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Das Problem bei der Beweisführung über vollständige Induktion ist häufig, dass man erstmal die richtige Formel finden muss, respektive sie in einer Aufgabenstellung vermeintlich "vom Himmel fällt" und sich der mathematische Knobelfreund fragt, wie man darauf kommt. So auch hier. Klar, wenn man die Summenformel anhand der ersten Reihen prüft, merkt man das sie stimmen könnte. Aber: sie lässt sich auch herleiten! Man schreibt sich die Summe einer Reihe n (Sn) etwas um. Dazu nimmt man die Vorgängerzahl der Reihe n-1 (Vn), zieht sie von allen Elementen der Reihe n ab und schreibt sie n-Mal dazu. Damit ist Sn = Vn*n + 2+4+6+... Der zweite Teil des Terms lässt sich anders schreiben, so dass: Sn = Vn*n + 2*(1+2+3+...) Der Ausdruck in der Klammer ist nach Gauß: n*(n+1)/2, so dass man zusammenfassen kann: Sn = Vn*n + n*(n+1) Was ist nur Vn in Bezug auf die Reihe n? Nun, die Anzahl der Elemente im gesamten Dreieck vor der Reihe n ist wieder nach Gauß: 1+2+...+ (n-1) und der Wert der Zahl am Ende der Reihe n-1 ist das Doppelte der Anzahl. Also: Vn = 2*(n-1)*n/2 = (n-1)*n Setzt man das in die Summenformel ein, erhält man: Sn = (n-1)*n*n + n*(n+1) = n^3 + n (q.e.d.)
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Muss nicht per Induktion bewiesen werden
05.07.2024, Martin QuedzuweitMan schreibt sich die Summe einer Reihe n (Sn) etwas um. Dazu nimmt man die Vorgängerzahl der Reihe n-1 (Vn), zieht sie von allen Elementen der Reihe n ab und schreibt sie n-Mal dazu. Damit ist
Sn = Vn*n + 2+4+6+...
Der zweite Teil des Terms lässt sich anders schreiben, so dass:
Sn = Vn*n + 2*(1+2+3+...)
Der Ausdruck in der Klammer ist nach Gauß: n*(n+1)/2, so dass man zusammenfassen kann:
Sn = Vn*n + n*(n+1)
Was ist nur Vn in Bezug auf die Reihe n?
Nun, die Anzahl der Elemente im gesamten Dreieck vor der Reihe n ist wieder nach Gauß: 1+2+...+ (n-1) und der Wert der Zahl am Ende der Reihe n-1 ist das Doppelte der Anzahl. Also:
Vn = 2*(n-1)*n/2 = (n-1)*n
Setzt man das in die Summenformel ein, erhält man:
Sn = (n-1)*n*n + n*(n+1) = n^3 + n
(q.e.d.)