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Ich habe einen alternativen Lösungsweg. Der Lösungsweg fällt mir persönlich leichter als der Vorgeschlagene.
Sei s die Anzahl schmaler Streifen, und b die Anzahl breiter Streifen. Für jeden Barcode gilt: (1) s = 12 - 2b (Länge 12) (2) s ist gerade (folgt aus (1)) (3) s+b ist ungerade (beide Ränder sind Schwarz) (4) b ist ungerade (folgt aus (2) und (3)) (5) b ∊ {1,3,5} (folgt aus (4), weil weder s noch b kleiner als 0 sein darf)
Bei fester Streifenzahl die Frage, wie viele Möglichkeiten wir haben, an welcher Stelle der breite Streifen sein kann. Dies wurde in der Stochastik schon ausreichend erforscht, daher können wir die Anzahl aller Barcodes mit b Breiten streifen einfach mittels Binomialkoeffizient berechnen: (s+b) über b. Da wir wissen, dass s = 12 - 2b, können wir das vereinfachen zu (12-b) über b.
Die Gesamtzahl ist also: Summe über b ∊ {1,3,5}: (12-b) über b.
Weil zumindest mein Taschenrechner summen über Mengen nicht mag, sei n=(b+1)/2 (sodass b = 2n - 1) und erhalten: Summe von n = 1 bis 3: (12 - (2n - 1)) über (2n - 1). = Summe von n = 1 bis 3: (13 - 2n) über (2n - 1). = Summe von n = 1 bis 3: (13 - 2n)! / ((2n - 1)! * (14-4n)!) Den Rest erledigt der Taschenrechner. Wie erwartet kommt dasselbe Ergebnis raus: 116.
Für Barcodes beliebiger Länge l lässt sich dies übrigens berechnen als: Summe über b ∊ {x ∊ ℤ | (x ist gerade⇔l ist ungerade) ∧ (0 ⩽ x ⩽ l/2)}: (l-b) über b. Beziehungsweise in der Taschenrechner freundlichen Form (mit g=1, falls l gerade, oder g=0 falls l ungerade): Summe von n = 1 bis ⌈l/4⌉: l+g-2n über 2n-g = Summe von n = 1 bis ⌈l/4⌉: (l+g-2n) / ((2n-g)! * (l+2g-4n)!)
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Alternativer Lösungsweg
13.05.2024, PatrickSei s die Anzahl schmaler Streifen, und b die Anzahl breiter Streifen.
Für jeden Barcode gilt:
(1) s = 12 - 2b (Länge 12)
(2) s ist gerade (folgt aus (1))
(3) s+b ist ungerade (beide Ränder sind Schwarz)
(4) b ist ungerade (folgt aus (2) und (3))
(5) b ∊ {1,3,5} (folgt aus (4), weil weder s noch b kleiner als 0 sein darf)
Bei fester Streifenzahl die Frage, wie viele Möglichkeiten wir haben, an welcher Stelle der breite Streifen sein kann. Dies wurde in der Stochastik schon ausreichend erforscht, daher können wir die Anzahl aller Barcodes mit b Breiten streifen einfach mittels Binomialkoeffizient berechnen: (s+b) über b. Da wir wissen, dass s = 12 - 2b, können wir das vereinfachen zu (12-b) über b.
Die Gesamtzahl ist also:
Summe über b ∊ {1,3,5}: (12-b) über b.
Weil zumindest mein Taschenrechner summen über Mengen nicht mag, sei n=(b+1)/2 (sodass b = 2n - 1) und erhalten:
Summe von n = 1 bis 3: (12 - (2n - 1)) über (2n - 1).
= Summe von n = 1 bis 3: (13 - 2n) über (2n - 1).
= Summe von n = 1 bis 3: (13 - 2n)! / ((2n - 1)! * (14-4n)!)
Den Rest erledigt der Taschenrechner. Wie erwartet kommt dasselbe Ergebnis raus: 116.
Für Barcodes beliebiger Länge l lässt sich dies übrigens berechnen als:
Summe über b ∊ {x ∊ ℤ | (x ist gerade⇔l ist ungerade) ∧ (0 ⩽ x ⩽ l/2)}: (l-b) über b.
Beziehungsweise in der Taschenrechner freundlichen Form (mit g=1, falls l gerade, oder g=0 falls l ungerade):
Summe von n = 1 bis ⌈l/4⌉: l+g-2n über 2n-g
= Summe von n = 1 bis ⌈l/4⌉: (l+g-2n) / ((2n-g)! * (l+2g-4n)!)