In der Schule lernt man einige grundlegende mathematische Regeln kennen. Dazu zählt, dass man nicht durch null teilen und nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen darf. Während Ersteres mathematisch tatsächlich nicht definiert ist, wird einem in der Oberstufe (oder spätestens im Studium eines mathelastigen Fachs) beigebracht, dass das zweite Verbot nicht in Stein gemeißelt ist. Will man etwa Licht als elektromagnetische Welle beschreiben, Ströme in elektrischen Schaltkreisen berechnen oder die Quantenmechanik formulieren: In all diesen Fällen erweisen sich »imaginäre Zahlen« als nützlich – also jene Werte, die quadriert ein negatives Ergebnis liefern. Auf dem gewöhnlichen Zahlenstrahl sind imaginäre Zahlen nicht verortet. Kein Wunder also, dass die Objekte erst im 16. Jahrhundert entwickelt wurden – und es zwei weitere Jahrhunderte dauerte, bis sie wirklich weithin akzeptiert waren.

Die Erfindung der imaginären Zahlen steckt voller Machtkämpfe und Intrigen. Schauplatz ist das nördliche Italien des 16. Jahrhunderts, als die Habsburger und das Haus Valois um die Vorherrschaft Europas kämpften und es dadurch immer wieder zu Kriegen kam. Die Hauptakteure der Geschichte sind die italienischen Gelehrten Girolamo Cardano (1501–1576) und Nicolo Tartaglia (1500–1557): Zwischen beiden entwickelte sich ein erbitterter Streit, aus dem Cardano als Sieger hervorgehen sollte. Aber lassen Sie mich die Geschichte von Anfang an erzählen.

Sie beginnt mit dem Mathematiker Scipione del Ferro (1465–1526), der um das Jahr 1515 erstmals eine Lösungsformel für kubische Gleichungen der Form x³ + px = q gefunden hatte. Das war eine Sensation: Man wusste zwar schon lange, wie sich quadratische Gleichungen lösen lassen, doch wegen der jahrhundertelangen erfolglosen Suche nach einer Art p-q-Formel für kubische Gleichungen gingen viele davon aus, dass das Problem unlösbar sei. Auch wenn del Ferro sich bloß einem Spezialfall kubischer Gleichungen gewidmet hatte, deren quadratische Komponente null ist, stellte sein Ergebnis einen enormen Fortschritt dar. Trotz der Tragweite seiner Arbeit machte del Ferro sie aber nicht publik, sondern teilte die Resultate nur mit seinen engsten Vertrauten.

Forschungsergebnisse wurden damals geheim gehalten

Was heute vollkommen unlogisch scheint, war damals keine Seltenheit, denn Mathematik-Duelle waren sehr verbreitet. Jeder konnte Mathematikprofessoren herausfordern und damit deren berufliche Karriere ruinieren. Bei einem Duell stellten sich die Kontrahenten gegenseitig Rechenaufgaben, die sie innerhalb einer bestimmten Zeit lösen mussten. Nach Ablauf der Frist wurden die Ergebnisse öffentlich vorgestellt. Schnitt ein Professor schlecht ab, konnte er seine Stelle verlieren – nicht selten wurde sie an den Herausforderer vergeben. Daher behielten viele Gelehrte ihre Erkenntnisse für sich, um keine Aufmerksamkeit auf sich zu ziehen und im Falle eines Duells einen Vorteil zu haben.

Nachdem del Ferro gestorben war, wollte einer seiner Schüler, Antonio Maria del Fiore, dieses Duell-System ausnutzen, um sich einen Namen zu machen. Er gehörte zu den wenigen Eingeweihten, denen del Ferro seine geheime Lösungsformel anvertraut hatte. Mit diesem Wissen hoffte er im Jahr 1535, den Mathematiker Tartaglia, den Hauptakteur der Geschichte, in einem Duell zu besiegen.

Tartaglia wurde unter dem Namen Nicolo Fontana geboren. Als er zwölf Jahre alt war, eroberten französische Truppen seine Heimatstadt Brescia und richteten ein Massaker an, bei dem 45 000 Einwohner starben. Fontana überlebte schwer verletzt, seine Narben kaschierte er mit einem dichten Bart – doch das Stottern wurde er nicht los. Er machte diese Eigenschaft zu seinem Namen; Tartaglia bedeutet übersetzt »der Stotterer«. Mit Mitte 30 lebte Tartaglia in Venedig, wo er als Mathematiklehrer an verschiedenen Schulen arbeitete. Er hatte gerade herausgefunden, wie man eine andere Art kubischer Gleichung löste: jene, deren linearer Term null war, also: x³ + px² = q. Da eine solche Gleichung eine andere Lösungsmethode erfordert als jene von del Ferro, glaubte del Fiore, Tartaglia besiegen zu können. Tartaglia nahm die Herausforderung an, in der Hoffnung, so seine berufliche Stellung zu verbessern.

Die beiden Gegner ließen sich jeweils 30 Aufgaben zukommen, die sie innerhalb von 40 Tagen lösen sollten. Del Fiore setzte alles auf eine Karte und stellte seinem Kontrahenten ausschließlich Probleme des Typs x³ + px = q. Doch er hatte ihn unterschätzt: Tartaglia tüftelte tagelang an einem Lösungsansatz – und war schließlich erfolgreich. Kurz vor Ablauf der Frist fand Tartaglia eine Formel und konnte die Aufgaben nach eigenen Angaben innerhalb von bloß zwei Stunden lösen. Del Fiore schien hingegen kein besonders begabter Mathematiker zu sein. Trotz der übermittelten Lösungsformel von del Ferro konnte er nicht eine einzige der von Tartaglia gestellten kubischen Probleme berechnen.

Durch den Wettstreit zwischen del Fiore und Tartaglia wurde der zweite Hauptdarsteller der Geschichte, Girolamo Cardano, auf das Thema aufmerksam. Der angesehene Mathematiker und Mediziner verfolgte das Duell mit Spannung, denn er war bisher davon ausgegangen, dass keine allgemeine Lösungsformel zu kubischen Gleichungen existiert. Als Tartaglia sein Können unter Beweis stellte, war für Cardano klar, dass dieser einen erstaunlichen Durchbruch erzielt haben musste. Aber wie damals üblich, veröffentlichte auch Tartaglia seine Lösungsformel nicht – sondern nur die Ergebnisse zu den Aufgaben des Duells, die sich leicht nachprüfen ließen. Cardanos Neugier war geweckt. Und so nahm er Kontakt zu Tartaglia auf, um die Lösung zu erfahren.

Tartaglia weigerte sich aber, sein Geheimnis preiszugeben. Denn er hatte damals keinen guten beruflichen Stand: Er musste sich immer wieder behaupten, um seine Anstellung zu verlängern. Daher konnte er es sich nicht leisten, sein Wissen zu teilen und so unter Umständen seinen Vorteil bei einem Duell zu verlieren. Doch Cardano ließ nicht locker: Er versprach, niemandem von der Methode zu erzählen und sie nicht zu veröffentlichen. Außerdem deutete er an, seine Beziehungen zu wichtigen Personen in Mailand nutzen zu können, um Tartaglia eine bessere Anstellung zu verschaffen. Tartaglia knickte daraufhin ein und teilte Cardano sein Geheimnis in Versform mit.

In moderner Notation heißt das: Hat man eine Gleichung der Form x³ + px = q, muss man zwei Zahlen u und v mit folgenden Eigenschaften suchen: u − v = q und u · v = (p/3)³. Dann ist ∛u + ∛v die Lösung der kubischen Gleichung.

Mit diesem Wissen war der Damm gebrochen: Cardano schaffte es, Tartaglias Ergebnisse zu verallgemeinern, und fand Lösungsformeln für jede Art von kubischer Gleichung. Denn ihm war Folgendes aufgefallen: Wenn man in der allgemeinen Gleichung x³ + px² + qx = r die Variable x durch t −q/3 ersetzt, erhält man eine neue Gleichung mit der Variablen t der Form: t³ + q't = r', für die Tartaglia eine Lösungsformel besaß.

»Wurzeln aus negativen Zahlen sind ebenso raffiniert wie nutzlos«Girolamo Cardano, Mathematiker

Als Cardano verschiedene Spezialfälle durchging, fiel ihm etwas Ungewöhnliches auf. Wollte er zum Beispiel die Gleichung x³ = 15x + 4 lösen, musste er zwei Zahlen u und v finden, die die beiden Gleichungen u + v = 4 und u · v = 125 erfüllen. Was wäre ein passendes Zahlenpaar? Heutzutage kann man ja glücklicherweise »tricksen« und das Problem algebraisch angehen. Dazu muss man die beiden Gleichungen ineinander einsetzen und nach v auflösen: v = 2 ± √(4−125) = 2 ± √(−121). Doch genau das war Cardanos Problem: Er war auf die Wurzel einer negativen Zahl gestoßen. Der Mathematiker bezeichnete das Ergebnis als »ebenso raffiniert wie nutzlos«, ging in seinen nachfolgenden Arbeiten aber nicht weiter darauf ein.

All diese Berechnungen tätigte Cardano zunächst im Verborgenen mit seinem Schüler Lodovico Ferrari (1522–1569), der später sogar eine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades fand. Da Cardano hauptsächlich als Mediziner sein Geld verdiente, brauchte er seine mathematischen Erkenntnisse nicht vor der Öffentlichkeit geheim zu halten. Selbst wenn er ein Duell verlieren würde, hätte das keine Konsequenzen für seine berufliche Laufbahn gehabt. Wegen seines Versprechens an Tartaglia musste er die Ergebnisse dennoch für sich behalten. Zumindest bis zum Jahr 1543, als der Schwiegersohn des verstorbenen Mathematikers del Ferro an Cardano und Ferrari herantrat: In den Notizbüchern seines Schwiegervaters hatte er die Lösungsformel für kubische Gleichungen entdeckt, die Tartaglia ebenfalls erarbeitet hatte. Nur, dass del Ferro sie lange von Tartaglia gefunden hatte.

Für Cardano änderte das alles. Wenn Tartaglia nicht der Urheber der Lösungsformel war, entband ihn das aus seiner Sicht von der Geheimhaltungspflicht. Und so veröffentlichte Cardano zwei Jahre später sein Hauptwerk, die »Ars Magna«, in der er die Lösungsformeln für die vielen Spezialfälle von kubischen Gleichungen sowie Ferraris Lösung für Gleichungen vierten Grades präsentierte. Zwar mag er damit Tartaglia hintergangen haben, doch muss man Cardano zugutehalten: Er beanspruchte die Erfolge nicht für sich allein, sondern nannte sowohl Ferrari, Tartaglia als auch del Ferro als Entdecker der verschiedenen Lösungen.

Hatte Cardano das Recht, die Formel zu veröffentlichen?

Dennoch war Tartaglia extrem verärgert, als er von der Veröffentlichung erfuhr. Er begann, allerlei Briefe an Cardano zu senden und zu veröffentlichen, in denen er ihn beleidigte (unter anderem bezeichnete er ihn als einfältig). Auch wenn seine Wut zumindest teilweise nachvollziehbar ist, ging Cardanos Werk über das hinaus, was Tartaglia herausgefunden hatte: Er hatte unter anderem Tartaglias Ergebnisse verallgemeinert und besprach die vielen verschiedenen Anwendungsfälle im Detail. Angesichts der Flut an Beleidigungen hielt sich Cardano bedeckt. Doch Ferrari konnte den Anfeindungen nicht tatenlos zusehen und nahm seinen Lehrer in Schutz.

Das führte im Jahr 1548 erneut zu einem berüchtigten Duell: Dieses Mal zwischen Ferrari und Tartaglia. Letzterem wurde im Fall eines Sieges eine angesehene Festanstellung in Brescia versprochen. Doch während des Kräftemessens musste sich Tartaglia bereits nach dem ersten Tag geschlagen geben und eingestehen, dass er Ferrari unterlegen war. Trotzdem hielt er ein Jahr lang eine Vorlesung in Brescia, die wegen seiner Niederlage jedoch nicht entlohnt wurde.

»Zuerst schien mir die Sache mehr auf einem Trugschluss als auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte, bis ich den Beweis fand«Rafael Bombelli, Mathematiker

So nahm die Geschichte der zwei Hauptcharaktere ein bitteres Ende: Tartaglia starb 1557 in Armut, während Cardano 1570 wegen Ketzerei inhaftiert wurde und damit seine Lehrtätigkeit verlor. Bis heute sind die Lösungsformeln für kubische Gleichungen als Cardanische Formeln bekannt.

Was wurde aus den imaginären Zahlen?

Die ominösen Wurzeln aus negativen Zahlen, die Cardano entdeckt hatte, blieben mehrere Jahrzehnte unberührt. Bis ein weiterer italienischer Mathematiker, Rafael Bombelli (1526–1572), sie kurz vor seinem Tod wieder aufgriff. Als er die Lösungen von kubischen Gleichungen untersuchte, die Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten, erkannte er ein Muster: in u und v schienen diese seltsamen Terme immer mit unterschiedlichem Vorzeichen aufzutauchen, etwa bei: v = 2 + √(−121) und u = 2 − √(−121) für die kubische Gleichung x³ = 15x + 4. Bombelli vermutete, dass die negativen Wurzeln in der endgültigen Lösung x wegfallen könnten – und somit bloß ein seltsames Werkzeug wären, um eine reelle Lösung zu erhalten. Also tat er so, als würden Wurzeln aus negativen Zahlen existieren, und rechnete damit. »Zuerst schien mir die Sache mehr auf einem Trugschluss als auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte, bis ich den Beweis fand«, schrieb Bombelli in seinen Büchern »L'algebra«, die in den 1570er Jahren erschienen.

Sollte sein Verdacht korrekt sein, dann müssten die Kubikwurzeln ∛vu und ∛v die gleiche Struktur aufweisen wie u und v, sich also als Summe einer reellen Zahl und der Wurzel einer negativen Zahl schreiben lassen. Damit hatte Bombelli, ohne es zu benennen, erstmals das Konzept der »komplexen Zahlen« eingeführt. Für das oben genannte Beispiel bedeutet das: ∛(2 + √(−121)) = a + √(−b) und ∛(2 − √(−121)) = a − √(−b). Und tatsächlich: Wenn man die Gleichungen jeweils mit drei potenziert und dann addiert, heben sich alle Wurzeln aus negativen Zahlen weg. Die Lösung des Problems ist dann durch a = 2 und b = 1 gegeben – was zu einem reellen Ergebnis führt: x = a + √(−b) + a − √(−b) = 2a = 4. Dass dieses Ergebnis korrekt ist, kann man schnell prüfen: 4³ = 64 = 15 · 4 + 4.

Damit tauchten Wurzeln aus negativen Zahlen erstmals in mathematischen Berechnungen auf. Doch sie dienten nur als Hilfsmittel, um ein reelles Ergebnis zu berechnen. Man maß ihnen keinen weiteren Wert oder tatsächliche »Existenz« bei. Das war der Grund, weshalb der Gelehrte René Descartes im 17. Jahrhundert solche Größen als »imaginäre Zahlen« bezeichnete – und ihnen damit einen Namen verlieh. Es dauerte weitere 100 Jahre, bis Leonhard Euler eine geometrische Darstellung fand: Eine komplexe Zahl a + √(−b), wie Bombelli sie bereits eingeführt hatte, lässt sich als Punkt mit den Koordinaten (a, b) in einer Zahlenebene veranschaulichen. Damit spannen die imaginären Zahlen einen eigenen Zahlenstrahl auf, der senkrecht zu den reellen Zahlen steht.

Inzwischen haben komplexe Zahlen ihren festen Platz in der Mathematik und werden längst nicht mehr als bloßes Werkzeug betrachtet. Das ist in den übrigen Naturwissenschaften anders: Zwar trifft man auch dort in einigen Gleichungen auf imaginäre Werte. Da Messungen aber immer nur reelle Ergebnisse liefern können, ging man bis vor Kurzem davon aus, dass sich unsere Welt auch ohne komplexe Zahlen beschreiben lässt – auch wenn eine rein reelle Formulierung unter Umständen sehr kompliziert ausfallen kann. Das scheint jedoch nicht auf die Quantenmechanik zuzutreffen: Mehrere Experimente aus dem Jahr 2021 deuten darauf hin, dass die Quantenphysik auf imaginäre Werte angewiesen ist. Die Geschichte der imaginären Zahlen ist also noch nicht zu Ende: Sie sind jetzt noch ein kleines Stückchen realer geworden.

​​Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!