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Überschrift und Text passen nicht zusammen. Das hat mich richtig geärgert. Die Zeit hätte ich mir sparen können.... Und das vorher noch unter dem Decknamen "Best of 2022: Wissenschaft" :-(
Hochdimensionale Würfel gibt es nicht nur in den geistigen Sphären der Mathematik. Der erste massiv parallele Supercomputer, die erste Connection Machine (CM-1) von Danny Hillis, bestand aus 4096 Rechenknoten, die in Form eines zwölfdimensionalen Hyperwürfels miteinander verschaltet waren. Jeder Rechenknoten in Form eines Chips bestand dann noch aus 16 einzelnen sehr einfachen Prozessoren, so dass man insgesamt auf 10 hoch 16 (65.536) CPUs kam. Bei diesem Design spielte die kurze maximale Hamming-Distanz der Knoten eine maßgebliche Rolle, wie Hillis auch mal in einem Artikel in Scientific American (deutsch in Spektrum der Wissenschaft 8/1987) dargelegt hat.
Mit großem Interesse habe ich Ihren Artikel über die Funde von Dackelknochen im Untergrund des Kolosseums gelesen, zumal ich selbst Besitzer eines selbstbewußten Dackels bin.
Allerdings stellt sich mir die Frage, ob diese Funde tatsächlich für Auftritte dieser Vierbeiner in der Arena sprechen. Ist es nicht viel naheliegender, daß die Dackel zur Rattenbekämpfung eingesetzt wurden?
Man muß sich nur vorstellen: ein Riesenbau wie das Kolosseum mit seinen zahlreichen unterirdischen Anlagen, Gängen, Abwasserrohren, dazu die Kadaver unzähliger getöteter Tiere, Essensvorräte für Menschen, Unmengen Tierfutter sowie Essensreste, die von Zuschauern hinterlassen wurden, das zieht doch Ratten an. Und wie lassen sich solche Schädlinge effektiv bekämpfen? Natürlich mit kleinen, mutigen und kämpferischen Hunden, die in enge Gänge und Kanäle kriechen können.
Was sagen Sie dazu? Ist das nicht viel wahrscheinlicher als ein Auftritt in der Arena?
Die Formel für die Gleichheit von Mengen riecht nach reiner Mathematik und Elfenbeinturm. Aber man findet sie auch in Computer-Programmbibliotheken, z.B. im "Java Runtime Environment" (JRE):
Hier wird beschrieben, wie zwei Mengen auf Gleichheit geprüft werden müssen. Und manchmal kann man solche Mengen-Vergleicher gut gebrauchen.
Gegeben sei z.B. eine Fläche, die aus 10x10 quadratischen Feldern besteht, und 50 rechteckige Steine, die jeweils zwei Felder groß sind (Dominosteine). Wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Fläche mit den Steinen zu pflastern?
Dazu habe ich ein Programm geschrieben. Es enthält ein Unterprogramm, welches zu einer noch freien Teilfläche berechnet, auf wie viele Arten diese Teilfläche gepflastert werden kann.
Dieses Programm zählt alle 258.584.046.368 Möglichkeiten einzeln ab. Das dauert über 6 Stunden.
Manche Teilflächen werden vom Unterprogramm wiederholt berechnet - oft tausende Male. Um das zu vermeiden, muss man, wenn man eine Teilfläche berechnet hat, das Ergebnis abspeichern. Dazu braucht man einen Cache, also eine Datenstruktur, welche zu Teilflächen jeweils eine Zahl - die Anzahl der möglichen Pflasterungen - speichern kann. Solche Datenstrukturen gibt es im JRE, sie benötigen aber einen Vergleicher für Teilflächen.
Eine Teilfläche ist nun nichts anderes als eine Menge von Feldern. Das JRE hält Vergleicher für Mengen bereit. Damit ist der Cache schnell programmiert.
Mit diesem Cache benötigt das Programm nur noch 0,07 Sekunden.
Im Lösungsbild sind die Punkte B, C, F und K nicht bezeichnet, einer fehlt sogar vollständig. Das lässt sich zwar aus dem Text rekonstruieren, besser wäre es aber trotzdem gewesen, wenn das "Mathematische Rätsel" nicht auch noch ein Suchbild gewesen wäre.
Dieser tolle Artikel ist spannend und unterhaltend zugleich! Allerdings wirft er eine neue Frage auf, die mathematisch nicht zu beantworten ist: Warum wird am Bodensee nur gefragt "welche Mathelehrerin" es schaffen könne, dass jemand aus ihrer Klasse sicher einen Preis gewinnt.
Warum wird nur bei Frauen gesucht? Etwa weil männliche Lehrer das sowieso können?
Wenn es für diese Frage keine wissenschaflich haltbare Lösung gibt, ist die zitierte Fragestellung eindeutig misogyn!
Die Herleitung ist ok, obwohl ich es anders gelöst habe und auf 7/12 gekommen bin. Ihr Ergebnis mit 50 % liegt leider kaum daneben. Ihr Problem: Die Fläche des roten Parallelogramms entspricht nicht einem sondern zwei Dreiecken.
Ich habe schon vor langer Zeit von folgender Lösung gehört oder gelesen (und hoffe, mich richtig erinnern zu können): 1) Markieren der Basis des Start- und des Zielturmes mit weißer Farbe, die Basis des anderen Turmes mit schwarzer Farbe 2) Markieren der Scheiben, sodass die unterste Scheibe schwarz und die darüberliegenden Scheiben abwechselnd weiß und schwarz werden (bei einem Turm mit 4 Scheiben wären dann - von unten - die zweite und die vierte Scheibe schwarz, die anderen weiß) 3) So ziehen, dass jede Scheibe immer auf einer Scheibe oder Basis liegt, die eine andere Farbe hat (und man den letzten Zug nicht rückgängig macht). Es sollte dann immer nur eine Zugmöglichkeit geben (insofern man nicht am nächsten Tag auf den zuletzt gemachten Zug vergessen hat).
Der endgültige Beweis ist über 300 Seiten lang, doch gibt es wirklich eine viel kürzeren Beweis? Und kannte Fermat diesen vielleich? In stillen Stunden denke ich da gerne mal drüber nach, und immerhin für n = 3 (also kubische Systeme) gibt es einen spannende Lösung, die viel mit den Primzahlen zu tun hat.
Man kann den Beitrag als mathematisches Gedankenspiel betrachten. Soweit, so gut. Es fehlt aber völlig ein sozialer Aspekt. Selbst wenn man sein Fahrzeug mit Geschick und vielleicht auch Mathematik in die Parklücke gebracht hat, darf nicht vergessen werden, dass die anderen Fahrzeuge vielleicht ausgeparkt werden müssen. Dazu ist dessen Wendekreis, Radstand, Spurweite und nicht zuletzt das Können des anderen Fahrers zu berücksichtigen. Ohne dem ist einparken auf minimalem Raum zuweilen soziales Verhalten
Der Beitrag zeigt sehr schön, dass bei einem quadratischen Spielfeld der erste Spieler eine Gewinnstrategie besitzt. Es wäre in meinen Augen noch erwähnenswert gewesen, dass bei Chomp für alle Spielfeldgrößen (außer dem trivialen Fall 1x1) der erste Spieler gewinnen kann. Der Beweis hierfür ist zwar nicht konstruktiv, nutzt aber das Argument des Strategiediebstahls, das ich persönlich als überaus elegant ansehe: Angenommen, es gäbe stattdessen eine Gewinnstrategie des zweiten Spielers. Man betrachte nun den Fall, dass Spieler 1 das Feld ganz rechts oben entfernt. Gemäß unserer Annahme kann Spieler 2 dann im nächsten Zug seiner Gewinnstrategie folgen und langfristig unter Einhaltung dieser Strategie garantiert gewinnen. Da der Zug von Spieler 2 allerdings (mit gleichem Ergebnis) bereits für Spieler 1 im ersten Zug verfügbar war, kann Spieler 1 statt der Ecke rechts oben auch direkt der Gewinnstrategie von 2 folgen (sie quasi stehlen). Somit muss eine Gewinnstrategie für Spieler 1 existieren (da Chomp ein Spiel mit perfekter Information ist).
Widerspruch bei Lösung heutiger "Hemme-Aufgabe"
09.12.2022, Friedel FiedlerClickbait
09.12.2022, PeterConnection Machine
08.12.2022, Manfred PolakRattenfänger
08.12.2022, Thomas KeilMit großem Interesse habe ich Ihren Artikel über die Funde von Dackelknochen im Untergrund des Kolosseums gelesen, zumal ich selbst Besitzer eines selbstbewußten Dackels bin.
Allerdings stellt sich mir die Frage, ob diese Funde tatsächlich für Auftritte dieser Vierbeiner in der Arena sprechen. Ist es nicht viel naheliegender, daß die Dackel zur Rattenbekämpfung eingesetzt wurden?
Man muß sich nur vorstellen: ein Riesenbau wie das Kolosseum mit seinen zahlreichen unterirdischen Anlagen, Gängen, Abwasserrohren, dazu die Kadaver unzähliger getöteter Tiere, Essensvorräte für Menschen, Unmengen Tierfutter sowie Essensreste, die von Zuschauern hinterlassen wurden, das zieht doch Ratten an. Und wie lassen sich solche Schädlinge effektiv bekämpfen? Natürlich mit kleinen, mutigen und kämpferischen Hunden, die in enge Gänge und Kanäle kriechen können.
Was sagen Sie dazu? Ist das nicht viel wahrscheinlicher als ein Auftritt in der Arena?
Mit freundlichen Grüßen,
Thomas Keil
Mengengleichheit in Computerprogrammen
08.12.2022, Matthias Simonhttps://docs.oracle.com/en/java/javase/17/docs/api/java.base/java/util/Set.html#equals(java.lang.Object)
Hier wird beschrieben, wie zwei Mengen auf Gleichheit geprüft werden müssen. Und manchmal kann man solche Mengen-Vergleicher gut gebrauchen.
Gegeben sei z.B. eine Fläche, die aus 10x10 quadratischen Feldern besteht,
und 50 rechteckige Steine, die jeweils zwei Felder groß sind (Dominosteine).
Wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Fläche mit den Steinen zu pflastern?
Dazu habe ich ein Programm geschrieben. Es enthält ein Unterprogramm, welches zu einer noch freien Teilfläche berechnet, auf wie viele Arten diese Teilfläche gepflastert werden kann.
Dieses Programm zählt alle 258.584.046.368 Möglichkeiten einzeln ab. Das dauert über 6 Stunden.
Manche Teilflächen werden vom Unterprogramm wiederholt berechnet - oft tausende Male. Um das zu vermeiden, muss man, wenn man eine Teilfläche berechnet hat, das Ergebnis abspeichern. Dazu braucht man einen Cache, also eine Datenstruktur, welche zu Teilflächen jeweils eine Zahl - die Anzahl der möglichen Pflasterungen - speichern kann. Solche Datenstrukturen gibt es im JRE, sie benötigen aber einen Vergleicher für Teilflächen.
Eine Teilfläche ist nun nichts anderes als eine Menge von Feldern. Das JRE hält Vergleicher für Mengen bereit. Damit ist der Cache schnell programmiert.
Mit diesem Cache benötigt das Programm nur noch 0,07 Sekunden.
B, C, F und K?
07.12.2022, UlrichArtikel wirft neue Frage auf
06.12.2022, A. Faber"welche Mathelehrerin" es schaffen könne, dass jemand aus ihrer Klasse sicher einen Preis gewinnt.
Warum wird nur bei Frauen gesucht? Etwa weil männliche Lehrer das sowieso können?
Wenn es für diese Frage keine wissenschaflich haltbare Lösung gibt, ist die zitierte Fragestellung eindeutig misogyn!
Rätsel: Welchen Anteil hat das rote Dreieck
06.12.2022, Detlev JepsenParklücke
05.12.2022, LachSuper
05.12.2022, ArtieSuper schöner Artikel, danke! :)
Gefärbte Türme
04.12.2022, Andreas Schmidt1) Markieren der Basis des Start- und des Zielturmes mit weißer Farbe, die Basis des anderen Turmes mit schwarzer Farbe
2) Markieren der Scheiben, sodass die unterste Scheibe schwarz und die darüberliegenden Scheiben abwechselnd weiß und schwarz werden (bei einem Turm mit 4 Scheiben wären dann - von unten - die zweite und die vierte Scheibe schwarz, die anderen weiß)
3) So ziehen, dass jede Scheibe immer auf einer Scheibe oder Basis liegt, die eine andere Farbe hat (und man den letzten Zug nicht rückgängig macht).
Es sollte dann immer nur eine Zugmöglichkeit geben (insofern man nicht am nächsten Tag auf den zuletzt gemachten Zug vergessen hat).
Alternative Lösung zum Zahlenrätsel "Verwandlung"
03.12.2022, Thomas Reifgesuchte Zahl = 10 * Ausgangszahl - 99 * [Zehnerstelle der Ausgangszahl]
Beispiel: 75 <--> 57
1) Ausgangszahl 75:
gesuchte Zahl = 10 * 75 - 99 * 7 = 750 - 693 = 57
2) Ausgangszahl 57:
gesuchte Zahl = 10 * 57 - 99 * 5 = 570 - 495 = 75
Viele Grüße
Thomas
Großer Fermatscher Satz
03.12.2022, Jörn Schneider(a-) soziales Verhalten
03.12.2022, Harper23Erweiterbarkeit auf andere Spielfeldgößen
01.12.2022, Lukas BrannathEs wäre in meinen Augen noch erwähnenswert gewesen, dass bei Chomp für alle Spielfeldgrößen (außer dem trivialen Fall 1x1) der erste Spieler gewinnen kann.
Der Beweis hierfür ist zwar nicht konstruktiv, nutzt aber das Argument des Strategiediebstahls, das ich persönlich als überaus elegant ansehe:
Angenommen, es gäbe stattdessen eine Gewinnstrategie des zweiten Spielers. Man betrachte nun den Fall, dass Spieler 1 das Feld ganz rechts oben entfernt. Gemäß unserer Annahme kann Spieler 2 dann im nächsten Zug seiner Gewinnstrategie folgen und langfristig unter Einhaltung dieser Strategie garantiert gewinnen.
Da der Zug von Spieler 2 allerdings (mit gleichem Ergebnis) bereits für Spieler 1 im ersten Zug verfügbar war, kann Spieler 1 statt der Ecke rechts oben auch direkt der Gewinnstrategie von 2 folgen (sie quasi stehlen).
Somit muss eine Gewinnstrategie für Spieler 1 existieren (da Chomp ein Spiel mit perfekter Information ist).