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Guten Tag,

Nach dem Lesen des Artikels zum Inspektionsparadoxon, den ich sehr spannend fand, frage ich mich, ob die mittlere Wartezeit auf einen Bus, der alle 10 Minuten fährt nicht korrekterweise 5 Minuten sein sollte. Meines Erachtens fehlt in der vorgerechneten Statistik der Fall, bei dem man zur Haltestelle kommt und 0 Min, also quasi nicht wartet. Dann teilt man die 55 Minuten durch 11 Beobachtungen anstatt durch 10. 5,5 Minuten beantwortet aus meiner Sicht eher die Frage "Wenn ich alle Menschen, die auf den Bus warten mussten, frage wie lange sie gewartet haben, was ist der Durchschnitt?". Um die Frage geht es meiner Ansicht nach aber nicht.

Mit freundlichen Grüßen
Dmitrij Hellmann

Danke schön für diesen schönen Beitrag über die Äpfel und Birnen in der Mathematik. Sehr oft unterschätzt man seine eigene Subjektivität beim Bewerten von Daten und Zahlen.

Mit freundlichen Grüßen
20 Bauarbeiter um ein 1qm Loch

Jetzt werden sogar schon Modelle aus der höheren Mathematik verwendet, um sich Verspätungen schön zu reden. Dabei ist die Grundanahme dieses Artikels fundamental falsch: der Öpnv ist kein quantenmechanisches System das Zufällen gehorcht, sondern streng deterministisch. Die Straßenbahn in Frankfurt kommt nicht zufällig verteilt an, sondern Verkehrsplaner des RMV legen Fahrpläne fest. Und Fahrgäste treffen nicht stochastisch verteilt an Bahnsteigen ein, sondern die allermeisten Fahrgäste informieren sich im Internet wann der Zug kommen soll und gehen kurz davor zum Bahnsteig. Warum die meisten länger warten ist dann extrem einfach (und man braucht nur einfachste Prozentrechnung): 40% (laut Bahn Angaben, 6 minuten Verspätung werden da nicht einmal eingerechnet) sind zu spät, also müssen 40% der Fahrgäste länger warten. Mit dem Inspektionsparadoxon hat dies alles nichts zu tun, schließlich müssen Fahrgäste in anderen Ländern wie der Schweiz trotz Inspektionsparadoxon nicht länger als erwartet warten.

Hallo Frau Bischoff,
erstmal vielen Dank für diese Reihe!
Ich glaube da ist ein Tippfehler:
"100·(10 + 9 + … + 2 + 1)/100 = 5,5 Minuten"
...es müsste vermutlich "10*(..." sein? (oben bei den 100 Personen die zum Bahnsteig gehen). Da es ja 10 Intervalle sind, mit je 10, 9, ... Minuten Wartezeit.
viele grüße
mb

Warum die Bahn immer zu spät kommt. Der Artikel erklärt zwar, warum dieses Gefühl entsteht, aber nicht die ungleichen Zeitabstände. Bei einem Busbetrieb könnte das folgenden Grund haben. Je länger die Abchnitte zwischen den Ankünften sind, desto mehr Passagiere steigen ein und desto grösser werden die Abschnitte. Das schaukelt sich dann auf, wenn z.B. bereits bei der ersten Station überdurchschnittlich viele Leute einsteigen. Aber wenn bei einer Bahn genug Zeit eingeplant ist, dann sollte dieses Phänomen keine Rolle spielen. Also was ist der Grund für die ungleichen Abstände?

Warum sind in der Schweiz ÖV-Verkehrseinheiten zu 98% punktlich ? Ignorieren die ihren Beitrag.? Ich lebe 15 Jahre in der Schweiz und fand die Punktlichkeit enormous und wenn dem mal nicht so war wurden die Wartenden innerhalb 3-4 Minuten zu dem betriebsbdingten Verzug/Ausfall und Grund informiert. Was sich die deutschen Betreiber zum Vorbild nehmen könnten. Also Mathematica ist keine Entschuldigung.

Hallo,

Die Bestimmung der durchschnittlichen Wartezeiten durch Bildung des arithmetischen Mittels der (durchgehend aufgerundeten!!) Wartezeiten in Minuten scheint mir nicht korrekt. Bei einem pünklichen Takt von 10 Minuten gibt es ja ein _Kontinnuum_ möglicher Wartezeiten aus dem Intervall [0, 10[. Und auf dem Zahlenstrahl liegt 5 genau in der Mitte zwischen 0 und 10 - und ist somit auch der Mittelwert.

Das wird auch deutlich, wenn man die Rechnung der Autorin genauer - mit Sekunden - durchführt, und alle natürlichen Zahlen zwischen 1 und 600 addiert. Das gibt (nach Gauß' Methode) 601 x 300 = 180300, und das arithmetische Mittel ist 180300 : 600 = 300,5.

Lediglich durch eine Verfeinerung des Rasters betrüge die durchschnittliche Wartezeit dann plötzlich 5 Minuten und eine halbe Sekunde. Und mit immer höherer Granularität konvergiert das Verfahren dann offensichtlich gegen 5.

Mit besten Grüßen,
Stefan Albertz

"Man zählt alle Gitterpunkte innerhalb des Vielecks (I), addiert die Hälfte aller Gitterpunkte (B), die dessen Rand kreuzen, und zieht eins davon ab: A = I + B/2 − 1"
Bei dieser Formulierung dreht sich mir der Magen um und es kommen mir Zweifel ob ich richtig versyanden habe.
Ich habe noch nie gehört, dass ein Punkt (hier Gitterpunkt) einen Rand (gemeint ist hier wohl die Randlinie des Vielecks) kreuzt.
Zwei Linien können sich kreuzen, weswegen ich erstmal versuche statt eines Gitterpunkts eine Gitterlinie mit dem Rand zu kreuzen, was aber zu Zweifeln führt ob jetzt horizontal oder vertikale gemeint sein sollten?
Warum schreibt man nicht einfach klar und deutlich 》... addiert die Hälfte aller Gitterpunkte (B), die auf dessen Rand liegen, und ...《
Wobei - und dies liegt nun aber nicht am Satz von Pick - es doch bei einigen Vielecken sehr auf die Zeichen- und Ablese-(un)genauigkeit des Ausführenden ankommt, zu erkennen ob ein Gitterpunkt zum Rand oder zum Inneren des Vielecks zu zählen ist?

Bei der Anwendung der pq-Formel hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Der goldene Schnitt entspricht (1+√5)/2, und nicht ½(1 + ½√5).

Die Lösung ist leider nicht korrekt, soweit ich sehe: Die Annahme, dass die Winkel gleich sind, ist nicht fundiert und wird auch nicht vorausgesetzt, wie auch die Illustration schon zeigt.

Ich möchte auf eine wichtige Konsequenz des Umstandes hinweisen, dass es nicht nur zwischen zwei reellen Zahlen immer wieder eine reelle gibt (und so ad infinitum), sondern auch zwischen zwei rationalen Zahlen immer wieder eine rationale.

Vielleicht nämlich ist man versucht, das kontraintuitive Moment der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (d.h.: Überabzählbarkeit als die Weise, in der die Menge der reellen Zahlen eine „größere“ Mächtigkeit besitzt als die der natürlichen, obwohl diese bereits eine unendliche Menge ist) durch Rekurs auf die Zahlengerade erklärend zu entschärfen – und zwar auf der Basis der Auffassung, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer wieder eine weitere reelle Zahl liegt, d.h. also, kurz gesagt, mit der Dichte der reellen Zahlen. Eine Dichte ist aber eben auch schon mit Bezug auf die rationalen Zahlen festzustellen, die jedoch gerade nicht überabzählbar, sondern abzählbar unendlich sind. Daraus ergibt sich, dass die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nicht durch Bezugnahme auf ihre Dichte auf der Zahlengerade intuitiv näherzubringen ist.

Nun könnte man auf die Idee kommen, eine Veranschaulichung herbeizuführen, indem man den Unterschied der Dichte der rationalen Zahlen von der der reellen genauer beschreibt – eine Möglichkeit, die z.B. durch eine Formulierung wie „ℚ liegt dicht in ℝ“ scheinbar nahegelegt wird. Dies kann jedoch ebenfalls fehlleiten: Dann nämlich, wenn man ohne weitere Erklärung behauptet, es gäbe zusätzlich zu den rationalen Zahlen noch weitere Zahlen (die irrationalen), dieser Sachverhalt bewirke gewissermaßen einen höheren Grad an „Dichte“ und dem „dichter“ des „Nebeneinanderliegens“ entspräche schließlich ein „Mehr“ an Zahlen. Die Anführungszeichen deuten schon das Problem an: Man läuft Gefahr, das Verhältnis zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen falsch zu interpretieren wie zuvor schon das zwischen den rationalen Zahlen und den natürlichen. Bereits hier führt die Intuition bekanntermaßen in die Irre, sofern man meint, es gäbe mehr rationale Zahlen als natürliche, da doch bei den ersteren noch die (echten) Brüche „dazukommen“. Das ist falsch, da ℚ und ℕ gleichmächtig sind. Die Intuition führt demnach 1. zu der falschen Vorstellung, es gäbe mehr rationale Zahlen als natürliche. Und sie kann 2. zu der falschen Auffassung führen, die reellen Zahlen seien in dem Sinne „dichter“ angeordnet als die rationalen, als es von ihnen „mehr“ gäbe als rationale: Das Verhältnis ist aber nicht das eines „Mehr“ im üblichen Sinne, d.h. so wie wir es im Zusammenhang mit endlichen Mengen kennen.

Die Idee der überabzählbaren Unendlichkeit als eine besondere Form eines „Mehr“ gegenüber der abzählbaren Unendlichkeit wartet weiterhin darauf, dass man ihr das kontraintuitive Moment und ihren begrifflichen Umschreibungen die Anführungszeichen nimmt.

Liebe Frau Bischoff,
vielen Dank für diesen sehr kurzweiligen und lesenswerten Artikel.
Allerdings ist mir aufgefallen, dass Ihre Berechnung der Anzahl der Nachbarn zu 20 · (49-3) · (49-4) · (49-5) = 1 821 600 gleich aus mehreren Gründen falsch ist.
1) Sie berücksichtigen nicht die Reihenfolge der drei zusätzlichen Zahlen. D.h. die Tupel {1,2,3,10,11,12} , {1,2,3,11,10,12} usw. zählen Sie alle mit.
2) Nachbarn mit 4 oder mehr gleichen Zahlen werden mehrfach gezählt als {1,2,3,4,x,y}, {1,2,4,3,x,y} usw.
Zusammengenommen wird das Tupel {1,2,3,4,5,6} in Ihrer Rechnung 120 Mal gezählt, obwohl es doch gar kein Nachbar von sich selbst sein kann.

Rechnet man etwas genauer, so gibt es:
Binom(6,3)*Binom(43,3)=246820 Nachbarn, die in genau drei Zahlen überein stimmen.
Binom(6,4)*Binom(43,2)=13545 Nachbarn, die in genau vier Zahlen überein stimmen.
Binom(6,5)*Binom(43,1)=258 Nachbarn, die in genau fünf Zahlen überein stimmen.
In Summe hat jeder Knoten also genau 260623 Nachbarn.
Wir können die Anzahl der erforderlichen Tipps also abschätzen: 13983816/(260623+1)=53.655
Die untere Grenze sind also 54 Tipps, um garantiert einen Dreier zu bekommen.

Danke für Ihren Beitrag, der aus mathematischer Sicht einiges Bedenkenswertes enthält, wenn auch der Erwerb von 700.000 Lottoscheinen für einen Gewinn von 700.000 (Pfund oder Dollar?) noch nicht einmal mathematisch überzeugt. Tun Sie aber sich selbst und Ihrer Leserschaft einen Gefallen: verzichten Sie auf "lohnenswert". Das Wort existiert nicht, auch wenn es sozusagen "schreib-historisch" nachgewiesen ist. Der ursprüngliche Gebrauch ging auf eine vermutbar vermeintliche Hörvertrautheit zurück. Es gibt "lobenswert" - dass aber etwas wert sei, sich zu lohnen, also des lohnens wert, ist semantisch ein tautologischer Knoten. Auch die erweiterte Herleitung: es sei wert, belohnt zu werden, überzeugt schon deshalb nicht, weil es dann "belohnenswert" hieße.

Irgendwie berücksichtigt diese Theorie nicht die tägliche Erfahrung, dass der erste, sichere, zunächst verschmähte Parkplatz beim zweiten Anfahren bereits von einem vorsichtigeren Verkehrsteilnehmer besetzt sein könnte.

Wir haben reelle Zahlen, hier können wir definieren, dass infinitesimal kleine Unterschiede vernach!ässigt werden. Dann ist 0,999...=1 als Grenzwert.
Robinson hat gezeigt, dass die reellen Zahlen dem Standardteil der hyperreellen Zahlen entsprechen. Unendlich und unendlich klein sind keine reellen Zahlen. Aber es gibt nichtreelle Zahlen, die infiniten und die infinitesimalen Zahlen. Eine infinitesimale Zahl hat einen Betrag, der kleiner ist als die kleinste positive reelle Zahl, er ist also infinitesimal größer als 0 oder 0. Es gibt also unendlich viele Hyperreelle Zahlen, die zwischen 0.999... und 1 liegen, und jeweils eine, die mit ihnen übereinstimmt. Als Hyperreelle Zahl ist 0,999... also kleiner als 1. Aber der Standardteil ist gleich.
Letztlich hängt die Lösung davon ab, wdlches Zahlenspiel ich spiele: reell bzw. rational, oder hyperreell oder vielleicht auch surreal.

Interressieren würden mich praktische Anwendungsmöglichkeiten der Einsteinparkettierung. Hut, Schildkröte und Gespenst.