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Im Artikel steht: "Der Moderator öffnet aber eine der beiden anderen Türen und offenbart eine Ziege." Es steht hier nicht explizit, ob er zufällig irgendeine der beiden anderen Türen gewählt hat, oder bewusst diejenige, hinter der mit Sicherheit eine Ziege steht. Ich denke, nur in letzterem Fall erhöht ein Wechsel die Chance. Allerdings verschlechtert sich die statistische Chance bei einem Wechsel in keinem Fall.

Der vorletzte Februartag des Jahres 2020 war der 28. Februar. Demnach legte das Schiff am 28.02.2020 um 22:00 MEZ ab. Die Fahrtzeit betrug 30 Stunden. Das heißt das Schiff legte am 01.03.2020 um 04:00 MEZ in Newcastle an, das heißt am 01.03.2020 um 03:00 Lokalzeit in Newcastle.

Außerdem sind die Formelzeichen für die Einheit Seemeile bei der Berechnung der Fahrtzeit inkonsistent. Bei der Angabe der Wegstrecke s wird Seemeile mit "m" abgekürzt, bei der Angabe der Beschleunigung jedoch mit "sm".

hat Richard P. Feynman die Methode genannt, die er zur schnellen Berechnung seiner Pfadintegrale erfolgreich angewendet hat. Er hat diese Methode übrigens selbst einem alten Mathebuch aus den 20er Jahren des letzten Jahrhunderts entnommen.

Der Morderator hat 2 Türen, also 2/3 Change, den Preis zu haben. Davon öffnet er bewusst eine Ziegentür.
Der wichtige Punkt ist, dass der Moderator weiß, welches die richtige Tür ist.
Wenn er zufällig eine Tür öffnen würde, wäre es egal, aber dadurch, dass er bewusst eine Ziegentür öffnet, erhöht sich die Chance bzw. die Chancen der anderen Türe bleiben bei 2/3

Eine Reaktion auf die Kolumne ‘Ist 0,999… gleich 1?’ von Manon Bischoff, erschienen in spektrum.de am 18. März 2022.

Mit der Diskussion ob 0,999… gleich eins ist müssten wir uns eigentlich in einer Art platonischer Welt aufhalten und nicht in der reellen Welt, aber der Zweifel darüber ob 0,999… tatsächlich eins ist, macht es unklar an welchem Ort wir uns hier befinden. Über die Verhältnisse zwischen den Beinen eines geometrischen Dreiecks besteht in (und übgrigens auch ausserhalb) der Platonischen Welt nicht der geringste Zweifel. So sollte es auch sein in einer Umgebung, wo diese Axiome sich aufhalten. Warum treten denn Zweifel auf bei der Frage ob 0,999… geleich eins ist? Wo befinde ich mich als Laie hier? Wenn auf Erden, so liesse sich fragen: Spielt der Unterschied zwischen eins und 0,999…. überhaupt je eine Rolle in der Welt in der wir leben? Und wenn wir erwägen, so wie Sie, dass 0,999… gleich eins ist, ist dann auch 0,000… gleich null?
Hier ein Beispiel um meine Frage zu verdeutlichen. Stellen wir uns vor, ich nehme eine Wasserflasche und gehe damit zum See unweit von meinem Haus. Ich schüttele die Flasche leer in den See. In der Nacht wühlt ein starker Wind das Wasser im See stark durch einander. Am nächsten Tag kehre ich zurück zum See und fülle die leere Flasche mit Wasser vom See. Wie gross ist nun die Chance, dass ich exakt das gleiche Wasser wieder in die Flasche zurück kriege? Die Chance ist null, würden die Meisten sagen und sie sind damit nicht weit von der Wahrheit entfernt, aber prezise null ist die Chance meines Erachtens nicht. Sie schmiegt sich unmessbar dicht an die Null aber sie ist nicht gleich null sondern 0,000… Bei 0,000… gehe ich davon aus, dass irgendwo an n-ter Stelle eine Ziffer auftritt, die nicht null ist.
Dank der Entwicklungen in der Thermodynamik wissen wir, dass es Prozesse gibt, deren Endspiel statistischer Natur ist. Die hören nie auf, die sind nie gleich null. Wir tun so alsob sie stoppen, die Meisten von uns glauben auch, dass sie tatsächlich zum Stillstand kommen und dann stoppen (Endergebnis 0) aber sie stoppen nicht und werden wahrscheinlich auch nie stoppen. Unter der Oberfläche gehen sie unaufhaltsam und immer träger weiter (Endergebnis 0,000…). Was da genau passiert und welchen Einfluss die nie endenden Prozesse auf uns haben ist äusserst unklar. Ob dieses Wissen für das tägliche Leben nützlich ist, ist natürlich sehr fragwürdig. Für uns ist es viel praktischer davon auszugehen, dass nach gewisser Zeit diese Prozesse zum Stillstand kommen. Wie bei dem Beispiel mit der Wasserflasche hiesse das, dass die Chance, dass du je genau das gleiche Wasser vom gestrigen Tag wieder in die Flasche zurück kriegst gleich null ist. Die Möglichkeit einer 0,000… Chance können wir uns gar nicht vorstellen.
Auch in physischen Theorien wird aus praktischen Gründen eher von 0 als von 0,000… ausgegangen. Der Theoretiker Ilya Prigogine hat diese Betrachtungsweise stark kritisiert. Für ihn hat dies alles mit dem Phänomen Zeit zu tun. Seit Isaac Newton seien die Physiker nach Prigogine nicht im Stande die fundamentelle Zeit in ihren Theorien zu berücksichtigen. Berechnungen beziehen sich in der Newton’schen Welt auf idealisierte Umstände im Labor. Wenn ein Tennisspieler einen Ball übers Netz schlägt kannst du die Bahn des Balls mit Newton’schen Gesetzen genau berechnen. Nur beziehen sich die Berechnungen nicht auf die Aktualität in der Tennishalle, denn da sind zu viele unkontrollierbare Einflüsse, die dafür sorgen, dass kein einziger Ball, der vom Tennisspieler geschlagen wird, die gleiche Bahn beschreibt. Wenn wir sichere und vorhersehbare Ergebnisse haben wollen, müssen wir unsere Berechnugen nicht aus der Aktualität sondern aus der Abstraktion ableiten. Eben da herrschen Umstände, in der die Newton’schen Gesetze immer gültig sind. Darum lässt der Ball, der in der Tennishalle geschlagen wird, sich nicht genau beschreiben. ‘Was definierbar ist hat keine Geschichte’ hat Friedrich Nietzsche uns gelehrt. Mit anderen Worten: Die definierbaren Newton’schen Gesetze befinden sich ausserhalb der Zeit, so wie wir sie in unserem Alltag erleben. Der österreichische Fysiker Ludwig Boltzmann hat versucht der Aktualität der reellen Welt, mit der die unumkehrbare Zeit nahtlos verbunden ist, einen Platz einzuräumen. Er scheiterte aber weil er nur über die traditionelle, Newton’sche Terminologie verfügte.
Ich glaube, dass unsere reelle Welt zum grössten Teil aus komplexen, nie endenden Prozessen realisiert wird. Das Komische ist aber, dass wir Realität und Theorie ständig verwechseln. Wir tun so alsob diese mysteriösen 0,000… Prozesse die praxisferne Theorie wären und die Newton’schen 0-Werte die vertraute Realität. Gelten bei der Beantwortung der Frage, ob 0,000… gleich null ist, die gleichen Massstäbe wie bei Manon Bischoffs Frage oder müssen wir da grundsätzlich anders vorgehen?
Hans Koetschruiter

Vor 65 Jahren in der Schule gelernt.
Leider im Beruf nie benötigt.
Dankeschön

In dem Artikel wurde gesagt, dass ein Beispiel für in Potenzreihen entwickelbare Funktionen Glatte Funktionen seien. Das stimmt nicht (bsp exp(-1/x^2) kann in 0 durch 0 Glatt fortgesetzt werden, ist aber nicht in eine Potenzreihe in 0 entwickelbar, da alle Ableitungen 0 sind in 0, aber die Funktion nicht konstant 0 ist). Die Umkehrung ist allerdings wahr.

Die Formel ist sicher nützlich, aber die Einleitung des Artikels beschreibt sie als Revolution, während erst am Ende erwähnt wird, dass die eigentlichen Vorteile bei Kombinationen von trigonimetrischen Funktionen liegen, die auch mit partieller Integration lösbar sind. Um zu überprüfen, ob die Formel wirklich für Studenten hilfreich ist, wie am Ende behauptet, wäre ein relevantes Beispiel gut, eins, wo durch die Formel Zeit gespart wird. Übrigens, sobald die Reihendarstellung einer Funktion bekannt ist, ist auch die Stammfunktion in Reihendarstellung bekannt wegen $int f(x) dx = \int \sum_k a_k x^k dx = \sum_k a_k/(k+1) x^{k+1} + const. $.

Moin, der Formelsatz auf der Seite https://www.spektrum.de/news/ableitung-statt-integral-revolution-der-analysis/2016955 scheint nicht mehr zu funktionieren. LG, Danny Busch

Wenn man die Erklärung des Ziegenproblems umgekehrt angeht und sagt, dass die Chance sich anfangs zu irren, bereits ab 3 Türen stetig ansteigt, dann hätte eventuell auch die Intuition keine Schwierigkeiten damit und man könnte das Problem aus der "kontraintuitiven Statistik" streichen.
Wobei witzigerweise "intuitiv" etymologisch "genau hinschauen" bedeutet und damit eigentlich das Gegenteil dessen, was wir heute darunter verstehen :-)

Hallo, bei der Betrachtung, dass wenn man sich umentscheiden, die Chance höher, ist falsch, auch mathematisch. Denn dadurch, dass man bei dem gleichen Tor bleibt, entscheidet man sich auch für eine von zwei Türen und hat damit die gleiche Berechnungsgrundlage und somit eine Chance von zwei zu drei.

Hinz spielt mit drei Türen. Nachdem der Moderator die erste geöffnet hat, wird diese samt Hinz versteckt, und herein kommt Kunz, der glaubt, als Erster zu spielen, mit nur zwei Türen. Für ihn ist die Wahrscheinlichkeit 50/50. Doch für den Moderator, den übergeordneten Beobachter, ist sie 2:1.

Ich frage mich – wie oft im Leben bin ich Kunz, ohne es zu merken? Wie oft gibt es keinen außenstehenden Beobachter? Bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, wenn es keinen gibt? Hat die Entscheidung des Moderators Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit? Macht es einen Unterschied, ob er nur eine zufällige Tür ausgewählt hat, oder ob er schon wusste, welche er öffnen würde? Bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, wenn wir das Ganze als zwei Spiele wahrnehmen statt einem? Was passiert, wenn die Ziegen mitspielen und sich die Türen aussuchen, hinter denen sie zwei Kohlköpfe vermuten?

Kunz spielt heute mit zwei Türen, Hinz in drei Wochen in Yokohama, mit drei. Wieso hat die Entscheidung von Hinz Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit von Kunz? Ich meine, der Zusammenhang zwischen beiden Spielrunden Ihres Spiels scheint auch nicht größer zu sein. Und dennoch gibt es einen – ich sehe hier eine Wirkung ohne erkennbare Ursache. Mathematik und Logik widersprechen sich. Und erstaunlicherweise setzt sich die Mathe durch. Entweder ist die Logik fehlerhaft, oder ich kenne nicht alle Ursachen, die beteiligt sind.

Naja. Ich mit meinem Pech muss ja gerade labern. Mir passieren auch ständig Dinge ohne erkennbare Ursache, die aber ihre Regelmäßigkeiten haben. Die Welt ist eine Maschine, wir sind nur Zahnrädchen darin, und schwimmen in einem Meer aus winzigen Zahnrädchen, von deren Zusammenspiel wir nur eine vage Ahnung haben. Ich sehe, dass das Vakuum des Alls sich wie höllisch heiße Pampe unter extremem Druck verhält, ich sehe, dass ich, wie alles und jeder, in einer Blase gekrümmten Raumes herumlaufe, die niemand sehen kann, denn wenn ich mir vorstelle, dass die Linse in meinem Auge die einzige ist, die Dinge mit der Entfernung kleiner wirken lässt, geht die Gleichung nicht auf, ich sehe, dass Laserstrahlen nur gerade zu laufen scheinen, weil jeder Beobachter den Raum so krümmt, dass es so aussieht als ob, ich sehe, dass die Astronomen im All visuelle Verzerrungen finden, die sie sich mit Dunklem Bullshit erklären, die aber genauso auf jeder Christbaumkugel auftreten. Vielleicht sollte ich mir ein paar Fliegen im Honig angucken, um auf Ideen zu kommen. Ich sehe, dass Menschen in Parallelwelten leben, die kaum etwas voneinander wissen, und sie nehmen die Welten der Anderen so wahr, wie die Physiker das Nichts, das Vakuum, den Quantenschaum beschreiben, ich sehe, dass unser Universum sich so zu verhalten scheint, wie alles im Universum, was darauf hindeutet, dass es selbst nur ein Bestandteil von etwas Größerem ist, ich sehe, dass es in drei Dimensionen unendlich groß ist, doch in der vierten geht diese Unendlichkeit unter den Bruchstrich, da sind wir eine hauchdünn gepresste Scheibe, und wer weiß was kann drunter tauchen und mit seinen Tentakeln unsere Lungen und Milzen ablecken, ohne dass wir mehr bemerken würden, als die Wirkung.

Kurzum, ich sehe, dass ich mit meiner Weisheit vor einer Tür stehe und mich frage, was der Quatsch soll, wie viel von der leckeren Jacke von dem Typ, der mich am Strick hält, ich fressen kann, bevor er es bemerkt, und wann ich zurück in den Stall kann, wo der halbe Kohlkopf auf mich wartet. Es gibt mehr Dinge zwischen Himmel und Erde, als selbst die gefräßigste Ziege verdauen kann. Möge die Macht mit Ihnen sein, und Ihre Mathe auch weiterhin am Laufen halten. Diese Macht zu sezieren und zu erklären, liegt nicht in meiner Macht. Fragen Sie mich in hundert Jahren, wenn die Physik aus den Kinderschuhen raus ist.

Den ersten Teil des Artikels fand ich sehr gut, ab der Variante mit den 100 Türen wurde es aber seltsam.

" In diesem Fall würde es geradezu verrückt erscheinen, sich nicht umzuentscheiden."
Mit was für einem Recht erlauben Sie es sich Leute als "verrückt" zu bezeichnen? Die Argumentation in dem Fall ist die selbe wie oben:
"Zwei verschlossene Türen sind schließlich übrig, hinter einer versteckt sich der Preis. Daher müsste die Wahrscheinlichkeit, die richtige Wahl zu treffen, einhalb betragen." Leute die so bei 3 Türen argumentiert haben, argumentieren bei 100 wahrscheinlich auch so.

Der Absatz mit den Tauben ist sehr verworren: "Anders als Menschen, verstehen Tauben recht schnell, dass sich ein Wechsel lohnt".
Es wurden komplett unterschiedliche Dinge getestet. Laut Text wurde den Menschen das Problem einmalig vorgestellt und sie mussten sich dann entscheiden (logisches / mathematisches Denken). Die Tauben hingegen" spielten die Situation der Spielshow [mehrfach] [... ] nach" (Erfahrung / Merken / Gedächtnis).
Wie kommen Sie jetzt zu dem Schluss, dass "die Tauben besser mit kontraintuitiver Statistik [besser] umgehen als wir Menschen."?

Die Statistik hilft. Der Text sonst nicht, ich kam gedanklich immer noch an bei "selbst nach 99 Türen sind halt noch zwei übrig - fifty fifty".
Vielleicht eine gute weitere Erklärung, die erst offensichtlich ist wenn man sie verstanden hat:
Die erste Tür wird nicht geöffnet, weil ich sie gewählt habe. Die 98 anderen Türen werden geöffnet, weil das Auto nicht dahinter steht. Ich beeinflusse mit meiner Wahl, was geöffnet wird.

Das geht aber auch:
S=1; O=2; E=3; D=4; R=5; T=7 und I=0