»Herr Heisenberg, wissen Sie, wie schnell Sie gerade gefahren sind?«, fragt ein Polizist bei einer Verkehrskontrolle. »Nein, aber ich kann Ihnen ziemlich genau sagen, wo wir uns befinden.« Um diesen beliebten Nerd-Witz zu verstehen, muss man sich ein wenig mit Quantenmechanik auskennen. Die Theorie besagt, dass man den Ort und die Geschwindigkeit eines Objekts niemals gleichzeitig beliebig genau bestimmen kann. Je genauer man die Position eines Teilchens ermitteln möchte, desto größer ist die Ungewissheit über dessen Geschwindigkeit und umgekehrt. Das hat nichts mit ungenauen Messverfahren zu tun, die in jedem Experiment auftreten: Selbst wenn man ein perfektes Labor zur Verfügung hätte, ist die heisenbergsche Unschärferelation tief in der Physik selbst verankert – nicht einmal auf dem Papier lassen sich beide Größen exakt berechnen.

Die Unschärferelation ist berühmt, weil sie unserer alltäglichen Erfahrung widerspricht. Schließlich ist es kein Problem, für makroskopische Objekte wie ein Auto, eine Person und selbst ein Staubkorn Position und Geschwindigkeit sehr genau anzugeben. Wie sich aber herausstellt, ist die Unschärferelation keine Eigenheit der seltsamen Quantenwelt, sondern taucht auch in alltäglichen Situationen auf. Denn die Unschärferelation ist eine Eigenschaft, die sich durch die Mathematik von Wellen ergibt.

Das hat weit reichende Konsequenzen, was sich besonders deutlich bei der Ortung mittels Radar zeigt. Bei Radarmessungen schickt man eine Funkwelle los und detektiert dann das vom Objekt reflektierte Signal. Aus der Zeit, die die Welle bis zur Rückkehr gebraucht hat, lässt sich ermitteln, wie weit das Objekt entfernt ist. Je kürzer das Signal, desto genauer kann man die Position bestimmen. Aus der leidlichen Erfahrung mit Blitzern wissen Sie aber wahrscheinlich, dass ein Radar auch angeben kann, wie schnell sich etwas bewegt. Bewegen Sie sich in einem Auto auf einen Blitzer zu, dann verzeichnet er ein von Ihnen reflektiertes Signal mit einer höheren Frequenz: Die Welle wird durch den Doppler-Effekt »zusammengepresst« (aus dem gleichen Grund klingt die Sirene eines herannahenden Feuerwehrwagens höher, als die des sich entfernden Fahrzeugs). Um herauszufinden, mit welcher Geschwindigkeit Sie unterwegs sind, muss der Blitzer also die Frequenz des reflektierten Signals möglichst exakt bestimmen.

Doch genau da macht uns die Mathematik einen Strich durch die Rechnung: Um die Entfernung zum Objekt möglichst genau zu bestimmen, muss der Puls des Signals möglichst kurz sein. Doch je kürzer der Puls, desto schlechter lässt sich dessen Frequenz bestimmen.

Man muss sich also entscheiden: Entweder man kann die Position eines Objekts genau ermitteln oder seine Geschwindigkeit. Beides gleichzeitig funktioniert nicht – zumindest nicht mit einem einfachen Radar. Nur leider hält das Blitzer nicht von ihrem Job ab.

Die Unschärferelation ist ein allgemeines Wellenphänomen

Dass man sich zwischen beiden entscheiden muss, liegt an einer fundamentalen Eigenschaft von Wellenphänomenen. Dabei tauchen zwangsläufig Unschärferelationen zwischen Ort und Frequenz auf – und das lässt sich sogar mathematisch beweisen. Denn jede Welle lässt sich entweder als Signal in der Position beziehungsweise Zeit darstellen – oder man wechselt den Blickwinkel und stellt das Signal als Ansammlung von Wellen mit bestimmten Frequenzen dar.

Stellen Sie sich zum Beispiel die Aufnahme eines Tons vor, bei der man ein Wellensignal aufnimmt. Wenn Sie nicht gerade eine ideale Stimmgabel genutzt haben, wird der Ton keine reine, sinusförmige Welle sein. Doch egal wie kompliziert seine Wellenform aussieht, die Sinuswellen sind nur versteckt: Jede Welle ist eine komplizierte Überlagerung mehrerer reiner Obertöne. Sie könnten also das Signal ebenso gut in eine Summe vieler Sinuswellen mit verschiedenen Frequenzen umwandeln. Um zwischen diesen zwei Darstellungen hin- und herzuwechseln, nutzt man die so genannte Fourier-Transformation. Anhand der Eigenschaften dieser mathematischen Umwandlung kann man zeigen, dass man niemals präzise Ergebnisse für beide Werte gleichzeitig erhalten kann – unabhängig davon, wie gut eine Messung verläuft.

Jean Baptiste Joseph Fourier fand im 19. Jahrhundert heraus, dass sich jedes Signal – und damit jede Funktion – durch eine Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrücken lässt. Auf diese Weise kann man für jede Art von Signal (ob lang, ob kurz, ob periodisch oder nicht) herausfinden, welche Frequenzanteile darin enthalten sind. Um diese zu berechnen, nutzt man eine praktische Eigenschaft von Sinus und Kosinus: Falls man sie mit einer Funktion f multipliziert und die Fläche dieses Produkts berechnet, das es mit der x-Achse einschließt, kommt nur dann ein Wert ungleich null heraus, wenn die Sinus- oder Kosinusfunktion mit f zusammenhängen.

Das liegt daran, dass Sinus und Kosinus periodisch sind und gleich viel Fläche oberhalb wie unterhalb der x-Achse einschließen. Daher enthält ihr Produkt mit einem Eingangssignal f nur dann eine nicht verschwindende Fläche, wenn sie auf irgendeine Weise zusammenhängen. Wenn die Sinus- oder Kosinusfunktion und das Signal hingegen nicht korreliert sind, dann hat ihr Produkt (über den ganzen Raum betrachtet) genauso viele positive wie negative Anteile, so dass die mit der x-Achse eingeschlossene Fläche verschwindet. Andernfalls gibt die Größe der Fläche an, wie stark die Sinuswelle mit dieser Frequenz zum Signal beiträgt.

Um die Frequenzanteile eines Signals f(t) zu berechnen, muss man es also zunächst mit trigonometrischen Funktionen der Form sin(2πkt) und cos(2πkt) multiplizieren, wobei k für die Frequenz steht. Der Flächeninhalt, den das Produkt mit der x-Achse einschließt, lässt sich durch das Integral über die Zeit t bestimmen: ∫f(t)· sin(2πkt)dt und ∫f(t)· cos(2πkt)dt. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion, die so genannte Fourier-Transformierte von f, die nicht mehr von der Zeit t, sondern von der Frequenz k abhängt.

Kurze Signale führen zu Ungewissheit bezüglich der Frequenz

Angenommen, Sie zeichnen ein kurzes Signal auf, das sich aus zwei Frequenzen k = 5 Hertz und k = 40 Hertz zusammensetzt. Die Funktion hat dann zum Beispiel folgende Form: \(f(t) = e^{-\pi t^2}\left(10 \cos(2\pi\cdot 5t) + 5\cos(2\pi\cdot 40t)\right)\). Der Faktor \(e^{-\pi t^2}\) führt dazu, dass das Signal nur kurzzeitig entsteht und dann wieder abklingt. Nun kann man die Fourier-Transformation nutzen, um eine neue Funktion zu erhalten, die nur von der Frequenz des aufgenommenen Signals abhängt und nicht mehr von der Zeit. Dafür multipliziert man f(t) mit sin(2πkt) und cos(2πkt) und integriert die Produkte jeweils von t = −∞ bis t = ∞, um die mit der x-Achse eingeschlossene Fläche zu berechnen.

Wenn man das Integral über f(t)·sin(2πkt) bildet, kommt null heraus. Das heißt, das aufgenommene Signal hängt nicht mit einer Sinusfunktion zusammen. Das Integral über f(t)·cos(2πkt) liefert hingegen einen endlichen Wert: \(5 \left(2e^{-\pi(k-5)^2}+e^{-\pi(k-40)^2}\right)\). Das ist die Fourier-Transformation des Signals f(t). Der dazugehörige Graph besteht aus zwei spitzen Peaks, die bei k = 5 Hertz und k = 40 Hertz liegen – jenen Frequenzen, aus denen sich das Signal zusammensetzt.

Auf diese Weise kann man die Fourier-Transformation für jede beliebige Funktion f(t) berechnen. Und man kann beweisen, dass dabei zwangsläufig eine Unschärferelation auftritt: Je kürzer das Zeitsignal, desto breiter fallen die Peaks im Frequenzbereich aus, sie schmieren gewissermaßen aus. Das heißt, dass sich die Frequenzanteile des Signals nicht eindeutig bestimmen lassen. Umgekehrt dehnt sich das Signal in der Zeit aus, je präziser man die Frequenzen festlegt.

Man kann diese Unschärfe für allgemeine Funktionen f(t) beweisen, dafür sind allerdings Kenntnisse aus der harmonischen Analysis nötig. Doch wir können die Unschärfe an dem obigen Beispiel durchrechnen, indem wir den Faktor \(e^{-\pi t^2}\) durch \(e^{-\pi \cdot A \cdot t^2}\) ersetzen, wobei A eine große Zahl ist. Je größer A, desto kürzer ist das Signal f(t). Führt man wie zuvor die Fourier-Transformation durch, erhält man folgendes Ergebnis: \(\frac{5}{\sqrt{A}} \left(2e^{-\frac{\pi}{A}(k-5)^2}+e^{-\frac{\pi}{A}(k-40)^2}\right)\). Der Faktor A taucht nun als Kehrwert in der Funktion auf – und führt somit dazu, dass die dazugehörige Kurve im Frequenzraum breiter wird.

Damit wird klar, warum man sich bei gewöhnlichen Radarmessungen entscheiden muss: Entweder man schickt einen sehr kurzen Puls los für eine möglichst präzise Ortung, was jedoch ein verwaschenes Frequenzspektrum verursacht. In diesem Fall kann man die Geschwindigkeit eines bewegten Objekts schlecht abschätzen. Andersherum könnte man aber auch ein längeres Signal verwenden, wodurch die Positionsmessung weniger genau ausfällt; dafür sind die Frequenzanteile aber ausgeprägter, was zu einer besseren Geschwindigkeitsbestimmung führt.

Diese Wahl zwischen einer exakten Messung der Position oder Geschwindigkeit erinnert schon stark an die heisenbergsche Unschärferelation aus der Quantenmechanik. Dort ist das Problem ein ähnliches, weil sich quantenmechanische Objekte wie Elektronen oder Atome nicht mehr als reine Punktteilchen beschreiben lassen. Wie Physikerinnen und Physiker zu Beginn des 20. Jahrhunderts herausfanden, besitzen Teilchen auch Welleneigenschaften. Und das führt direkt zur Unschärferelation: Es ist unmöglich, sowohl den Ort als auch die Geschwindigkeit eines quantenmechanischen Teilchens gleichzeitig beliebig genau zu ermitteln. Damit ist die Unschärferelation also keine Eigenheit der Quantenphysik, sondern ein fester Bestandteil unserer Welt, der sich auch in praktischen Problemen wie der Ortung per Radar äußert.

​​Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!