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Hemmes mathematische Rätsel vom 25.12.2024 stellt die Frage: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?"
Und die Argumentation der Musterlösung klingt auf den ersten Blick schlüssig, auf den zweiten offenbaren sich jedoch Lücken:

So gibt es Paare, bei denen in der einen Zeichenkette Anna und Britta gleich viele "Kopf"-Würfe haben, in der anderen aber zwangsläufig Anna einen "Kopf"-Wurf mehr gemacht haben muss. Untersuchen wir diesen Fall am Minimalbeispiel von 3 Würfen (2 Anna, 1 Britta):

ZZZ - KKK
KZZ - ZKK
ZKZ - KZK
ZZK - KKZ

Das sind alle 2^3 = 8 möglichen Zeichenkette und schreiben wir z.B. Anna die ersten beiden und Britta den letzten Wurf zu, hätten wir lediglich in einem der vier Paare den der Musterlösung entsprechenden Ausgleich.

In 3 Fällen haben Anna & Britta gleich oft "Kopf" geworfen (ZZZ, KZK, ZKK), in einem Fall hat Britta öfter "Kopf" geworfen (ZZK) und in ganzen 4 Fällen hat Anna häufiger "Kopf" geworfen (KKK, KZZ, ZKZ, KKZ).
Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 50%!

"Ja aber genau das sagt doch die Musterlösung!"
- Nein, tut sie nicht. Die Musterlösung behauptet, beide Frauen würden durchschnittlich gleich oft "Kopf" werfen, was falsch ist. Zudem wird behauptet, in jeder Paarung von Zeichenketten würde "einmal Anna häufiger und einmal Britta häufiger" Kopf werfen, was auch falsch ist.

Brittas Wahrscheinlichkeit, häufiger als Anna "Kopf" zu werfen, liegt nämlich nur bei 12,5%, die für ein Unentschieden dagegen bei 37,5%. Annas Chancen sind also besser. Bei 21 vs. 20 Würfen mögen die Chancen anders stehen, Anna wird jedoch mit Sicherheit weiter im Vorteil sein.

Die Aussage: „Von den beiden Folgen pro Paar wirft also immer einmal Anna häufiger und einmal Britta häufiger »Kopf«, unabhängig von a und b.“
dies gilt aber nicht, wenn a=b (dann ist die erste Folge gleichstand, und die zweite Folge wird Anna wieder gewinnen.) oder wenn a = b+1 (dann wirft Anna in der Ersten folge mehr Kopf und die zweite ist gleichstand.
Daher muss es heißen „Von den beiden Folgen pro Paar wirft also immer einmal Anna häufiger und einmal Britta häufiger ODER GLEICH OFT »Kopf«, unabhängig von a und b.“

Der Schluss bleibt trotzdem korrekt, da die Unterscheidung für die Frage, ob Anna häufiger Kopf geworfen hat, nicht relevant ist. Aber die Unterscheidung ist fürs Verständnis recht relevant, da dies einmal mehr werfen genau die Tatsache ausgleicht, dass Gleichstand eben hier Britta zugerechnet wird.

Es wird nicht der Fall berücksichtigt, dass beide gleich häufig Kopf werfen. Wenn a <= b, dann ist (21-a)> (20-b) und andersherum. Es werfen im Durchschnitt also nicht beide Frauen gleich häufig Kopf, sondern Anna häufiger, da sie ja auch einen Wurf mehr hat. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna häufiger Kopf wirft, bei 50% und damit gleich der Wahrscheinlichkeit, dass sie weniger oder gleich oft wie Britta Kopf wirft.

Guten Tag.
Die Lösung zu der Frage ist etwas mindboggling und sicherlich nicht richtig. Sie passt ja auch nicht zur Frage.
Die Frage war, wie wahrscheinlich ist es, dass A öfter Kopf wirft als B. Korrekte Antwort: 0,5.
Der letzte Satz der Lösung "Daher werfen im Durchschnitt beide Frauen gleich häufig »Kopf«" ist selbstverständlich falsch, da A ja einmal öfter wirft.
Richtig ist die Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass A öfter Kopf wirft als B ist genauso groß wie Wahrscheinlichkeit dass A höchstens so oft Kopf wirft wie B.

Wenn man den Zielwert s ="Anzahl der zu ergänzenden Zahlen" mit s = a+b einführt., dann erhält man etwa aus 108=6a+5b die Gleichung s=18+b/6. Der kleinste natürliche Wert für s ergibt sich dann zu 19 für b=6. Damit erhält man auch a=13.

Guten Tag, der Durchschnitt 10 kann mit mit nur 18 "Zutaten" erreicht werden: 18*4.

Die Antwort ist ein klares Jein.

Um es besser zu machen, müssen wir erst mal die Wahl haben, es besser zu machen, also ein Mindestmaß an Macht. Die erreichen wir (im Moment) durch die Bündelung großer Mengen von Ressourcen in Organismen namens Staaten. Ein ethischer Staat ist einerseits eine sehr hohe organisatorische Herausforderung, an der wir bislang kläglich scheitern, andererseits ist jeder ethische Staat einem unethischen Staat haushoch überlegen, wenn alle anderen Macht-Faktoren (Bevölkerung, Rohstoffe, Technologie usw.) etwa gleich sind.

Der einzelne Mensch verhält sich seinen Nachbarn, Freunden und Familie gegenüber deutlich ethischer als ein Staat gegenüber dem anderen. Warum? Weil er in einer ungleich komplexeren Umwelt lebt, das heißt, er muss mit viel mehr Reizen und Herausforderungen innerhalb seiner Gemeinschaft fertig werden, als ein Staat unter Staaten. Sie sehen also unterschiedliche Grade von Entwicklung auf verschiedenen Hierarchieebenen.

Das heißt, wenn wir uns weiterhin fleißig ermorden, wetteifern, Krieg führen, ausbeuten, versklaven, foltern, weiterhin vor keiner Grausamkeit zurückschrecken, während die Technologie, es zu tun, immer mächtiger wird, wird der Evolutionsdruck nur noch ethische Staaten übrig lassen – der Rest wird einfach nicht mithalten können und verrecken. Das heißt, weil wir Ungeheuer sind, lockt uns nicht das Zuckerbrot ins Paradies, aber hin peitschen könnten wir uns schon. Falls wir so lange überleben.

Macht ist übrigens relativ: Wie viel Gegenkraft Sie brauchen, entscheidet ja die Kraft, die auf Sie einwirkt. Wie Sie sehen, verhalten sich die Amerikaner, Deutschen, Ukrainer etwa gleich, weil es auch für Dummheit eine Untergrenze gibt, die man nicht unterschreiten kann. Da sie aber in verschiedenen Staaten, verschiedenen Welten leben, erzeugt gleiches Versagen völlig unterschiedliche Konsequenzen. Das bedeutet aber auch, dass die Amerikaner nach ihren Dummheiten immer das meiste Startkapital übrig haben, um sich zu erholen – wenn jede Dummheit ein Pfund Fleisch aus den Staats-Hintern reißt, sind den Amis währenddessen schon drei Pfund gewachsen, während sich die Ukrainer bereits 200 Gramm borgen müssen. Das gleiche Versagen kann also von den Amerikanern als Erfolg verkauft werden, während es in Deutschland schleichenden Niedergang bedeutet und in der Ukraine den Tod.

Das heißt, entweder bleibt der Rest der Welt dumm und wird nach und nach von den Amis unterworfen und ausgesaugt, oder er wird klüger – und damit ethischer – und kompensiert seine Standort-Nachteile damit. Wenn aber die Amis gewinnen, werden sie so mächtig, dass der Umweltdruck sie nicht mehr zu einem Mindestmaß ethischen Verhaltens zwingt – sie fangen an, sich gegenseitig aufzufressen, schwächen sich, zerfallen in kleine Gruppen, die sich auf einer niedrigeren Hierarchiestufe wiederfinden, wo eine andere Geografie, andere Ressourcenverteilung, andere Machtverhältnisse herrschen.

Das heißt, solange Sie keinen Staat mit einer extrem kompetenten und leistungsfähigen Organisation hinkriegen, wird sich ein jeder selbst zerstören. Jedes Paradies ist eine Lüge, bis auf das perfekte Paradies, und das perfekte Paradies ist nicht perfekt, denn man braucht genug Zoff und Frust, um die Anpassungsfähigkeit des Systems zu gewährleisten. Das ethische System strebt nach Gleichgewicht mit der Umgebung, also nach erfolgreicher Außenpolitik und Wirtschaft, nach innerem Gleichgewicht, also nach Gerechtigkeit, und erhält sich stets am Rande des Chaos, mit so viel Freiheit wie möglich und so wenigen Regeln wie möglich, es erhält sein Anpassungspotenzial durch Wettbewerb, Vielfalt und Toleranz, denn jeder Lifestyle und jedes Scheitern sind Petrischalen, die nach neuen Wegen forschen und Gedächtnis, das Dinge erhält, die man vielleicht irgendwann wieder gebrauchen kann.

Ethik ist Physik, dass Materie stets nach dem Guten strebt und nicht vom Bösen lassen kann, ist Teil des Programms – die Naturgesetze definieren ja, dass es Gutes und Böses gibt, was wir darunter in etwa verstehen, und wie wir darauf reagieren. Die ganze Evolution ist nur ein Versuch, der Hölle zu entkommen, die sie sich selber schafft, auf dem einzigen Pfad, der ihr offen steht. Wo Staaten heute sind, waren Einzeller schon vor Hunderten Millionen Jahren – jede Amöbe handelt intelligenter als Deutschland oder Amerika.

Doch die Grundlage des Systems bleibt das Teilchen namens Mensch. Wenn sich Menschen ethisch verhalten und von der Umwelt ethisch behandelt werden, hat das enorme Auswirkungen auf das Potenzial des Gesamtsystems. Andererseits sind Menschen nicht fähig, sich lange Zeit ethisch zu verhalten, wenn das System keinen Druck auf sie ausübt. Somit sind sowohl ein Faschismus, der den Staat über den Menschen stellt, wie auch ein Individualismus, der den Menschen über den Staat stellt, abzulehnen, da beides beiden Seiten Schaden zufügt.

Augenhöhe schafft Gleichgewicht. Sie beruht auf diesem Punkt zwischen Mond und Erde, wo sich die Macht umkehrt und die Gravitation des Schwächeren plötzlich stärker ist als die des Stärkeren. Ethik. Rechte. Respekt. Toleranz. All das erhält ein Kraftfeld aufrecht, das eine Gesellschaft sowohl zusammenhält, wie auch vorantreibt.

Und so weiter und so fort. Ja, wir sind zu Besserem fähig. Auch wenn's nur deswegen ist, dass wir uns nach und nach die Wahl des Schlechteren rauben. Evolution as usual, jede Stufe der Jakobsleiter bringt nur eine kurze Rast, einen Lohn zum Verprassen, erzeugt aber gleich auch die nächste. Und ganz egal, wie tief wir zurückfallen, in der Hölle bleiben können wir nicht. Tut zu sehr weh.

Dass die Energiewende nötig ist, kann niemand mit gesundem Verstand negieren. Aber leider betreiben Hr. Habecks Grüne diese eher polemisch als durchdacht, und das schadet der Entwicklung mehr als es nützt. Einige Beispiele:
1) Das "Heizungsgesetz" war getrieben von der Parole: "Raus aus fossilen Energien!". Wie soll der Bürger verstehen, dass er kein Erdgas mehr nutzen soll, während gleichzeitig der gleiche Minister den Ausbau einer LNG-Infrastruktur forciert? Unbestritten ist, dass Gas pro erzeugter Energieeinheit immer noch nur ca. 40% CO2 im Vergleich zu Kohle oder Biomasse freisetzt. Und die Vorräte reichen offenbar noch mehr als 100 Jahre. Aber wenn schon Erdgas, warum dann nicht wirtschaftlich sinnvoll aus einer Pipeline statt mit Schiffen?
2) Solarparks sind volkswirtschaftlich und ökologisch fragwürdig. Ein Solarpark mit etwa 100 MWp kann im Jahr etwa 100 GWh Energie liefern. Allerdings benötigt er dafür eine Fläche von etwa 80 bis 100 ha, was im Mittel etwa 120 Fußballfeldern entspricht. Allerdings ist die Energieausbeute im Winter nur etwa 20% im Vergleich zum Sommer. Was bedeutet das? Ein Solarpark dieser Größe liefert in einem Sommermonat etwa 15 GWh, in einem Wintermonat aber nur 3. Doch gerade im Winter wird eigentlich mehr Energie benötigt als im Sommer. Die Folge: Entweder braucht man fossile Kraftwerke, die vor allem im Winter auf Volllast arbeiten, oder importiert mehr Strom im Winter, der dann eher ebenfalls aus fossilen oder Kernkraftwerken kommt, oder aber man baut zusätzliche Windenergieanlagen. 3 Windräder mit etwa 200m Rotordurchmesser könnten genauso gut 100 GWh Energie liefern. Der Vorteil: Wind gibt es jahreszeitunabhängig. Der Flächenverbrauch wäre im Vergleich dazu minimal, die ökologische Beeinträchtigung wesentlich geringer. Um den Rückgang des Solarstroms im Winter mit grünem Strom auszugleichen, braucht man wenigstens 2 der 3 Windräder zusätzlich zum Solarpark. Das Problem: diese bleiben dann im Sommer stehen. Schon heute stehen an Sommertagen 3 von 4 Windrädern still. Und das makabre daran: Der Bürger bezahlt auch den nicht erzeugten Strom. Deshalb ist es sinnvoller, Gaskraftwerke zu bauen als eine Windradüberkapazität aufzubauen. Noch sinnvoller wäre es aber, PV-Anlagen auf Dächer und andere bebaute Flächen zu verbannen und die Flächen für extensive Landwirtschaft oder noch besser Biotope zu nutzen.
3) Eine der schlimmsten wissenschaftlichen Fehlleistungen ist die Nichtberücksichtigung der nativen Emissionen von Biomasse, insbesondere Holz, im Energie- und Gebäudesektor. Zwar wird der Verlust oder Zuwachs an Kohlenstoffvorrat im Wald durch den Landnutzungssektor erfasst, aber wieviel CO2 konkret in die Atmosphäre gelangt, wenn Kraftwerke mit Holzbrennstoffen betrieben werden, wird nicht erfasst, weil der Prozess „nachhaltig“ sei. Aber was ist daran nachhaltig, wenn ich einen Baum, der 100 Jahre lang gewachsen ist, und dabei 2 Tonnen CO2 aus der Kohleverbrennung aufgenommen hat, nun wieder verbrenne und dieses CO2 wieder freisetze? Und zwar in der Hoffnung, dass in 100 Jahren ein neuer Baum gewachsen ist und dabei abermals dieses CO2 aufgenommen hat? Der Umstand, dass dieses CO2, das schon einmal gebunden war, nun gerade jetzt unsere Atmosphäre erneut belastet, kann doch nicht ernsthaft als „klimaneutral“ schöngeredet werden. Denn auch nachwachsendes Holz soll ja eigentlich CO2 aus anderen Quellen binden statt aus einem walinternen Kreislauf. Zumal bei der Berücksichtigung im Landnutzungssektor Holz (Pellet)-importe gar nicht berücksichtigt werden. So können wir das Klima schön rechnen, während der weltweite Waldbestand immer weiter zurückgeht. Wenn Kohlekraftwerke durch Holzkraftwerke ersetzt werden, ist das eine klimapolitische Katastrophe. Wer kann sagen, wieviel CO2 durch Holzverbrennung in unsere Atmosphäre gelangt? Die Zahlen aus dem Landnutzungssektor nicht, und der Energiesektor wird schöngerechnet. Allein in Deutschland wurden zuletzt auf diese Weise jährlich mehr als 60 Millionen Tonnen CO2 freigesetzt, die man aber lieber dem Borkenkäfer unterschiebt.

Die Antwort auf die Frage ist Christoph. Christoph wird Zweiter im 100m Lauf. Andreas gewinnt in 4 Disziplinen und muss daher im Sperrwurf Zweiter werden. Damit wird Christoph in dieser Disziplin letzter und bekommt einen Punkt. Damit er auf 9 Punkte kommt muss er also in allen weiteren Disziplinen 2er werden, genauso wie Boris in allen anderen Disziplinen Letzter wird, um eben auch auf die 9 Punkte zu kommen.

Die Frage war, wer im Hundert Meterlauf 2. wird! Das Ist Christoph.

Die Frage lautet, wer zweiter beim 100 Meter Lauf wird. In der Antwort steht, dass Andreas den 100 Meter Lauf gewinnt. Das stimmt zwar, beantwortet aber nicht die Frage.
Da Andreas beim Speerwerfen zweiter wird, und Christoph in allen weiteren Disziplinen zweiter wird, wird Christoph auch beim 100 Meter Lauf zweiter.

Die Frage war nicht, wer den Lauf gewonnen hat, sondern wer 2. wird.
Das ist zwar auch klar, aber nicht angegeben.

Die Frage war ja, wer Zweiter beim 100-Meter-Lauf wird:

Andreas muss im Speerwurf Zweiter werden, da er nur einmal Zweiter wird und sonst immer Erster und Christoph Erster beim Speerwurf wird.

Alle weiteren zweiten Plätze entfallen auf Christoph, der somit auch Zweiter beim 100-Meter-Lauf wird.

Schönes Rätsel!

Geht einfacher. Höhe des Pyramidenstumpfs ist 6. Seitenlänge sind 4 und 2. Eine vollständige Pyramide hätte die Höhe 12. Daraus ergibt sich folgende Berechnung: (4*4*12-2*2*6)/3=56

Stimmt. Aber war gar nicht die Frage.
Gefragt war, wer Zweiter im 100-Meter-Lauf wird: dafür bleibt nur Christoph übrig.
Liest bei Spektrum eigentlich niemand Beiträge vor Veröffentlichung nochmals durch?