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Man legt jeweils die Hälfte der Münzen in die Waagschalen. Da die gefälschte dabei ist, ist eine Hälfte schwerer als die andere. Wir nehmen nun die schwerere (wir könnten auch die leichtere nehmen) und halbieren sie wieder.
Wieder kommt je eine Hälfte auf jede Waagschale. Sind beide gleich schwer, dann war die gefälschte Münze nicht in der schwereren Hälfte, sie muss also leichter sein. Ist eine der beiden jedoch schwerer als die andere, dann war die gefälschte Münze beim ersten Wiegen in der schwereren Hälfte, muss also schwerer sein.

Hallo. Ich habe einen alternativen Lösungsweg:

Man unterteilt die 16 Münzen in zwei gleich grosse Hälften zu 8 Münzen. Die kommen auf die Waage. Jetzt ist definitiv eine Seite leichter als die andere, weil die gefälschte Münze ein anderes Gewicht hat. Jetzt wird der schwerere Teil noch einmal halbiert und wieder auf die Waage gelegt. Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die falsche Münze zu leicht, ist die Waage nicht im Gleichgewicht, ist die falsche Münze zu schwer.

Mein Ansatz war folgender:
Wenn man die 16 Münzen in 2 x 8 teilt und einen Teil nochmals in 2x4 teilt und diese beiden wiegt, weiss man nach der 1.Wägung in welchem Teil mit 8 Münzen sich die gefälchte befindet(bei Gleichgewicht in den Ungewogenen,
sonst in den gerade gewogeben 8) Dann wiegt man die beiden gerade abgewogenen 2x4 Münzen gegen die ungewogenen 8 ab und sieht ob die gefälschte schwerer oder leichter ist

Ich denke, es gibt noch ein zweite (und symmetrische dritte) Lösung
1. Wiegung:
4 beliebige Münzen gegen 4 beliebiege Münzen
2. Wiegung 8 Münzen der ersten Wiegung gegen die 8 übrigen Münzen.
Ist die erste Wiegung in Waage, hat man für die zweite Wiegung 8 gewogene und echte Münzen als Referenz in einer Waagschale und 7 echte und 1 falsche Münze in der anderen Waagschale. Neigt sich die Waage mit der falschen Münze, ist sie zu schwer, sonst zu leicht.
Ist die erste Wiegung nicht in Waage, sind die 8 noch nicht gewogenen Münzen echt und die Referenz. Dann geht es analog.
Da man die erste und zweite Wiegung einfach vertauschen kann, hat man auch eine dritte Lösung.

Um es zu zeigen, dass die Vitali Menge nicht korrekt ist, nehme ich die Eigenschaft von der Dirichlet Funktion.
Die Funktion bildet jede irrationale Zahl in 0 und jede rationale in 1 ab. Statt unendlicher Zahlenmenge haben wir hier jetzt eine binäre Zahlenmenge.
Zwischen zwei rationalen Zahlen (1,1)gibt's immer eine irrationale(0). Und umgekehrt auch.
Binär ausgedrückt:
01010101....
Oder:
101010...
Sozusagen bildet die Dirichlet Funktion die überabzählbare Menge (irrationale) in eine gleichmäßig verteilte und abzählbare Menge ab.
Ist der Maß der abzählbaren Menge 0, dann ist der Maß der überabzählbaren Menge auch 0.
Folge: Durch die Digitalisierung geht die Grundeigenschaft (Kontinuierlichkeit) verloren. Folglich: Die Summe der Vitali Menge geht nicht in Unendlichkeit, sondern zu 1/2 als Maß. Denn wir haben zwei Werte (0,1), die gleichmäßig verteilt sind. 1/2 entspricht dem Radius der zugehörigen Menge. Die Oberfläche eines Kugeln: 4×r×r×π=π
Damit ist die π der Maß der rationalen und irrationalen Zahlen.

m. E. gibt es eine einfachere Lösung:
8 und 8 Münzen gegeneinander wiegen. Da die falsche Münze ein falsches Gewicht hat ist eine Seite schwerer als die andere.
Die schwereren 8 Münzen 4 zu 4 gegeneinander wiegen. sind beide 4-er Stapel gleich schwer, ist die falsche Münze im leichteren 8-er Stapel und somit leichter. Sind beide 4-er Stapel ungleich schwer, ist die falsche Münze schwerer und befindet sich im schwereren 4-er Stapel.

Meines Erachtens gibt es eine triviale Lösung für eine Anzahl von 4n Münzen: Man platziere 2n Münzen in jeder Wagschale. Eine davon wird sich heben, eine wird sich senken. Nun nehme man die Münzen in der schwereren Wagschale und wäge sie gegeneinander. Ist die Waage im Gleichgewicht, sind die jetzt gewogenen Münzen echt und die falsche war leichter. Ist die Waage nicht im Gleichgewicht, war die falsche Münze schwerer. Für die Fälle 4n+1, 4n+2 und 4n+3 (n > 0) gilt: Ist die Waage beim Wägen von 2x2n zufällig ausgewählten Münzen nicht im Gleichgewicht, fahre fort wie im Fall von 4n; die übrigen sind echt. Ist sie im Gleichgewicht, sind die 4n Münzen echt und man wäge 1/2/3 davon gegen die übrigen.

Mir fiel spontan ein, zunächst acht Münzen auf jede Seite zu legen. Dann vier Münzen von der schwereren Seite nehmen und in die geleerte andere Schale legen. Sind nun beide Seiten im Lot, ist die gefälschte Münze leichter, sind sie es nicht, ist sie schwerer.

Meine Lösung war wie folgt:
1. Man wiege je 8 Münzen gegeneinander auf.
2. Man nehme die schwerere Waagschale und teilt die dortigen acht Münzen in zwei Hälften. Diese wiegt man wieder gegeneinander auf.
2a. Sind die beiden Waagschalen im Gleichgewicht, war die gefälschte Münze beim ersten Wiegen im leichten Haufen. Die gefälschte Münze ist leichter.
2b. Sind die Waagschalen nicht im Gleichgewicht, ist die gefälschte Münze unter ihnen, also den schwereren acht. Die gefälschte Münze ist schwerer.

Ich verstehe die "Lösung" nicht ganz.
Die Fragestwllung war, ob dievgefälschte Münze leichter oder schwerer als eine echte ist.
Das lässt sich doch mit EINER Wägung heraufinden. Jeweils acht Münzen auf jede Seite der Waage.

Legen sie je 8 Münzen auf jede Seite.
Nehmen sie dann die Münzen der schwereren Seite und legen je 4 auf jede Seite der Waage für die 2. Wiegung.
Ist die Waage jetzt im Gleichgewicht, dann war die gefälschte Münze im leichteren Stapel der 1. Wiegung und deshalb leichter als die echten.
Ist Waage bei der 2. Wiegung im Ungleichgewicht, dann ist die gefälschte Münze in der schwereren Hälfte der 1. Wiegung gewesen und daher schwerer als die echten.

Vielleicht habe ich grad einen Denkfehler, aber kann man nicht zuerst auf beiden Seiten jeweils 8 Münzen wiegen? Dann von der schwereren Seite die Münzen zu jeweils 4 Münzen auf die Waage aufteilen. Bleibt die Waage im Gleichgewicht war die falsche Münze beim ersten wiegen auf der leichteren Seite und muss damit leichter sein. Ist auch beim 2. Wiegen der 8 Münzen die Waage im Ungleichgewicht war die falsche Münze beim ersten wiegen auf der schwereren Seite der Waage und muss damit schwerer sein als die anderen?

Einfach alle Münzen auf die Waagschalen aufteilen (8 und 8).
Die Waage wird in eine Richtung ausschlagen.
Dann die 8 Münzen, die schwerer waren, wegnehmen und die leichteren wiederum aufteilen.
Wenn jetzt erneut ein Ungleichgewicht gezeigt wird, ist die falsche Münze unter den leichteren 8 - sie ist also zu leicht.
Wenn sich aber bei dieser zweiten Wähung ein Gleichgewicht einstellt, muss die falsche Münze unter den 8 schwereren gewesen sein - sie ist also zu schwer.

Sehr geehrter Herr Freistetter,
die von Ihnen angegeben Beziehung zur Bestimmung der Endgeschwindigkeit eines fallenden Körpers ist nicht richtig. Wenn k der Reibungsbeiwert wäre, d.h. die Größe k ist dimensionslos (entsprechend dem Widerstandsbeiwert z.B. eines Autos), dann wäre die Geschwindigkeit die Wurzel aus einer Kraft, was nicht der Fall ist. Die Endgeschwindigkeit folgt aus der Bedingung, dass die Gewichtskraft gleich ist der Widerstandskraft ( = Widerstandsbeiwert cw * Luftdichte/2 * Geschwindigkeit**2 * Referenzfläche des fallenden Körpers). Entsprechend Ihrer Schreibweise hätte k dann den Wert: cw * Luftdichte/2 * Referenzfläche.

Sehr geehrte Frau Bischoff,
mir fehlt ein Argument, weshalb die Menge V positives Maß hat. Überabzählbarkeit erscheint mir in Gedanken an die Cantor-Menge als nicht hinreichend. Es wäre sehr freundlich, wenn Sie mir helfen könnten was ich hier übersehe.
Vielen Dank!