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Die Antwort kann nicht richtig sein: Sei a = 3 und b = 2 dann hat Anna im ersten Fall 3 mal Kopf und Britta 2 mal Kopf. da 21-3= 20-2 haben im "Gegenpaar" beide glöich häufig Kopf. Der Fall, dass beide gleich häufig Kopf werden, wird allso nicht berücksichtigt. Ich bekomme als Wahrscheinlichkeit 50%, dass Anna in ihren 21 Wüefen häufiger als Britta in ihren 20 Würfen Kopf wirft. Hier meine Argumentation.: Nach 20 Würfen gibt es die Wahrscheinlichkeit x, dass beide gleich oft Kopf geworfen haben. Aus Symmetriegründen hat dann Anna (1-x)/2 mal mehr Kopf als Britta gworfen und auch (1-x)/2 weniger. Wenn sie weniger als Britta hat, kann sie im letzten Wurf maximal ausgleichen. Hat sie dagegen nach 20 Würfen mehr, wird sie auch nach dem 21. Wurf mehr haben. Wenn sie glech viele hat, kann sie im letzten Wurf mit 50% Wahrscheinlichkeit Kopf werfen. Ihre Chance zu gewinnen ist also (1-x)/2 +x/2 = 1/2. Sowohl meine Argumentation als auch die Argumentation von Prof. Hemme ist unabhängig von 20, sie funktioniert also für alle n= 0,1,2,3. Deshalb testen wir n=0: in dem Fall hat Britta bei 0 Würfen 0 mal kopf und Anna hat bei einem Wurf 50% mal Kopf . Dies stimmt mit meiner Lösung überein und widerspricht Prof. Hemmes Lösung. Da 0 ein Sonderfall ist testen wir auch n= 1, also Britta wirft einmal und Anna zweimal. Anna hat mit 50% Wahlscheinlichkeit 0 mal Kopf und mit 50% Wahrscheinlichkeit 1 mal Kopf. Im ersten Fall hat Anne mehr Kopf wenn sie mindestens einmal Kopf wirft, also in 3/4 der Fälle, Im zwieten Fall braucht Anna 2 mal Kopf, was sie in 1/4 der Fälle erreicht. 1/2 * 3/4 + 1/2 *1/4 = 1/2, was auch wieder meiner Lösung entspricht. Mit etwas Aufwand könnte man auch noch n=2 und n=3 per "Hand" prüfen, für einen Mathematiker ist das aber nicht mehr nötig. Einem Mathematiker reicht die Plausibilitätsprüfung n=0, um zu checken, dass er sich nicht verrechnet hat. Viele Grüße, Horst Cohen
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Hemmes mathematische Rätsel vom 25.12.2024
26.12.2024, Horst CohenIch bekomme als Wahrscheinlichkeit 50%, dass Anna in ihren 21 Wüefen häufiger als Britta in ihren 20 Würfen Kopf wirft. Hier meine Argumentation.: Nach 20 Würfen gibt es die Wahrscheinlichkeit x, dass beide gleich oft Kopf geworfen haben. Aus Symmetriegründen hat dann Anna (1-x)/2 mal mehr Kopf als Britta gworfen und auch (1-x)/2 weniger. Wenn sie weniger als Britta hat, kann sie im letzten Wurf maximal ausgleichen. Hat sie dagegen nach 20 Würfen mehr, wird sie auch nach dem 21. Wurf mehr haben. Wenn sie glech viele hat, kann sie im letzten Wurf mit 50% Wahrscheinlichkeit Kopf werfen. Ihre Chance zu gewinnen ist also (1-x)/2 +x/2 = 1/2.
Sowohl meine Argumentation als auch die Argumentation von Prof. Hemme ist unabhängig von 20, sie funktioniert also für alle n= 0,1,2,3.
Deshalb testen wir n=0: in dem Fall hat Britta bei 0 Würfen 0 mal kopf und Anna hat bei einem Wurf 50% mal Kopf . Dies stimmt mit meiner Lösung überein und widerspricht Prof. Hemmes Lösung.
Da 0 ein Sonderfall ist testen wir auch n= 1, also Britta wirft einmal und Anna zweimal. Anna hat mit 50% Wahlscheinlichkeit 0 mal Kopf und mit 50% Wahrscheinlichkeit 1 mal Kopf.
Im ersten Fall hat Anne mehr Kopf wenn sie mindestens einmal Kopf wirft, also in 3/4 der Fälle, Im zwieten Fall braucht Anna 2 mal Kopf, was sie in 1/4 der Fälle erreicht. 1/2 * 3/4 + 1/2 *1/4 = 1/2, was auch wieder meiner Lösung entspricht. Mit etwas Aufwand könnte man auch noch n=2 und n=3 per "Hand" prüfen, für einen Mathematiker ist das aber nicht mehr nötig. Einem Mathematiker reicht die Plausibilitätsprüfung n=0, um zu checken, dass er sich nicht verrechnet hat.
Viele Grüße, Horst Cohen