Es geht mit Oktaedern und Tetraedern gemeinsam.

Diese Kombination aus einem Oktaeder und zwei Tetraedern (gemeint sind hier stets regelmäßige Oktaeder und Tetraeder) ist ein Rhombenhexaeder, also sozusagen ein schräger Würfel, und von dem kann man beliebig viele Exemplare in allen drei Richtungen zusammenstapeln. Also braucht man doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder. (Na ja, wenn man den unendlichen Raum füllen will, braucht man von beiden Sorten unendlich viele, und wo ist der wesentliche Unterschied zwischen unendlich und zeimal unendlich? Aber das kann man schon vernünftig definieren: Anteile in (zum Beispiel) einem großen Würfel, und dann Grenzwert für Würfelgröße gegen unendlich …)

Welchen Anteil des Volumens nehmen die beiden Körpersorten ein? (Gleicher Einwand wie oben, lässt sich ebenfalls durch eine Grenzwertbetrachtung erledigen.)

Setzt man nicht 2, sondern 4 Tetraeder auf das Oktaeder, so erhält man ein Tetraeder der doppelten Kantenlänge, also des 8-fachen Volumens. Das Oktaeder hat also genau das vierfache Volumen des kleinen Tetraeders (nämlich die Hälfte des großen).

Man benötigt also zur Raumfüllung doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder, aber die letzteren nehmen 2/3 des Volumens ein.

Setzt man auf alle 8 Flächen des Oktaeders ein Tetraeder, so bekommt man Keplers 8-zackigen Stern "Stella octangula", dessen Kanten in den Flächendiagonalen eines Würfels liegen. Man kann ihn auch als Vereinigungsmenge von zwei sich teilweise durchdringenden Tetraedern auffassen, die zu einander punktsymmetrisch in einem gemeinsamen Würfel sitzen.