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Bei der Positionsbeschreibung zu 1/3 sind ein bedingte und nicht bedingte Wahrscheinlichkeiten etwas durcheinander geraten. Gemeint ist doch wohl nicht P(M, Z) = P(M, K) = ½ sondern P(Z|M) = P(K|M) = ½. Allerdings würde der Ansatz zu 1/2 führen, kann auch nicht gemeint sein.
Einfach mal angewandte Experimentalmathematik leben, Dornröschenkostüm anziehen, auf die Couch legen und fröhlich Münzen schnippen. Es kommt etwa 1/3 raus, und zwar weil Dornröschen den Versuch bei Zahl einen zusätzlichen Tag erlebt. In ihrem Erleben wacht sie doppelt so häufig neben einer Münze auf, die Zahl zeigt. Es ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum mit zwei Ästen gleicher Wahrscheinlichkeit, dessen einer Ast aber doppelt so hoch gewichtet worden ist. Die Fragestellung zielt auf das gewichtete Ergebnis, also lautet die richtige Antwort 1/3. Wer auf 1/2 kommt, hat sich nicht in Dornröschen hinein versetzt, sondern schaut als ewig Wacher von außen zu, und wertet deshalb die Gewichtung der Äste im Wahrscheinlichkeitsbaum nicht aus. So wird im Aufgabentext aber nicht gefragt, und deshalb ist 1/2 die falsche Antwort. Die Verwirrung erscheint dem Textverständnis geschuldet.
Kann ich mir nicht vorstellen, denn die Antwort ist einfach. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit wird aus verschiedenenen Blickwinkeln gestellt, daher ist die Antwort bzw. Wahrscheinlichkeit auch abhängig von der Perspektive.
Aus Sicht von Dornröschen ist die Antwort klar 50%. Sie wacht auf, wirft eine Münze, und schläft wieder ein. Sie führt ein Einzelexperiment durch, völlig lösgelöst von den vorherigen Würfen, also ist aus ihrer Sicht die Wahrscheinlichkeit 50%. Siehe Kommentar #3.
Der Fragesteller jedoch meint bei der Frage (unausgesprochen) etwas anderes, denn er hat - wie beim bekannten Ziegenexperiment - die Information über die vorherigen Würfe. Wenn er Dornröschen nach der Wahrscheinlichkeit ihres Einzelwurfs fragt, dann fragt er eigentlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, *zum zweiten mal hintereinander* Zahl zu werfen? Wüßte dies Dornröschen, wäre ihre Antwort eine andere...
Das Problem ist also kein mathematisches, sondern ein sprachliches.
So wie es im Artikel geschildert wird, geht man das Problem falsch an. Zitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?" Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort. Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Folgende Anmerkung zum Extremfallbeispiel zwei (pro 1/2 -Fraktion): Im Beweis Adam Elga geht m.E. essentiell ein, dass die Münze symmetrisch ist: But your credence that the coin will land Heads (after learning that it is Monday) ought to be the same as the conditional credence P(H1|H1 or T1).So P(H1|H1or T1)=1/2,and hence P(H1)=P(T1). Wird die WS für den ersten Zweig (K, M) bzw. für K erhöht wird, dann vermindert sich die von T1 entsprechend bzw. ggf. ist WS für den zweiten Zweig dann geringer als für den ersten ! Zum Bespiel könnte ein Würfel statt einer Münze geworfen werden und und bei den Zahlen > 1 wird der erste Zweig durchlaufen und im Fall = 1 der Zweite; - dann ist die Wette auf Kopf beim aufwachen "gewonnen" ... .
Ich möchte der 1/2-Fraktion beim Dornröschen-Problem eine Wette anbieten: Bei jedem Wecken zahlt ihr mir 50€, bei Kopf gibt's von mir 110€. Nehmt ihr die Wette an? Können wir gerne jede Woche die nächsten Jahre spielen.
Der Trick bzw. die Schwierigkeit bei Sleeping Beauty ist vor allem eine sprachliche. Die Fragen "Was ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim Münzwurf?", "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht der Experimentator Kopf?" und "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht Dornröschen beim Wecken Kopf?" klingen ähnlich, sind aber verschieden.
Dornröschen müsste auf "Wie war die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet?" mit 1/2 antworten, auf die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt jetzt Kopf?" mit 1/3.
Was ist der Sinn des Experimenten? Die Beantwortung der Frage führt zur klaren Meinung. Der Sinn: Was ist die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs? (Hier wird Dornröschen ständig gefragt, wenn sie geweckt wurde. Es heißt: der Münzenwurf ist wichtig und wann sie geweckt wurde, ist es völlig egal.) Eine Münze hat drei Fläche. Also, die Wahrscheinlichkeit ist 1/3. Werden nur der Kopf oder die Zahl in Betracht gezogen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Wahrscheinlichkeit 1/3 sagt lediglich aus: beim Wurf gibt es drei Möglichkeiten. Aber, wie oft die Möglichkeiten ausfallen, dazu sagt nichts aus. Bei der 1/2 gilt das gleiche. Eine Folge des Münzenwurfs kann daher über die Wahrscheinlichkeit nichts aussagen. Da kann man nur spekulieren, aber mathematisch nichts sagen. Kurz gesagt: Die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs lässt sich durch Experimenten nicht bestätigen.
Nun, ein (fairer) Münzwurf hat immer die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Geschichte drum herum ist egal. Die Frage lautet: "Wie Wahrscheinlich ist es, das Kopf gefallen ist?" - Das ist, schlicht und ergreifend 1/2. Denn der Münzwurf hat nichts damit zu tun, an welchem Tag Dornröschen das gefragt wird, auch nicht in dem 1 Mio. mal Beispiel. Man neigt dazu, die Frage, "mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Montag / Dienstag?" beantworten zu wollen. Das Rätsel ist so clever formuliert, dass man einer Art Scheinkorrelation unterliegt (hat der Tag was mit dem Münzwurf zu tun? --> nein, natürlich nicht, ein Tag ändert nix an einem Münzwurf). Es gibt zwei Situationen, in denen Montag sein kann und nur eine, in der Dienstag sein kann. Damit beantwortet sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für den Tag mit 1/3, aber nicht die der Frage nach dem Wurfergebnis. Es ist sogar so, dass die 1/3 Wahrscheinlichkeit für den Tag nur zu Stande kommen kann, weil die Münzwahrscheinlichkeit 1/2 ist. Bsp: Man nehme einen Würfel und nur die 1 führt dazu, dass Dornröschen bis Dienstag schläft. Dann hätten wir 6 Möglichkeiten für Montag und eine für Dienstag. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Frage nach dem Tag, der Würfel hat weiter seine 1/6 Chance für eine bestimmte Möglichkeit. Die Tageswahrscheinlichkeit korreliert mit der Wahrscheinlichkeit für den Münzwurf (respektive Würfel). aber nicht umgekehrt. Das auslösende Ereignis muss unabhängig der Folgen betrachtet werden.
Ähnliche Rätsel gibt es z.B. mit der damaligen Gameshow "Geh aufs Ganze". Dort muss der Kandidat aus 3 Toren wählen. Hinter einem ist der Preis, hinter zweien die Niete. Er liegt also mit 2/3 Chance falsch, wenn er wählt. Nach der Wahl öffnet der Spielleiter ein nicht gewähltes Nietentor und fragt den Kandidaten dann, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder das Tor wechseln will. Es sind noch zwei Tore übrig, eine Niete und ein Preis. Man könnte annehmen, es sei egal, was der Spieler tut, die Chancen seien jetzt 50:50, da es eine Niete und einen Preis gibt. Die Annahme ist aber falsch. Der Spieler hat vorher mit 2/3 ein falsches Tor gewählt und das ist auch immer noch so, dass er mit 2/3 auf einem falschen liegt, er hat ja noch nicht gewechselt. Das Tor wird auch nicht richtiger, dadurch, dass der Spielleiter eine Information über ein anderes Tor teilt. Der Spieler sollte in der Konsequenz besser wechseln.
Das Dornröschen Rätsel funktioniert m.E. nach dem gleichen Prinzip. Der Anästhesist kann durch das Aufwecken und Fragen nichts dazu beisteuern, dass die Münze mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ein bestimmtes Ergebnis produziert hat. Er kann die Vergangenheit nicht ändern. Man kann ja schlecht ein vergangenes Ereignis mit Wissen über Folgeereignisse bewerten, welches erst danach zur Verfügung steht (was im Business gerne passiert um Menschen, für ihre Fehler verantwortlich zu machen...).
Die Möglichkeiten 8 als Produkt zu schreiben sind bekannterweise 1x8 und 2x4. Wenn man die Zahlenkombinationen für die Werte n-4 und m-4 einsetzt, kommt man auf n=5 & m =12, und n=6 und m=8
¹= vgl. erste zwei Sätze Musterlösung der Redaktion.
Ich stimme dem 4. Kommentar von Herrn Kraus, dass ein semantisches Missverständnis vorliegen kann, zu. Evtl. ist unklar, _welche_ Wahrscheinlichkeit gemeint ist. Ändert man die Frage an Dornröschen in eine Wette um ("Zeigt die Münze Kopf oder Zahl?") und setzt das Gewinnen der Wette als begehrenswert an, dann scheint es mir relativ eindeutig, dass Dornröschen immer Zahl antworten sollte. Für mich ist damit die Wahrscheinlichkeit von Zahl höher als von Kopf.
Der Extremfall beschreibt das ziemlich eindrucksvoll. Auch der zweite Extremfall ist m. E. kein Argument für das Halb-Lager. Er ist (durch die kleinere Wiederholungsanzahl) zwar deutlich weniger extrem als der erste. Da die Wahrscheinlichkeit von Raabs Sieg schwer bestimmbar ist, würde ich sie durch ein ähnliches Ereignis ersetzen: Einen Sechser bei einem Würfelwurf (16,7%.) Das Experiment ist nun also: Es wird gewürfelt, bei 1-5 wird Dornröschen einmal geweckt, bei Sechs 30 mal. Immer, wenn Dornröschen geweckt wird, wird sie in meiner Abwandlung nicht gefragt "Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Würfel 6?", sondern "Welche Zahl zeigt der Würfel?" Möchte man es wieder auf ein binäres Ereignis runterbrechen, kann man gerne fragen "Zeigt der Würfel größer 5?" Bei n Durchläufen des Experiments ist in 5/6 aller Würfe keine Sechs gefallen (hat in 9/10 aller Runden Halmich gewonnen.) Die Gesamtanzahl an Fragestellungen an Dornröschen beträgt 5/6*n (9n/10 bei Halmich)+30n/6 (bzw. 30n/10) = 35n/6. In 30/35=6/7 der gestellten Fragen liegt eine Sechs.
Man kann die Extremfälle übrigens noch extremer machen, indem das arme Dornröschen nach Kopf 0-mal geweckt wird und nach Zahl zweimal. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit von 1/2, dass das Ergebnis des Münzwurfs Kopf ist? Nein. Es ändert aber etwas an der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass "die Münze Kopf zeigt, unter der Voraussetzung dass Dornröschen geweckt wird". Die wird nämlich damit direkt zu 0 festgesetzt.
Einiges wurde in den bisherigen Beiträgen ja schon geschrieben. Ich bemerke deshalb nur: a) zum Zeitpunkt der Fragestellung an Dornröschen steht das Ergebnis des Zufallsexperiment schon fest, wobei die a-priori Wahrscheinlichkeit vor dem Münzwurf für Zahl (bzw. Kopf) jeweils 1/2 ist (d.h. sofern wir ausschließen, dass die Münze auf dem Rand landen kann), b) man kann für Ereignisse (z.B. Zufallsereignisse), nachdem diese eingetreten sind, nun ein Wert 1 und für Ereignisse, die nicht mehr eintreten können, dem entsprechend den Wert 0 vergeben, gewissermaßen als 1 für eine wahre Aussage und 0 für eine falsche Aussage, die Antwort auf die Frage würde dann entweder 0 oder 1 lauten müssen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%, dass die Antwort dann richtig wäre, abhängig vom Ergebnis des vorher ausgeführten Münzwurfes ;-) ), c) die drei Ereignisse (M,K), (M,Z) und (D,Z) sind in dem Gedankenexperiment (ohne Modifikation des Gedankenexperiments, dass die Münze z.B. erst am Montag nach dem aufwecken von Dornröschen geworfen wird) nach dem Münzwurf als deterministisch anzusehen, d.h. welche Ereignisse eintreten sind eindeutig durch den Ausgang des Zufallexperiments (Münzwurf) bestimmt, bei Modifikation des Gedankenexperiments, so dass die Münze erst nach dem Aufwachen von Dornröschen am Montag geworfen wird, wäre dann immernoch zumindest das Ereignis (D,Z) als deterministisch anzusehen, welches genau dann eintritt, falls am Montag dann der Münzwurf auf Zahl landen sollte, d) es handelt sich hier um einen "klassischen Fall" bei dem zwei Zufallsereignisse, welche eigentlich gleichwahrscheinlich (und disjunkt) sind, so mit "Schnickschnack" versehen werden, dass eine Person - subjektiv für sich (und ohne das Ergebnis/Ausgang des Zufallsexperiment zu kennen) - möglichst eines der Zufallsereignisse (a-posteriori) für "wahrscheinlicher" hält (obwohl es keine zusätzlichen Informationen gibt, welche nun abhängig vom Ergebnis des eigentlichen Zufallsexperiment unterschiedlich wären, wodurch nämlich dann durchaus eine Modifikation der Wahrscheinlichkeit gerechtfertigt wäre).
ps. Um zwischen den Stühlen zu sitzen, würde ich als "Dornröschen" auf die Frage entweder mit 0 oder mit 1 antworten, wobei ich für die Auswahl der Antwort - nach dem aufwecken - eine faire Münze werfen würde (womit meine Antwort am Montag und Dienstag unterschiedlich sein könnte, sofern ich als Dornröschen auch am Dienstag geweckt werden würde) - wobei ich, sofern die Münze (welche ich als Dornröschen werfen würde, um meine Antwort zu bestimmen) auf dem Rand landen sollte, antworten würde, dass es sich um kein "well posed problem" handeln würde (und man doch bitte eine etwas andere Frage stellen sollte, z.B. wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine faire Münze auf "Kopf" bei einem fairen Münzwurf landen würde).
pps. Vor allem Philosophen (d.h. Nicht-Mathematiker) scheinen hier die Meinung 1/3 (für die Wahrscheinlichkeit) zu vertreten.
Ich sehe es so: Das Dornröschen-Problem suggeriert eine gewisse Ähnlichkeit zum Ziegenproblem, das ebenso Streitpotential besitzt. Der Unterschied ist aber, dass beim Ziegenproblem im Verlauf der Ereignisse noch eine Zusatzinformation dazukommt, die in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einfließt. Das ist hier wegen der Gnade des Vergessens nicht der Fall. Daher bleibt die Wahrscheinlichkeit, Kopf bzw. Zahl geworfen zu haben, idealisiert 50 %, egal, wie oft man die Frage nach dem Wurf stellt. Ich stimme daher für 1/2.
Bedingte W'keit ist P(Z|M), nicht P(M, Z)
10.04.2023, Martin FehndrichGemeint ist doch wohl nicht P(M, Z) = P(M, K) = ½ sondern P(Z|M) = P(K|M) = ½. Allerdings würde der Ansatz zu 1/2 führen, kann auch nicht gemeint sein.
1:2
10.04.2023, ChrisRätsel mit Eder
10.04.2023, FranzWahrscheinlichkeitsbaum mit gewichteten Ergebnissen
10.04.2023, Fritz ReichmannEs ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum mit zwei Ästen gleicher Wahrscheinlichkeit, dessen einer Ast aber doppelt so hoch gewichtet worden ist. Die Fragestellung zielt auf das gewichtete Ergebnis, also lautet die richtige Antwort 1/3.
Wer auf 1/2 kommt, hat sich nicht in Dornröschen hinein versetzt, sondern schaut als ewig Wacher von außen zu, und wertet deshalb die Gewichtung der Äste im Wahrscheinlichkeitsbaum nicht aus. So wird im Aufgabentext aber nicht gefragt, und deshalb ist 1/2 die falsche Antwort.
Die Verwirrung erscheint dem Textverständnis geschuldet.
Warum streiten Experten darüber 20 Jahre lang?
09.04.2023, MichaelWAus Sicht von Dornröschen ist die Antwort klar 50%. Sie wacht auf, wirft eine Münze, und schläft wieder ein. Sie führt ein Einzelexperiment durch, völlig lösgelöst von den vorherigen Würfen, also ist aus ihrer Sicht die Wahrscheinlichkeit 50%. Siehe Kommentar #3.
Der Fragesteller jedoch meint bei der Frage (unausgesprochen) etwas anderes, denn er hat - wie beim bekannten Ziegenexperiment - die Information über die vorherigen Würfe. Wenn er Dornröschen nach der Wahrscheinlichkeit ihres Einzelwurfs fragt, dann fragt er eigentlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, *zum zweiten mal hintereinander* Zahl zu werfen? Wüßte dies Dornröschen, wäre ihre Antwort eine andere...
Das Problem ist also kein mathematisches, sondern ein sprachliches.
falsche Herangehensweise
09.04.2023, JürgenZitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?"
Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort.
Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Anmerkung zum Extremfallbeispiel
09.04.2023, Dr. Joachim KuceraIm Beweis Adam Elga geht m.E. essentiell ein, dass die Münze symmetrisch ist:
But your credence that the coin will land Heads (after learning that it is Monday) ought to be the same as the conditional credence P(H1|H1 or T1).So P(H1|H1or T1)=1/2,and hence P(H1)=P(T1).
Wird die WS für den ersten Zweig (K, M) bzw. für K erhöht wird, dann vermindert sich die von T1 entsprechend bzw. ggf. ist WS für den zweiten Zweig dann geringer als für den ersten ! Zum Bespiel könnte ein Würfel statt einer Münze geworfen werden und und bei den Zahlen > 1 wird der erste Zweig durchlaufen und im Fall = 1 der Zweite; - dann ist die Wette auf Kopf beim aufwachen "gewonnen" ... .
Wette für die "halver" beim Dornröschen-Problem
09.04.2023, ThomasDer Trick bzw. die Schwierigkeit bei Sleeping Beauty ist vor allem eine sprachliche. Die Fragen "Was ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim Münzwurf?", "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht der Experimentator Kopf?" und "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht Dornröschen beim Wecken Kopf?" klingen ähnlich, sind aber verschieden.
Dornröschen müsste auf "Wie war die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet?" mit 1/2 antworten, auf die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt jetzt Kopf?" mit 1/3.
Klare Meinung zur Wahrscheinlichkeit
09.04.2023, Otto MarkusDer Sinn: Was ist die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs? (Hier wird Dornröschen ständig gefragt, wenn sie geweckt wurde. Es heißt: der Münzenwurf ist wichtig und wann sie geweckt wurde, ist es völlig egal.)
Eine Münze hat drei Fläche. Also, die Wahrscheinlichkeit ist 1/3.
Werden nur der Kopf oder die Zahl in Betracht gezogen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit 1/3 sagt lediglich aus: beim Wurf gibt es drei Möglichkeiten. Aber, wie oft die Möglichkeiten ausfallen, dazu sagt nichts aus. Bei der 1/2 gilt das gleiche.
Eine Folge des Münzenwurfs kann daher über die Wahrscheinlichkeit nichts aussagen. Da kann man nur spekulieren, aber mathematisch nichts sagen.
Kurz gesagt: Die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs lässt sich durch Experimenten nicht bestätigen.
Scheinkorrelation?
09.04.2023, Sebastian Pospiechich bin Verfechter der Antwort 1/2! Warum?
Nun, ein (fairer) Münzwurf hat immer die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Geschichte drum herum ist egal. Die Frage lautet: "Wie Wahrscheinlich ist es, das Kopf gefallen ist?" - Das ist, schlicht und ergreifend 1/2. Denn der Münzwurf hat nichts damit zu tun, an welchem Tag Dornröschen das gefragt wird, auch nicht in dem 1 Mio. mal Beispiel. Man neigt dazu, die Frage, "mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Montag / Dienstag?" beantworten zu wollen.
Das Rätsel ist so clever formuliert, dass man einer Art Scheinkorrelation unterliegt (hat der Tag was mit dem Münzwurf zu tun? --> nein, natürlich nicht, ein Tag ändert nix an einem Münzwurf).
Es gibt zwei Situationen, in denen Montag sein kann und nur eine, in der Dienstag sein kann. Damit beantwortet sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für den Tag mit 1/3, aber nicht die der Frage nach dem Wurfergebnis. Es ist sogar so, dass die 1/3 Wahrscheinlichkeit für den Tag nur zu Stande kommen kann, weil die Münzwahrscheinlichkeit 1/2 ist. Bsp: Man nehme einen Würfel und nur die 1 führt dazu, dass Dornröschen bis Dienstag schläft. Dann hätten wir 6 Möglichkeiten für Montag und eine für Dienstag. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Frage nach dem Tag, der Würfel hat weiter seine 1/6 Chance für eine bestimmte Möglichkeit. Die Tageswahrscheinlichkeit korreliert mit der Wahrscheinlichkeit für den Münzwurf (respektive Würfel). aber nicht umgekehrt. Das auslösende Ereignis muss unabhängig der Folgen betrachtet werden.
Ähnliche Rätsel gibt es z.B. mit der damaligen Gameshow "Geh aufs Ganze". Dort muss der Kandidat aus 3 Toren wählen. Hinter einem ist der Preis, hinter zweien die Niete. Er liegt also mit 2/3 Chance falsch, wenn er wählt. Nach der Wahl öffnet der Spielleiter ein nicht gewähltes Nietentor und fragt den Kandidaten dann, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder das Tor wechseln will. Es sind noch zwei Tore übrig, eine Niete und ein Preis. Man könnte annehmen, es sei egal, was der Spieler tut, die Chancen seien jetzt 50:50, da es eine Niete und einen Preis gibt. Die Annahme ist aber falsch. Der Spieler hat vorher mit 2/3 ein falsches Tor gewählt und das ist auch immer noch so, dass er mit 2/3 auf einem falschen liegt, er hat ja noch nicht gewechselt. Das Tor wird auch nicht richtiger, dadurch, dass der Spielleiter eine Information über ein anderes Tor teilt. Der Spieler sollte in der Konsequenz besser wechseln.
Das Dornröschen Rätsel funktioniert m.E. nach dem gleichen Prinzip. Der Anästhesist kann durch das Aufwecken und Fragen nichts dazu beisteuern, dass die Münze mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ein bestimmtes Ergebnis produziert hat. Er kann die Vergangenheit nicht ändern. Man kann ja schlecht ein vergangenes Ereignis mit Wissen über Folgeereignisse bewerten, welches erst danach zur Verfügung steht (was im Business gerne passiert um Menschen, für ihre Fehler verantwortlich zu machen...).
Lange Rede, kurzer Sinn: 1/2 ! :)
LG
Sebastian
Alternativer Lösungsweg
09.04.2023, Patrick Sabrowski2(n-2)(m-2)=nm¹ | Klammern auflösen
2nm -4n -4m +8=nm | +8-nm
nm -4n -4m +16= 8 | Klammern setzen
(n-4)(m-4)=8
Die Möglichkeiten 8 als Produkt zu schreiben sind bekannterweise 1x8 und 2x4. Wenn man die Zahlenkombinationen für die Werte n-4 und m-4 einsetzt, kommt man auf n=5 & m =12, und n=6 und m=8
¹= vgl. erste zwei Sätze Musterlösung der Redaktion.
Perspektive
09.04.2023, Peter WittlingerÄndert man die Frage an Dornröschen in eine Wette um ("Zeigt die Münze Kopf oder Zahl?") und setzt das Gewinnen der Wette als begehrenswert an, dann scheint es mir relativ eindeutig, dass Dornröschen immer Zahl antworten sollte.
Für mich ist damit die Wahrscheinlichkeit von Zahl höher als von Kopf.
Der Extremfall beschreibt das ziemlich eindrucksvoll.
Auch der zweite Extremfall ist m. E. kein Argument für das Halb-Lager. Er ist (durch die kleinere Wiederholungsanzahl) zwar deutlich weniger extrem als der erste.
Da die Wahrscheinlichkeit von Raabs Sieg schwer bestimmbar ist, würde ich sie durch ein ähnliches Ereignis ersetzen: Einen Sechser bei einem Würfelwurf (16,7%.) Das Experiment ist nun also: Es wird gewürfelt, bei 1-5 wird Dornröschen einmal geweckt, bei Sechs 30 mal.
Immer, wenn Dornröschen geweckt wird, wird sie in meiner Abwandlung nicht gefragt "Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Würfel 6?", sondern "Welche Zahl zeigt der Würfel?" Möchte man es wieder auf ein binäres Ereignis runterbrechen, kann man gerne fragen "Zeigt der Würfel größer 5?"
Bei n Durchläufen des Experiments ist in 5/6 aller Würfe keine Sechs gefallen (hat in 9/10 aller Runden Halmich gewonnen.) Die Gesamtanzahl an Fragestellungen an Dornröschen beträgt 5/6*n (9n/10 bei Halmich)+30n/6 (bzw. 30n/10) = 35n/6. In 30/35=6/7 der gestellten Fragen liegt eine Sechs.
Man kann die Extremfälle übrigens noch extremer machen, indem das arme Dornröschen nach Kopf 0-mal geweckt wird und nach Zahl zweimal. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit von 1/2, dass das Ergebnis des Münzwurfs Kopf ist? Nein. Es ändert aber etwas an der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass "die Münze Kopf zeigt, unter der Voraussetzung dass Dornröschen geweckt wird". Die wird nämlich damit direkt zu 0 festgesetzt.
Zwischen den Stühlen
08.04.2023, Björn StuhrmannIch bemerke deshalb nur:
a) zum Zeitpunkt der Fragestellung an Dornröschen steht das Ergebnis des Zufallsexperiment schon fest, wobei die a-priori Wahrscheinlichkeit vor dem Münzwurf für Zahl (bzw. Kopf) jeweils 1/2 ist (d.h. sofern wir ausschließen, dass die Münze auf dem Rand landen kann),
b) man kann für Ereignisse (z.B. Zufallsereignisse), nachdem diese eingetreten sind, nun ein Wert 1 und für Ereignisse, die nicht mehr eintreten können, dem entsprechend den Wert 0 vergeben, gewissermaßen als 1 für eine wahre Aussage und 0 für eine falsche Aussage, die Antwort auf die Frage würde dann entweder 0 oder 1 lauten müssen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%, dass die Antwort dann richtig wäre, abhängig vom Ergebnis des vorher ausgeführten Münzwurfes ;-) ),
c) die drei Ereignisse (M,K), (M,Z) und (D,Z) sind in dem Gedankenexperiment (ohne Modifikation des Gedankenexperiments, dass die Münze z.B. erst am Montag nach dem aufwecken von Dornröschen geworfen wird) nach dem Münzwurf als deterministisch anzusehen, d.h. welche Ereignisse eintreten sind eindeutig durch den Ausgang des Zufallexperiments (Münzwurf) bestimmt, bei Modifikation des Gedankenexperiments, so dass die Münze erst nach dem Aufwachen von Dornröschen am Montag geworfen wird, wäre dann immernoch zumindest das Ereignis (D,Z) als deterministisch anzusehen, welches genau dann eintritt, falls am Montag dann der Münzwurf auf Zahl landen sollte,
d) es handelt sich hier um einen "klassischen Fall" bei dem zwei Zufallsereignisse, welche eigentlich gleichwahrscheinlich (und disjunkt) sind, so mit "Schnickschnack" versehen werden, dass eine Person - subjektiv für sich (und ohne das Ergebnis/Ausgang des Zufallsexperiment zu kennen) - möglichst eines der Zufallsereignisse (a-posteriori) für "wahrscheinlicher" hält (obwohl es keine zusätzlichen Informationen gibt, welche nun abhängig vom Ergebnis des eigentlichen Zufallsexperiment unterschiedlich wären, wodurch nämlich dann durchaus eine Modifikation der Wahrscheinlichkeit gerechtfertigt wäre).
ps. Um zwischen den Stühlen zu sitzen, würde ich als "Dornröschen" auf die Frage entweder mit 0 oder mit 1 antworten, wobei ich für die Auswahl der Antwort - nach dem aufwecken - eine faire Münze werfen würde (womit meine Antwort am Montag und Dienstag unterschiedlich sein könnte, sofern ich als Dornröschen auch am Dienstag geweckt werden würde) - wobei ich, sofern die Münze (welche ich als Dornröschen werfen würde, um meine Antwort zu bestimmen) auf dem Rand landen sollte, antworten würde, dass es sich um kein "well posed problem" handeln würde (und man doch bitte eine etwas andere Frage stellen sollte, z.B. wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine faire Münze auf "Kopf" bei einem fairen Münzwurf landen würde).
pps. Vor allem Philosophen (d.h. Nicht-Mathematiker) scheinen hier die Meinung 1/3 (für die Wahrscheinlichkeit) zu vertreten.
Lösung
08.04.2023, BPDie Wahrscheinlichkeit liegt genau zwischen 1/3 und 1/2
Viel ändert nicht viel
08.04.2023, Thomas KlingbeilDas Dornröschen-Problem suggeriert eine gewisse Ähnlichkeit zum Ziegenproblem, das ebenso Streitpotential besitzt.
Der Unterschied ist aber, dass beim Ziegenproblem im Verlauf der Ereignisse noch eine Zusatzinformation dazukommt, die in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einfließt. Das ist hier wegen der Gnade des Vergessens nicht der Fall.
Daher bleibt die Wahrscheinlichkeit, Kopf bzw. Zahl geworfen zu haben, idealisiert 50 %, egal, wie oft man die Frage nach dem Wurf stellt.
Ich stimme daher für 1/2.