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Deine Frage: was ist mit der Wahrscheinlichkeit, wenn man hintereinander mehrmals eine Münze wirft?
Du hast hintereinander 9 mal eine Zahl geworfen. Da kann man spontan sagen: Entweder sagtest du es so, oder die Ausführung deines Wurfes war 9 mal die gleiche (die entspricht einer unfairen Münze). Ändert sich deine Ausführung nicht, dann wirds du ständig 9 werfen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit deines Wurfsstiles 1, also 100%
Nach der mathematischen Auffassung liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins. Also kein Problem mit deinem Münzenwurf. Je mehr jemand eine Zahl hintereinander werfen kann, desto geschickter ist beim Wurf.
Deiner Wurfmuster mit 9 mal Zahlen gehört zu dem Matrix-Muster von:
2^9=512. So ist die Wahrscheinlichkeit deines Wurfmusters unter dem Matrix-Muster 1/512.
Hast Zeit und Lust deine persönliche Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die 9 Matrix-Muster zu bestimmten, dann:
Man führe 512 mal die 9 Würfe aus. Dann zähle man die verschiedenen Mustern zusammen=m. Damit wird die Wahrscheinlichkeit m/512.
Allgemein kann man hier sagen:
Subjektive (kann auch Computer sein) Wahrscheinlichkeit eines Münzenwurfes=m/2^n in Bezug auf Matrix-Muster.
Noch: zwischen 0 und 1 liegt in Bezug auf Münzenwurf der 1/2. Der Wert 1/2 ist ein Gränzwert, um den herum die subjektive Werte liegen. Den Wert 1/2 zu schaffen, ist auch so schwer zu schaffen wie 1.

Kurz hatte ich überlegt, ob ich den Beitrag überhaupt lesen sollte. Zwar ist von Christian Schwägerl als hervorragender Kenner der Materie bekannt. Gleiches gilt aber für mich - und ich hätte nur ungern einem Ex-Kollegen Über- oder Untertreibungen oder gar gedankliche Fehler vorgeworfen, wenn ich sie denn entdeckt hätte. Habe ich aber nicht! Meine Hochachtung für Christian Schwägerl - und für Spektrum! Der Autor benennt klar die Situation - und die eigentlichen Versäumnisse. Danke für diese klaren Worte!

Die Problem der "Sleeping Beauty" geht, da sind sich Elga, Wikipedia und weiter Quellen einig, auf "unpublished work" zurück - dementsprechend beschränke ich mich auf die Darstellungen des Problems nach Elga und im Artikel:

Bischoffs Zusammenfassung endet eigentlich nach Darstellung des recht konstruierten Experiments, in dessen Verlauf der Experimentator der Testperson Fragen zu Wahrscheinlichkeiten stellt. Die einzige Frage geht an Dornröschen - sie geht überhaupt nicht an den Leser!

Auch ich habe mir da erst mal meine eigene Fragestellung hineingedeutet - aber wenn jeder eine andere Frage beantwortet, dann haben die Antworten auch nichts miteinander zu tun.

Elgas eigene Darstellung räumt immerhin mit einem Missverständnis auf, denn es hat immerhin eine ausformulierte Fragestellung: "When you are first awakened, to what degree ought you believe that the outcome of the coin toss is Heads?" Elga ist nämlich Philosoph, und auch die vielen anderen Artikel gehören in die Philosophie, und beschäftigen sich mit Erkenntnis.

Aber danach wird es in Elga's Paper unscharf und widersprüchlich:
1) "Degree of believe" hat nichts direkt mit einee Wahrscheinlichkeit zu tun.
2) Man muss die Eigenschaft der Münze kennen, um überhaupt die Häufigkeit der Beobachtungen zu kennen. Dann kann man sich zwar darüber streiten, wie das Dornröschen herausfindet, aber wenn Dornröschen auf etwas anderes "tippt", dann ist das ein Widerspruch - aber ein folgenloser, wie bereits gesagt.
3) Das ganze Verwirrspiel wird dann noch erweitert mit dem Vergessen und den mehrfachen "Erkenntnissen" im Falle von Tails.

Vielleicht kann mich ja ein gelernter Philosoph eines anderen überzeugen, aber für mich eine reine Scheindiskussion ohne mathematischen Erkenntnisgewinn und mit philosophisch unklarer Zielrichtung.

Aber psychologisch und wissenschaftstheoretisch ein spannendes Experiment! Einer vermeintlich gutaussehnden Märchenprinzessin mit traumatischer Vergangenheit werden für fragwürdige Experimente K.O.-Tropfen verabreicht, und mit Stochastikgrundwissen kann man ihr scheinbar beistehen - bei dem reißerischen Setting scheint ein Hirn erstaunlich unwissenschaftlich zu reagieren....

selbstverständlich ist die Lösung mit der Quadratischen Gleichung korrekt und im allgemeinen gültig
allerdings (Mathematikys sind faul lt. Prof EWeitz)
springt mich die Lösung
1 x 60 (nein) 2 x 30 (nein) 3 x 20 (nein) 4 x 15 (nein)
5 x 12 (JA, denn 5+12=17)
geradezu an...

Für einen Physiker ist das Problem eindeutig die unklare Aufgabengstellung. Es ist nicht klar, welche Wahrscheinlichkeit gemeint ist.
Von außen betrachtet (z.B. aus Sicht Experimentator) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, alles andere widerspräche allen Grundlagen der Statistik, aus Sicht des gerade aufgewachten Dornröschens - in der Form, wie in der Aufgabenstellung impliziert - dürfte es wohl 1/3 sein.
Sobald man das - physikalisch gesprochen - Bezugssystem festlegt, ist m.E. die Antwort klar.
Eine Frage der Philosophie ist das sicherlich nicht, wäre für die Mathematik auch ziemlich traurig. Für mich ist der Streit ziemlich absurd.

Leider zeigt die Lösung nicht, wie die Quadratformel aufgelöst wird, um die Werte 5 und 12 für a und b zu erhalten.

Wenn Sie die über 100 Publikationen durchsehen, werden Sie feststellen, dass kaum eine mathematische Publikation aufgelistet ist, sondern fast durchwegs in philosophisch orientierten Journalen diskutiert wird. Wenn Sie irgendeine/n Wahrscheinlichkeitstheoretiker/in fragen, werden Sie die Antwort erhalten, dass die Fragestellung nicht korrekt formuliert ist. Die Fragestellung ist umgangssprachlich formuliert, und wenn man bei mathematischen Fragestellungen nicht deutlich auf korrekte mathematische Formulierung achtet, ist es möglich, mehrdeutige oder widersprüchliche Ergebnisse zu erhalten.

Was man unbedingt verstehen muss, wenn man mit Hilfe mathematischer Betrachtungen reale (oder wie in diesem Fall scheinbar reale) Situationen analysiert, ist das Folgende: Bevor mathematische Methoden angewendet werden können, muss zunächst ein mathematisches Modell geschaffen werden, das die Situation abbildet. Dieses Modell (das vollständig in mathematischen Begriffen formuliert wird) kann dann analysiert werden. Das Ergebnis dieser Analyse ist dann eine Aussage über das mathematische Modell. Diese Aussage muss danach wieder auf die reale Situation übertragen werden. Wie wertvoll diese übertragene Aussage dann in der realen Situation ist, hängt nicht zuletzt von der Güte der Modellierung ab.

Einige Antworten in der Liste legen bereits eindeutig dar, wodurch die "Verwirrung" zustande kommt. Daher gehe ich nicht wieder darauf ein, weise aber darauf hin, dass von den Halvern und den Thirdern zwei unterschiedliche Modelle für den Dornröschenfall zugrunde gelegt werden. Im einen Modell ist die korrekte Antwort 1/2, im anderen Modell ist die korrekte Antwort 1/3. Der Streit ist also kein mathematischer Streit, sondern ein Streit darüber, wie die Fragestellung korrekt zu modellieren ist. Es ist daher keine mathematische Kontroverse, sondern maximal eine philosophische Kontroverse. Es spaltet auch nicht die Mathewelt, wie Ihnen jede/r Mathematiker/in bestimmt gerne bestätigen wird.

Ich bin klar im 50:50 Lager!
Eine Münze wird geworfen -> 50:50 - Kopf:Zahl
Dann wird irgendjemand irgendwann gefragt, wie ein einmaliger Münzwurf wohl ausgegangen ist. Das ändert aber nichts an der Wahrscheinlichkeit des Ausgangs des Münzwurfs. Dieser kann nur so oder so ausgegangen sein, also 50:50.
Wer wann dazu befragt wird ist unerheblich. Genauso ist unerheblich, ob mit dem Ausgang des Münzwurfs Ereignisketten ausgelöst werden ... Gewonnen/Verloren ... Aufwecken/erneut Narkotisieren ... Die Bedingungen des Experiments verlangen ja gerade, dass Dornröschen nicht weiß, welche Ereigniskette ausgelöst wurde. Auf Wahrscheinlichkeiten jenseits 50:50 kommt man nur, wenn Nebenbedingungen in die Überlegungen Einbezogen werden. Das schließen die Bedingungen des Experiments aber ja gerade aus!

Ich halte das Problem für informationstheoretisch ausserordentlich interessant, weil es die Bedeutung des Kontextes für die Information zeigt. Der Kontext ist, was Dornröschen, beziehungsweise was der Experimentator weiss. Diese Sichtweisen oder Horizonte bestimmen das Wissen und somit auch die Wahrscheinlichkeiten.

Deshalb ist ein Halb genauso richtig wie ein Drittel. Es kommt auf die Sicht und das jeweilige Vorwissen an:

Sicht Dornröschen:
Das ist die subjektive Sicht. Dornröschen weiss nicht, wie oft sie schon geweckt wurde, und was für ein Tag das ist. Sie muss deshalb mit fünf Fällen rechnen:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
3. Mittwoch Kopf
5. Mittwoch Zahl
Weil Schneewittchen mit Zahl häufiger geweckt wird, ist Zahl für sie subjektiv wahrscheinlicher. Bei Zahl wird sie dreimal geweckt, bei Kopf zweimal.
Somit ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 2/5.

Wenn man Dornröschen nur am Montag oder Dienstag aufweckt und am Mittwoch schlafen lässt, gibt es nur drei Fälle:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
In diesem Fall ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/3.
Die Sicht Experimentator ist davon unterschieden, weil der Experimentator weiss, wie oft Schneewittchen schon geweckt wurde. Er weiss auch, was für ein Tag es ist. Somit hat er eine "objektivere" Sicht als Schneewittchen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sind in diesem Fall:
Am Montag 1/2
Am Dienstag 0 falls Zahl und 1 falls Kopf → somit ebenfalls 1/2
Am Mittwoch 1/2

Das Problem stellt sich also nur, wenn man eine Antwort erwartet, die für alle Beteiligten gleich wahr ist.
Diejenigen, die sich für 1/3 entscheiden, geben der "subjektiven" Sicht von Schneewittchen recht, diejenigen die für 1/2 stimmen, dem "objektiven" Experimentator.
Man kann das Schneewittchen-Problem somit auch als Psychotest sehen: Wie "objektiv"/"subjektiv" denkt jemand? Identifiziert er sich leichter mit dem passiven Opfer oder mit dem allwissenden Experimentator?

So weit ich das überblicken kann, kommt es darauf an, ob Dornröschen je Münzwurf einmal gefragt wird (1/2), oder ob die Anzahl Befragungen unabhängig ist von den Münzwürfen (1/3).

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist etwas sehr Schönes. Mit einfachsten Mittel kann man Menschen verwirren.
Unter der Annahme, dass die Münze nur Kopf oder Zahl zeigen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für den EXTERNEN Beobachter ganz klar 0,5. Aber das ist hier überhaupt nicht gefragt.

"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“

Ähnlich wie beim Ziegen Problem (mit 1001 Türen statt 3 Tüten) lässt sich durch Modifikation des Experiments das Problem dieser Frage verdeutlichen.

Nehmen wir an wir quälen Dornröschen. Alle 365 Tage wird die Münze geworfen. Dornröschen bekommt von dem Münzwurf nichts mit. Sofern sie morgens aufwacht, betritt abends ein Diener ihren Raum und bringt ihr ein neues Schlafmittel.

Fall 1 Kopf wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was 365 Nächte hält. Nach 365 Nächten erwacht sie. Es wird ihr "die Frage" gestellt . Das Experiment beginnt von vorne

Fall 2 Zahl wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was nur eine Nacht hält , sie bekommt aber jeden Abend ein neues Schlafmittel was wieder nur eine Nacht hält. Morgens wird ihre "Die Frage" gestellt. Nach 365 Tagen beginnt das Experiment von vorne

Aus Sicht des externen Beobachters gibt es nur diese zwei Fälle….Kopf oder Zahl….egal wie die nächsten 365 verlaufen, ändert sich der Münzwurf nicht mehr. das Experimnet läuft weiter

Aus Sicht von Dornröschen (interner Beobachter) erwacht Sie immer morgens und bekommt abends ein Schlafmittel...in manchen Jahren wird sie nur einmal geweckt in anderen Jahren wird sie 365 Mal geweckt. Dornröschen weiß aber nichts davon.

"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Unabhängig wie häufig Dornröschen bis zum nächsten Münzwurf geweckt wird , verändert sich die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes nicht. Nur weil Dornröschen manchmal häufiger geweckt wird, hat dies keinen Einfluss auf den Münzwurf.
In manchen Jahren wird Dornröschen halt nur einmal gefragt, in anderen Jahren wird Dornröschen 365 mal gefragt.

Aber wie wird Dornröschen nun "die Frage" beantworten? Hat sie ein System, einen Grundsatz oder vertraut sie ihren Gefühlen?

Ein paar Beispiele für mögliche Grundsätze
1. Sie könnte sich auf ihre Gefühle vertrauen.... heute so morgen so….ohne Ihre Antwort zu begründen. Ihre Antwort beeinflusst ihr Leben aus ihrer Sicht nicht, je nachdem wie die Münze geworfen, wurde bekommt sie unterschiedliche Schlafmittel. Aus ihrer Sicht wird immer nach dem Aufwachen gefragt und abends bekommt sie ein Schlafmittel, sie weiss aber nicht wie lange sie schläft.
2. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER ZAHL...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
3. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER KOPF...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
4. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Kopf , sonst Zahl ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die richtige Antwort geben.
5. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Zahl , sonst Kopf ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die falsche Antwort geben.
6. Vielleicht traut Dornröschen ihren Gefühlen nicht, und führt deshalb ein ideales Zufallsexperiment durch. So würde sie dann an 50 % der Tage Kopf und an 50% der Tage Zahl antworten.

Und hier zeigt sich doch der ganze Unsinn der ursprünglichen Frage. Niemand kennt die Grundsätze für die Antworten von Dornröschen. Es gäbe unendlich viele Möglichkeiten

Zusammengefassung des eigentlichen Problems
Das Ergebnis des idealen Münzwurfes ist Kopf oder Zahl.
Der externe Beobachter kennt das Ergebnis des idealen Münzwurfes (Kopf oder Zahl)
Der Interne Beobachter weiß nichts über das Ergebnis des Münzwurfes
Der Externe Beobachter weiß nichts über die Grundsätze von der Antwort von Dornröschen (interne Beobachter)
Daher ist es für uns als externe Beobachter unmöglich, eine verlässliche Aussage über den internen Beobachter zu treffen.

Ich hoffe die Lösung gefällt … es is 23:26 Uhr Rechtschreibfehler dürft ihr behalten. Gendermüll auch...
Feedback an kollektiv@web.de

Dornröschens Antwort hat keinen definierten Zweck oder irgendeine Folge: Wenn Dornröschen mithilfe eines Orakels die richtige Antwort kennen würde (über die angeblich so gerne gestritten wird), dann wäre es noch immer vollkommen egal, ob sie die Lösung "verrät", "lügt" oder einfach schweigt.

Das Brimborium um den komplexen Testaufbau erweckt verschiedene Konnotationen und Assoziationen, mit denen jeder Rätsler die relevanten Lücken in der vermeintlichen mathematischen Frage füllt.

Vielleicht tue ich der originalen Fragestellung und seinen Bearbeitern unrecht, aber wenn der Artikel das halbwegs treffend zusammenfasst, dann die vermeintlichen Lösungen ganz offensichtlich keine Antworten auf eine Frage aus der Stoachstik: Dornrösen müsste oder sollte so antworten, oder sie müsste aufgrund einer Argumentation etwas sagen?

Für mich aus mathematischer Sicht ein Schweizer Käse oder nur Quark, aber dennoch ein interessantes Experiment: Nicht mit K.O.-Tropfen an einer Märchenprinzessin, sondern an allen, die sich mit der Frage selbst und ihren Lösungsversuchen beschäftigen.

Liebe Manon Bischoff,

vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch, aber so ganz verstehe ich die Aufgabe noch nicht.

Die Aufgabenstellung für Dornröschen lautet ja wohl: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?

Nun, wenn Dornröschen den Versuchsaufbau kennt und vor allem weiß, dass die Münze sich ideal verhält, lautet ihre Antwort 1/2. Dafür braucht man auch den Zirkus mit dem einmaligen oder mehrmaligen Wecken nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ideale Münze nach einem Wurf Kopf zeigt ist 1/2, egal, was die Münze tatsächlich gezeigt hat, oder? Das weiß auch Dornröschen, also antwortet sie montags und dienstags immer 1/2. Und damit hat sie jeden (!) Tag Recht. Fertig!

Etwas ganz anderes wäre es gewesen, wenn der Versuchsaufbau so aussähe. Dornröschen wird geweckt und kann 1 € auf Kopf oder Zahl setzen. Ist es richtig, erhält sie die doppelte Summe, bei falsch ist das Geld futsch. In diesem Falle kann Dornröschen 1 € dazugewinnen, wenn sie auf Kopf setzt, aber sie gewinnt 2 € (am Montag und am Dienstag) dazu, wenn sie auf Zahl setzt. Das ist ein Verhältnis von 1:2 und sie ist deshalb gut beraten, immer auf Zahl zu setzen.

Oder habe ich etwas Wesentliches überlesen / übersehen?

Eigentlich sind es zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten:
1.) Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf Kopf oder Zahl = 1/2

2.) Die beste Option für Dornröschen das geworfene Ereignis zu erraten:
da sie zweimal bei Zahl und einmal bei Kopf geweckt wird ist die beste Option natürlich Zahl (2/3) sprich: es bleibt 1/3 für Kopf

Es sind genau genommen zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten welche hier Rücksichtslos durcheinander gebracht werden.

In der Beschreibung des Artikels wird gesagt, dass Dornröschen bei Zahl zweimal aufgeweckt und zweimal befragt wird. Und sie weiß nicht, ob sie das erste Mal aufgewacht ist oder das zweite Mal. Wenn ich eine Münze werfe, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 50%. Aber das Aufwachen und die Befragung über den Münzwurf ist eben nicht gleichzusetzen mit dem Münzwurf selbst. Dornröschen kann beim Aufwachen nicht davon ausgehen, dass zuletzt ein unabhängiger Münzwurf stattgefunden hat. Stattdessen wird der Fall "Münzwurf ergab Zahl" in Bezug auf die Befragung künstlich verdoppelt. Also ich bin ziemlich überzeugt, dass aus der Perspektive der befragten Person die korrekte Antwort für die Wahrscheinlichkeit dass der letzte tatsächlich erfolgte Münzwurf Kopf ergeben hat nur 1/3 beträgt. Etwas anderes wäre es wenn das Experiment immer nach dem ersten Aufwachen abgebrochen wird. So schienen das einige Kommentatoren/innen verstanden zu haben. Aber dann wäre das ganze Gedankenexperiment mit einem einfachen Münzwurf gleichzusetzen und das Schlafmittelexperiment nur prosaisches Beiwerk.