als Ganzes hat unendlich viel Saft: Masse und Energie verschwinden ja nie, werden nur ineinander umgewandelt. So baut man sich ein Perpetuum mobile: Ein geschlossenes System, das kein Draußen hat, in das Energie entfliehen könnte.

Hier wird’s total abstrakt: Soweit ich es verstanden zu haben glaube, hat Einstein ein Gleichheitszeichen vergessen: Masse=Energie, Raum=Zeit, doch eigentlich kann alles in alles umgewandelt werden: Masse=Energie=Raum=Zeit. Das heißt, ein Perpetuum mobile ist ein System, das sich die Ewigkeit und Unendlichkeit selbst schafft. Zumindest meine Vorstellungskraft stößt hier an ihre Grenzen, schließlich kann ich ein solches System nicht von A u ß e n beobachten, nur von Innen, einen objektiven Standpunkt gibt es nicht, ich kann mich nur als Teil davon mitbetrachten, ohne den Beobachter als Teil des Systems ergibt das System keinen Sinn. Scheint aber wahr zu sein.

Als Hobby-Weltuntergangsprophet und Schisser, der es nicht schafft, so komplett auf seine eigene Existenz zu pfeifen, wie er es gerne hätte, finde ich derzeit eine Frage spannend: Bislang haben wir immer größere Weltuntergänge veranstaltet, immer nach dem gleichen Schema F. Doch wir haben diese Weltuntergänge auch studiert, die Mechanismen und Muster immer besser verstanden – auch hier ist ein Wachstum zu beobachten. Ich kann nicht wissen, ob ich diese Muster ausreichend verstanden habe, doch es ist zu einfach und offensichtlich, um falsch zu sein, und bislang läuft alles nach Plan. Ich posaune es in die Welt hinaus, wo immer ich nur kann, weil ich ein alter Sack bin, der keine neue Platte mehr aufgelegt kriegt – mein persönliches Wiederholungsmuster kurz vorm Kollaps. Reicht unser Wissen aus, um es diesmal aufzuhalten? Um den Tod zu überspringen und gleich mit der Wiedergeburt zu beginnen? Oder sind wir noch nicht so weit und es klappt erst beim nächsten Versuch?

Nennt man Evolution. Oder Versuch und Irrtum. Irgendwann ist immer eine Schwelle überschritten, und das Spiel geht von vorne los, in einer anderen Liga. Ist aber immer das gleiche Spiel, nur unsere Position im System ändert sich.

Alternative 1 und Alternative 2 haben dieselbe Lösung

Wie sich zeigen lässt, entsprechen die Lösungen den vielleicht einfachen Gleichungen -2x+z=5 und x+y+z=12 (wobei x, y und z natürliche Zahlen sind).
Wenn man 0 als Teil der natürlichen Zahl akzeptiert, gibt es noch eine dritte Lösung: x=0, y=7, z=5