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Eine Besonderheit der Zahl 1/e, die ich als Schüler beim Herumspielen mit dem Taschenrechner entdeckt habe: 1/e ist die Zahl, die mit sich selbst potenziert ein minimales Ergebnis gibt. Also 1/e hoch 1/e < x hoch x für alle positiven reellen Zahlen

Aus der Ähnlichkeit der Flächen D und A und aus D = 2A ergibt sich, dass alle Längen in A um den Faktor 1/√2 kürzer sein müssen. Daher x = 8/√2 = 5,66

Sehr geehrter Herr Eder,

die Lösung lässt sich schneller finden, wenn man berücksichtigt, dass sich x zu a verhält, wie neue Höhe zu alter Höhe. Da sich die Fläche halbieren muss, müssen sowohl a als auch die alte Höhe durch Wurzel 2 dividiert werden. x = 8/Wurzel 2= 4*wurzel2
Beste Grüße
Thorsten Titzmann

Ich habe die Aufgabe in 6 Zeilen gelöst.
Leider kann man hier keine Anlagen hochladen.
Der Lösungsansatz berechnet die Flächen des Dreiecks und des Trapezes in Abhängigkeit von x und setzt beide gleich. Da beim Trapez der Term tan 60° = Wurzel(3) vorkommt und Wurzel(3) auch beim Dreieck vorkommt, hebt sich beim Gleichsetzen vieles auf, was die Berechnung sehr einfach macht.

Was für eine ungeeignete Strategie für eine Auswahl. Wenn die ersten 37% der "Testobjekte" sowieso abgelehnt werden - gleich welche "Qualifikation/Eigenschaften" sie besitzen und soweit man das (als eine Art von Übersicht!) überhaupt selbst (Bias!) neutral beurteilen kann -, lohnt es sich eben nicht (Effizienz!), diese überhaupt zu "interviewen/untersuchen". Heraus kommt für einen - nenne wir es "Personaler" - praktisch, dass man eine Zufallsauswahl von 37% der Gesamtheit verwirft und nur die folgenden 4 bis 5 der Zufallauswahl der Reihe nach (!) "interviewt/untersucht". Wie dämlich!

Das obere gleichseitigen Dreieck ist ähnlich zu dem gesamten gleichseitigen Dreieck (trivial da alle Winkel gleich). Damit sind die Verhältnisse aller Seitenlängen gleich und das Verhältnis der Flächen ist das Quadrat dieses Verhältnisses. Da die Flächen im Verhältnis 1:2 stehen, ist die Seitenlänge im Verhältnis 1:√2. Somit ist x = 8/√2 = 4√2. Als Konsequenz ergibt sich dasselbe Ergebnis auch wenn das Dreieck nur gleichschenklig ist.

Eine interessante Sache, in deren Zusammenhang mir e begegnet ist, ist das was ich laienhaft als "optimalen Faktor" bezeichne. Als mathematikaffiner Schüler vertrieb ich mir die Zeit, indem ich verschiedenste Zahlen meiner Umwelt analysierte und in Verbindung setze. Dabei kann ich irgendwann - soweit ich mich erinnere etwa in der siebten Klasse - auf die Frage, wie das größtmögliche Produkt erreicht werden kann, wenn wenn man eine beliebige Zahl in beliebig viele kleinere Zahlen teilt und diese dann als Faktoren miteinander multipliziert.
Beispielsweise ließe sich die Zahl 12 in 6; 4 und 2 zerlegen, deren Produkt 48 ergibt.
Schnell erkannte ich, dass das größtmögliche Produkt entstünde, wenn alle Faktoren gleich groß sind, da dies meiner damaligen Beobachtung zu Flächeninhalten und Volumina aus der Geometrie entsprach. (Wie ich später lernte entspricht diese andere Beobachtung meinerseits zumindest in der Fläche der dritten binomischen Formel.)
Es ergäbe sich für 12 also beispielsweise eine Aufteilung in 4; 4 und 4. Deren Produkt ist mir 64 auch größer als die 48 aus meinen vorherigen Beispiel.
Nach etwas herumprobieren entdeckte ich, das ich mit dem Zerlegen in Einzelteile, die nahe der Zahl 3 sind, größere Produkte erhielt. Also mit 3; 3; 3 und 3 kam ich auf das Produkt 81.
Durch einiges herumprobieren stellte ich fest, das mit einem Faktor von 2,8 sogar noch größere Produkte erreicht wurden.
Leider traute ich mich nie, meine Mathematiklehrerin nach meinen Beobachtung zu fragen und so verließ mich irgendwann das Interesse daran. Als im Unterricht später erst die eulersche Zahl e und dann auch Grenzwerte behandelt wurden, hatte ich das ganze schon so sehr vergessen, dass ich nicht daran dachte, hiermit die Faktoren noch optimieren zu können.
Erst viele Jahre später machte es in meinem Kopf klick und ich stellte meine Beobachtung als Frage ins Internet und äußerte meine Vermutung, dass tatsächlich e der optimale Faktor sein könnte. Ein freundlicher Zeitgenosse stellte tatsächlich etwas wie eine Art Beweis auf, dass der optimale Faktor ist. Leider kann ich den Beweis nicht in Gänze nachvollziehen, da sich mein Lebensweg beruflich zu einem anderen Feld entwickelt hat, aber ich glaube der Person einfach mal und freue mich über die späte Lösung meines Kindheitsmathematikrätsels.

Erstaunlich, daß in einem solchen Artikel ein derartig hanebüchener Fehler enthalten ist:
Frosch und Läufer starten, ich bitte Sie darum, gleichzeitig!!
Sie zerstören ja jedwege Physik...
Und die Eulersche Zahl ist nicht die eulersche Zahl, sie ist und bleibt die Eulersche Zahl!
Kopfschüttel...

Ansatz :
x1² + 900 = r²
x2² + 1600 = r²
( x2 - x1 )² + 70² = 98²
Lösung :
x2 = 68,586 - abs(x1)
x1 = - 39,40
x2 = 29,19
r = 49,52

Lieber Hans-Karl Eder, deutscher Mathematiker und Pädagoge,

Ich (Gideon Barth 20 Jahre alt) zerbreche mir gerade den Kopf um halb 4 in der Nacht weil ich gerade nix besseres zu tun habe. Und kann Ihnen sagen, dass in Ihrem Rätsel wohl ein Fehler unterlaufen ist:

Die 2. Aussage wird nicht eingehalten. „Kein Paar befindet sich auf beiden Hauptdiagonalen“.
Die Lösung besagt, dass die Schlüssel sich im Eck oben rechts befindet und 3. Reihe 3. Spalte. Diese legen jedoch beide auf der Hauptdiagonale.

Ach und mir fällt gerade auf, dass die Regel auch die blauen Busse brechen.
Entweder ist die 2.regel schlecht formuliert oder da ist ein Fehler drin.

Betrachtet man nur den rechten Halbkreis mit M = Ursprung,
ergibt sich folgendes Gleichungssystem :
x1 + x2 = 7
x1² + 9 = r² = x2² + 16
Lösung :
x1² + 9 = ( 7 - x1 )² +16
x1 = -4
x2 = 3
r = 5

Nach langer Zeit habe ich einen Algorithmus für Primzahlen gefunden ...Man beginnt bei der Zahl 13 und addiert folgendes:
+4+2+4+2+4. Ist 17,19,23,25,29
+6+2+6 ist 35, 37,43
+4+2+4+2+4.....+6+2+6.....immer im Wechsel,
anschließend sind die 25 und 35 (5er Zahlen) zu streichen, aber schneller und einfacher wie das Sieb des Eratosthenes!!! Das Collatz Problem hat mich darauf gebracht, das alles Teilungen stets in Primzahlen enden, also Quadrate immer konstant im Zahlensystem existieren. Alle Primzahlen sind durch addieren der 1 irgendwann (spätestens nach dem 6. Mal ) in die Zahlenfamilie der 2er /4er und damit Quadrate änderbar. Bitte lassen Sie es prüfen.

Es geht einfacher.
Dreht man das Trapez um 180°, erkennt man, dass der Kreis Umkreis eines 6 mal 8 Rechtecks ist. Für dessen Diagonale d gilt: d^2 = 8^2 + 6^2 = 100, also d=10 und somit r=5.

Sehr geehrte Frau Bischoff,
folgende ergänzende Anmerkung zu Ihrem Artikel "Achilles und die Schildkröte ...":
"Die im "Paradoxon" gewählte Formulierung "niemals" erzeugt den scheinbaren Wiederspruch: "Niemals" bedeutet hier, dass nach endlich vielen der beschriebenen Schritte Achilles die Schildkröte nicht erreicht, was offensichtlich korrekt ist. Wie weiter unten im Artikel dargestellt sind dazu unendlich viele Schritte notwendig: Kurz im Rahmen der Analysis ausgedrückt ist der Grenzwert (Achilles erreicht die Schildkröte) der unendlichen Reihe nicht Element der Menge der endlichen Partialsummen (Einzelschritte) aber trotzdem existiert dieser Grenzwert.

Sie wissen, dass Sie Angststarre beschreiben, oder? Atome werden zu Kaninchen vor Autoscheinwerfern, wenn wir sie anschauen. Oder wie würden Sie reagieren, wenn die Andromeda-Galaxie Sie anstarrt? Wie reagieren Sie, wenn der Boss ins Büro kommt – sieht er da nicht immer die Zeit still stehen, viele Leute, die brav an ihren Schreibtischen arbeiten?

Emotionen sind mit Elektromagnetismus und Gravitation eng verwandt – dass da ein Boss ist, sagt Ihnen das Licht, dass Sie auf ihn reagieren, ist dem Licht egal, das ist ein Programm in Ihnen drin. Also können Sie im Grunde nur die Wirkung messen, die Information wirkt so, als würde sie teleportiert werden – das Weiße Rauschen zwischen Ihnen bleibt ja ein Flimmern bunter Flecken, das nicht weiß, dass diese Flecken für irgend jemanden Information sind.

Es ist eine Beobachtung, die wir vorläufig als Axiom nehmen können, weil sie sich immer dort als wahr erwiesen hat, wo sie überprüft werden konnte: Stillstand eines Objekts wird durch Kreisläufe seiner Teile erhalten – wenn Sie etwas nicht ständig reparieren und erneuern, verfällt es schnell, der Zahn der Zeit kann nur durch Hausmeister und Klempner aufgehalten werden. Sie leben in einem solchen System, heißt Staat, und der altert ja auch viel langsamer als Sie.

Wenn Sie ein Quantensystem beobachten, machen Sie einen auf China und gehen den Leuten durch Totalüberwachung auf den Sack. Chinesen sind super darin, nach oben Spiegel zu bilden – sie zeigen dem Kaiser, was er sehen will, sie zeigen es auch den Oberen der Hierarchie, doch das Ganze zerfällt zu Staub, sobald der Kaiser auch nur einen Sekundenbruchteil zwinkert. Denn in der Zeit, in der der Kaiser wegschaut, müssen sie ihr ganzes Privatleben hinkriegen, so viel wie möglich von dem zurück klauen, was ihnen Kaiser und Beamte während der kurzen Momentaufnahme schamlos abgeknöpft haben – das Mikro-Management, ohne das sie nie die Kraft hätten, die China-Show aufrechtzuerhalten.

Wenn Sie in der Firma sind, arbeiten Sie für die Firma, wenn der Boss zuschaut, arbeiten Sie für den Boss, Sie haben keine Zeit für sich und verschleißen. Wenn Feierabend ist, geht die Firma offline, Sie kümmern sich um sich selbst. Dann gehen Sie ins Bett, und während Sie offline sind, tun Ihre Zellen das, was Chinesen eben so tun, wenn der Kaiser nicht zuschaut. Und deswegen sind Sie am nächsten Tag auch weniger erschöpft und wenn die Schlafenszeit ausbleibt, wirkt es wie Uiguren-Gulag.

Fraktale, Hierarchien, Frequenzen, Dilatation. Sogar Gravitation ist mit drin – wenn Sie ein Objekt, das sich in der Zeit langsamer bewegt, aus verschiedenen Punkten einer parallel verlaufenden Zeitlinie beobachten, bei der die Zeitfrequenz höher ist, sehen Sie aus vielen Punkten wenige Punkte, die aber stets in der gleichen Entfernung von Ihnen sind – wenn die Uhr eines Objekts seltener tickt als Ihre, umkreisen Sie es.

Raum und Zeit sind eben eine Einheit, und die Feststellung, dass Zeit vergehen muss, um Raum zu überwinden, müffelt schon irgendwie nach Denkfehler. Bei Einstein sieht das anders aus, je größer Ihr Hüpferl durch den Raum, desto größer Ihr Hüpferl durch die Zeit – Sie bewegen sich quasi diagonal durch ein Quadrat mit den Seitenlängen 1*1 Sekunde (oder Lichtsekunde) – das Licht braucht einen Sprung, alles andere mehrere, kann aber dabei auch öfters die Richtung wechseln, auf den Raum reagieren – weil Licht mit so viel Raum auf einmal zusammenstößt und zwar in ein und demselben Augenblick, verdichtet sich jede noch so winzige Energie zum Schwarzen Loch. Und Sie können Schwarze Löcher gern als Photonen sehen, die durch die Zeit rasen, was die Raumzeit um sie herum so verbiegt, dass das herauskommt, das Sie auch tatsächlich sehen. Ist irgendwie nix mit masselos, oder?

Ist doch alles so langweilig, offensichtlich, einfach und alltäglich, immer und überall zu sehen, in unzähligen Variationen und allen möglichen Größenordnungen. Sie können sogar annehmen, Sie wären Teil eines Quantensystems und nach dem riesigen Auge im Himmel suchen – wenn es die Welt anguckt, haben Sie ja Freeze Frame, all Ihre Teilchen erstarren und Sie mit ihnen. Arbeit, Freizeit, Schlaf, sind für uns je acht Stunden – aber ist es für Ihre Körperzellen auch so? Vielleicht sind Ihre 8 Stunden Schlaf ja deren 16 Stunden, und umgekehrt?