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Sobald die ersten beiden Scheiben auf je einen der anfangs freien Stäbe gelegt wurden (und es ist völlig egal, welche Scheibe auf welchen Stab gelegt wurde), ist das Spiel schon aus, denn man darf weder eine größere Scheibe auf eine kleinere legen - die dritte ist bekanntlich größer als die erste und zweite - noch darf man vom mittleren oder rechten Stab die eine dort liegende Scheibe wegbewegen - man darf ja nur genau zwei bzw. genau drei Scheiben von jenen Stäben gemeinsam nehmen.

Ohne das Auswahlaxiom "kann nur die Realität" arbeiten. Um etwas zu beschreiben, man braucht das Auswahlaxiom zum Modellieren.
So verstehe ich gar nicht die Streitigkeit der Fachleuten.

Die Axiomen das Extensionalitäts-, das Leerenmengen- und das Ersetzungsaxiom bilden gemeinsam das Auswahlaxiom, das überhaupt das Modellieren erlaubt.

Führt das Auswahlaxiom zum Widerspruch oder zum Paradoxon, dann sollte man nicht das Auswahlaxiom schuldig machen, sondern sollte man untersuchen, was man nicht in Betracht gezogen hat. Oder was man falsch in Betracht gezogen hat.

Volumen Verdoppelung einer Kugel: In der Mathematik ist sie ein Paradoxon, aber in der Evolution ist sie der mathematische Basis zur Zellteilung. Tumor ist leider Extrem Beispiel hierzu.

Anschauliche Darstellung der Volumen Verdoppelung:
Volumen einer Kugel kann nur verdoppelt werden, wenn das Fläche der Kugel verdoppelt wird. Also, die Kugel muss so zerlegt werden, dass man das doppelte Fläche erhält.
Ich nehme hier eine Kugel mit Einheitsradius. Der Flächeninhalt=4×π.
Ich halbiere die Kugel und trenne sie. Jede halbe Kugel hat den Flächeninhalt 3×π.
Ich halbiere die halbe Kugel. So erhält man einen Flächeninhalt von 4×π. Das Fläche entspricht der Kugel. Ich forme das Fläche zur Kugel. Ich tue mit der anderen Hälfte das gleiche. Also, es würde das Volumen der Kugel verdoppelt.
Die Zellen "arbeiten" mit Zwischenmembranen.

(10 · 1 + 4 · 1/2 + 2 · 1/4)/(18 · 1 + 12 · 1/2 + 2 · 1/4) = 25/49 ≈ 51 Prozent

Man kann eine Scheibe von dem linken Stab nehmen und auf einen der beiden anderen legen, dann die zweite Scheibe vom linken Stab auf den verbleibenden (die zweite Scheibe ist größer und muss zwingend auf den verbleibenden Stab). Danach sind keine Spielzüge mehr möglich. Vom linken Stab können nur noch größere Scheiben genommen werden, die nirgends abgelegt werden können (Auf beiden Stäben ist eine kleinere Scheibe, aber es gilt die Regel: „Dabei darf niemals eine größere Scheibe auf eine kleinere gelegt werden“). Auf dem mittleren und rechten Stab sind je nur eine Scheibe, welche man nicht wegnehmen kann, da in der Mitte 2 und rechts 3 Scheiben weggenommen werden müssen. Ergo, es ist kein Spielzug mehr möglich. Oder hab ich das falsch verstanden?

Vielleicht übersehe ich da etwas, aber ich habe das an und für sich so gelöst (13 Züge): 3 Türme (T1-T3) 5 Scheiben (S1-S5). S5 ist die größte.
Zug 1 S1 (T1 auf T3); Zug 2 S2 (T1 auf T2); Zug 3 S1 auf S2 legen (also von T3 auf T2); Zug 4 S3 (T1 auf T3); Zug 5 S1/S2 auf S3 legen (also von T2 auf T3); Zug 6 S4 (T1 auf T2); Zug 7 S1/S2/S3 auf S4 legen (also von T3 auf T2); Zug 8 S5 (T1 auf T3); Zug 9 S1/S2 (T2 auf T1) [zur Veranschaulichung: T1: S1/S2 - T2: S3/S4 - T3: S5]; Zug 10 S3/S4 auf S5 legen (also von T2 auf T3); Zug 11 S1 (T1 auf T2); Zug 12 S2 (T1 auf T3); Zug 13 S1 (T2 auf T3). T3: S1/S2/S3/S4/S5 (wobei zuunterst S5 liegt).
Sollte ich etwas übersehen haben, bitte korregieren.

Das Rätsel ist auch ohne den dynamischen Programmierungsansatz (von hinten) durch eine vorausschauende Analyse als unlösbar zu erkennen.

Im ersten Zug muss immer die kleinste Scheibe auf Stab Mitte oder Rechts bewegt werden. Egal welcher gewählt wird: Da auf die kleinste Scheibe keine andere gelegt werden darf und vom Zielstapel nur 2 oder 3 Scheiben bewegt werden dürfen, ist der Zielstapel nach dem ersten Zug nicht mehr verwendbar und die Scheibe liegt fest. Daher kann sie auch nie am Ende aufgestapelt werden. Folglich ist das Rätsel unlösbar.

Wieso so kompliziert? Das kann man auch zeigen, ohne das Pferd von hinten aufzuzäumen.

Grundlegendere Frage: gibt es keine Möglichkeit mehr, die Rätsel zu kommentieren und zu diskutieren? Oft gibt es weitere, elegantere Lösungen, die man gerne anmerken würde. Das ging früher, soweit ich weiss, sogar - aber aktuell scheint es nicht gewünscht?

Schade dass in dem Artikel nicht näher auf den exponentiellen Wachstum der Anzahl der Züge eingegangen wird und dargelegt wird, dass die Umschichtung der eingangs erwähnten 64 Scheiben doch ein "wenig" länger dauern würde. Viele haben eben keine Ahnung wie schnell diese Zahlen explodieren.

Ein sehr belehren der Artikel. Es scheint, die Gelehrten damals viel mehr zu wissen als zu heute.
Danke für den Artikel

Vielen Dank, Frau Bischoff, für diesen sehr schönen und vor allem sehr einfach verständlichen Artikel zum Auswahlaxiom (Axiom of Choice, AC). Ich finde das Beispiel von den runden Kuchen beim Bäcker, die in ununterscheidbare Stück geschnitten sind, sehr elegant, um das Dilemma der exakt zu definierenden Auswahlregel zu illustrieren. (Auch wenn es technisch gesehen nicht ganz stimmt: Das Problem des AC ist die Verzagtheit bei unendlichen Mengen.)
Ich habe nur ein paar kleine Anmerkungen zum Artikel:

1. Die Aussage "Aus diesem Grund hat sich das Auswahlaxiom in der »Mainstream-Mathematik« durchgesetzt." ist fast schon zu schwach. Das AC gilt in der modernen Mathematik. Viele Erkenntnisse der Mathematik und abgeleitete Errungenschaften der Naturwissenschaften würde es ohne das AC nicht geben. Man kann Mathematik ohne AC betreiben, aber es ist in etwa so, als ob man Biologie betreibt, ohne an die Evolutionstehorie zu glauben.

2. Die Nicht-Messbarkeit der Vitali-Mengen ist keine Schwäche des AC, sondern die Schwäche der Vorstellung, \R^3 würde den real existierenden Raum eins-zu-eins modellieren. Beliebige Teilmengen (also Elemente der Potenzmenge) von \R^3 sind nicht mit unserer Vorstellung von Raum deckungsgleich, daher wirkt Banach-Tarski nur für uns Menschen paradox. In der Mathematik hilft man sich damit aus, dass man statt der Potenzmenge die Borelmenge von \R^3 anschaut, was sehr elegant und, auf den zweiten Blick, der intuitiven Vorstellung von Maß sehr viel näher kommt als die Potenzmenge.

3. Der mit dem AC äquivalente Wohlordnungssatz ist nicht ganz so absurd, wie er im Artikel erscheint. Dass das offene Intervall (0;1) kein minimales Element bezüglich der allgemein bekannten Ordnung "<" hat, ist auch in der Mathematik mit AC bekannt. Der Wohlordnungssatz sagt nur aus, dass man eine andere Ordnung definieren *kann*, nach der auch (0;1) ein minimales Element hat. Zugegeben, die Tatsache, dass man so eine Ordnung noch nicht "gefunden" hat, spricht natürlich nicht für das AC.

4. Die u. a. von der Annahme des AC abhängige Tatsache, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, ist der Satz von Hamel, vom Dürener Mathematiker Georg Hamel. Der Satz von Hamel ist eines der wichtigsten Korollare des Lemmas von Zorn, vom Krefelder Mathematiker Max August Zorn. Zorn musste 1933 vor den Nazis in die USA fliehen und war dann unter anderem in Yale tätig.

Schließlich möchte noch einmal für diesen brillianten Artikel danken.

Moin,

Wenn die mittlere Zahl als a gewählt wird, dann ergibt sich daraus
(a-1)*(a+1) für das Produkt der äußeren Zahlen. Durch Anwendung der dritten Binomischen Formel erhält man a^2 - 1^2 = a^2 - 1.

Hiermit lässt sich dann auch zeigen, dass für die weiteren Nachbarn (a±2,3,…) entsprende Beziehungen gelten.

Hallo Herr Eder.

Die Aussage gilt sogar für komplexe Zahlen. Gut sieht man das anhand der 3. binomischen Formel:

(a – b) ∙ (a + b) = a² – b²
mit
b = 1

Gruß, Sebastian

Sie kriegen halt kreisförmige Randstücke, wo die Mitte fehlt. Damit das nicht möglich ist, müssen Sie Randstück präziser definieren, und dann sind wir schnell bei: Wenn Gott allmächtig ist, kann er einen so schweren Stein schaffen, dass er selbst ihn nicht hochheben kann ?

Kann er, wenn Sie die Möglichkeit hinzuziehen, dass er nicht den Regeln der Kausalität unterliegt, die er schafft. Kann er also einen so schweren Stein schaffen, ohne die uns bekannten Regeln der Kausalität zu brechen? Und so weiter: Ganz egal, wie Sie das Allmachts-Axiom verteidigen wollen, es wurde bereits dadurch widerlegt, dass es auf ein Universum bezogen ist, in dem Realität durch Ausschluss von Alternativen definiert wird – durch einen fortdauernden Auswahlprozess von Möglichkeiten, einen Wettbewerb, bei denen nur dem Sieger ein Moment der physischen Existenz winkt, und alle anderen verfallen. Wenn Sie eine Auswahl treffen wollen, müssen Sie also die Koordinaten bestimmen – wann und wo gilt sie, und für wen?

Wenn Sie in einem Universum leben, in dem nur eckige Torten existieren, können Sie keinen Bezug zu einem Universum herstellen, in dem sie rund sind. Falls Sie in einem Komposit-Universum leben, in dem sich beide Bezugssysteme überlagern, müssen Sie sie auch beide parallel verwenden. Es ist eine Frage des Werkzeugs – Sie können sich ein Universum denken, in dem Sie bloß Subtrahieren brauchen, aber wenn Sie die Mathe auch auf 1+3 anwenden, kommt -2 raus. Sie können Randstück und Keilstück mit demselben Messer herausschneiden, aber nicht mit derselben Logik aussuchen. Wenn Sie Kuchen und Tee mit demselben Werkzeug essen wollen, nehmen Sie ja auch einen Löffel und keinen Strohhalm.

Mathe ist relativ, beschreibt also die Welt in Bezug auf einen Beobachter. Wenn Sie das einfach ignorieren, haben Sie zum Beispiel das Problem des Zoom-Faktors: Beim Heranzoomen zerfällt jedes Objekt in kleinere Objekte, beim Herauszoomen verschmilzt es mit ihnen zu einem Objekt.

Wieder hilft ein Blick auf die Realität: Der kleinste Baustein des Universums ist das Teilchen. Es kann nicht weiter unterteilt werden, wenn Sie es halbieren, haben Sie nicht ein Teilchen, sondern zwei. Sie haben seine Masse, Größe halbiert, also Werte, die immer von Teilchenschwärmen gebildet werden. Schon die Grundrechenarten sagen Ihnen, dass Dividieren und Multiplizieren das Gleiche sind. Wie lange muss man Mathe studieren, bis man zu genial ist, um die Grundrechenarten eines Blickes zu würdigen?

Dass Punkte relativ sind, sagt Ihnen schon der Heisenberg des Alltags: Jeder Bus, der an Ihnen vorbei fährt, befindet sich an mehreren Orten gleichzeitig, aber nirgendwo so richtig, bis Sie sich als Beobachter genau synchron mit ihm bewegen. Auch in der Zeit ist Napoleon ein Zeitpunkt oder eine Lebensspanne, abhängig vom Zoom-Faktor, und wenn sich beide Zeitpunkte überlagern, gilt auch hier die Unschärfe. Nördlich, südlich von Bielefeld ist ein Koordinatensystem, aber Nanometer sind hier als Messeinheit ziemlich nutzlos. Plancksche Zeit heißt, dass da mehrere Ereignisse zu einem zusammenfallen, aber das bedeutet nur, dass sie alle zusammen die Mindest-Energiemenge entfalten, um als Pixel unseres Universums zu existieren – wie viele Myriaden Ereignisse über Äonen zusammenkommen müssen, damit das zufällig ausnahmsweise mal passiert, weiß ich nicht, aber für die Quantenwelt sind wir Galaxien, und die Zeitdilatation dürfte entsprechend sein.

Das Bezugssystem des Beobachters macht Objekte zu Mengen, Punkte zu Linien, Richtungen zu Räumen, Festes zu Unbestimmten, Endliches zu Unendlichem, und umgekehrt. Mathe gilt immer nur in einem bestimmten Bezugssystem, und wenn Sie unbeabsichtigt zwischen den Bezugssystemen wechseln, fliegen Ihnen unter Umständen alle Axiome um die Ohren.

Sie befinden sich in einem dynamischen, sich stets neu zusammensetzenden Fraktal. Wenn die Mathe nicht damit fertig wird, ist das deren Problem, und nicht das des Fraktals.

Noch offensichtlicher wird es, wenn man von der mittleren Zahl ausgeht, dann hat man nämlich die dritte binomische Formel: (n-1)*(n+1)=n^2-1

Die Mathematik ist nicht am Ende, liebe Manon. Die Physik sucht währenddessen nach der Weltformel - mit Hilfe der Mathematik! Heißt das nicht, dass die Physik warten muss?