Sie ist die wohl berühmteste Zahl des gesamten Fachs: Der Kreiszahl Pi wurden Lieder gewidmet, es gibt einen Kino-Thriller zu dem Thema, und zudem finden weltweit Wettbewerbe statt, bei denen sich die Teilnehmerinnen und Teilnehmer darin messen, wie viele der unendlich vielen Dezimalstellen sie sich merken können. Das alles ist kein neues Phänomen. Schon in der Antike versuchten Gelehrte, den Wert von π zu bestimmen – selbst in der Bibel taucht ein Abschnitt dazu auf.

In der Geometrie ist Pi allgegenwärtig. Kein Wunder, denn nur mit Hilfe dieser Zahl lässt sich der Umfang oder der Flächeninhalt eines Kreises bestimmen. Tatsächlich ist sie aber auch in vielen anderen Bereichen anzutreffen, die auf den ersten Blick nichts mit der Mathematik von Kreisen zu tun haben. Hätten Sie etwa gedacht, dass Ihnen π beim Billard begegnen kann – und zwar selbst dann, wenn man das Spiel mit Klötzen statt Kugeln spielen würde?

Mir begegnete Pi erstmals in der Schule, als wir den Umfang von Kreisen besprachen. Um diesen näherungsweise zu bestimmen, zeichnete meine Lehrerin zwei regelmäßige Vielecke ein: eines innerhalb des Kreises, wobei dessen Ecken daran angrenzten; sowie ein Polygon außerhalb des Kreises, wobei die Kanten den Bogen berührten. Indem man jeweils den Umfang (u und U) der Polygone durch ihren Durchmesser (d und D) teilt, erhält man eine Abschätzung für Pi: u/d ≤ π ≤ U/D. Je mehr Ecken die Polygone haben, desto genauer wird das Ergebnis.

Heute berechnet man Pi mit Hilfe leistungsfähiger Computer und ausgeklügelter Algorithmen. Der aktuelle Rekord liegt bei 50 Billionen Stellen. Doch anstatt die effizientesten Berechnungsmethoden vorzustellen, möchte ich mich den erstaunlichsten widmen. Welcher Ort wäre dafür besser geeignet als eine Bar? Ich wette, Sie haben beim Billard bisher nur selten an Pi gedacht – vielleicht höchstens, weil Kugeln Teil des Spiels sind. Doch tatsächlich äußert sich die Kreiszahl nicht in der Spielfigur, sondern in der Anzahl der Stöße.

Der kaputte Billardtisch

Dafür kann man einen etwas einfacheren Aufbau betrachten als ein vollständiges Billardspiel. Stellen Sie sich vor, der Tisch besäße nur eine Bande und zwei Kugeln, die eine senkrechte Linie zur Bande bilden, und es gäbe keine Reibung. Wenn man die erste Kugel gerade auf die zweite zu stößt, dann bleibt die erste stehen, während sich die zweite Kugel mit der Geschwindigkeit der ersten vor dem Zusammenstoß auf die Bande zubewegt. Dort prallt sie ab und rollt in entgegengesetzter Richtung wieder auf die erste Kugel zu, wodurch es zu einem dritten Stoß kommt. Die zweite Kugel bleibt in ihrer Ausgangsposition stehen, während die erste vom Tisch herunterfällt (da die hintere Bande fehlt).

Das ist erst einmal nicht überraschend. Interessanter wird es, wenn man das Experiment wiederholt – nur dass die erste Kugel dieses Mal das 100-Fache der zweiten Kugel wiegt. Die schwere Kugel prallt auf die leichte, diese saust sehr schnell Richtung Bande, während die erste (etwas langsamer) weiterrollt. Kurz darauf trifft die leichte Kugel auf die Bande, um dann gegen die schwere Kugel zu knallen, woraufhin sie erneut zur Bande rollt. Insgesamt finden in diesem Fall 31 Stöße statt, bevor beide Kugeln, die schwere und die leichte, vom Tisch fallen.

Noch erkennt man das Muster nicht ganz, aber Sie werden gleich ahnen, worauf das Ganze hinausläuft. Wiederholt man das Experiment mit zwei Kugeln, wobei die erste 10 000-mal schwerer ist als die zweite, gibt es insgesamt 314 Stöße, bevor die Kugeln herunterfallen. Haben die zwei Kugeln ein Gewichtsverhältnis von eins zu einer Billion, stoßen sie 3 141 592-mal gegeneinander. Das entspricht genau den ersten sechs Stellen von Pi!

Was unglaublich erscheint, lässt sich erklären, wenn man die zu Grunde liegende Physik untersucht. 2003 bewies der Mathematiker Gregory Galperin, dass in einem solchen Aufbau mit zwei Massen m und 100ⁿ · m stets 10ⁿπ Stöße stattfinden. Das heißt, man kann auf diese Weise Pi bis zur n-ten Nachkommastelle bestimmen.

Den Geschwindigkeiten der Kugeln auf der Spur

Die Theorie elastischer Stöße fällt in den Bereich der klassischen Mechanik. Um es möglichst einfach zu halten, nimmt man dabei wie in der Physik üblich ideale Bedingungen an: Die Bande nimmt keinerlei Energie von der Kugel auf, die gegen sie prallt, und es gibt keine Reibung. Um die Bewegungen der Kugeln zu beschreiben, nutzt man häufig einen so genannten Phasenraum: Man visualisiert die Orte und die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln als Punkte in einem hochdimensionalen (da es drei Orts- und drei Geschwindigkeitskoordinaten gibt) abstrakten Raum.

Glücklicherweise ist das betrachtete System allerdings so einfach, dass man den Phasenraum weitaus unkomplizierter gestalten kann. Denn die Kugeln bewegen sich in dem Modell nur in eine Raumrichtung vor und zurück. Um das Auftauchen von Pi zu erklären, genügt es außerdem, bloß die Geschwindigkeiten der Bälle zu betrachten. Wir sind nämlich an den Richtungswechseln, die einem Stoß entsprechen, interessiert. Deshalb lässt sich der Phasenraum durch ein gewöhnliches kartesisches Koordinatensystem darstellen, wobei die x-Achse der Geschwindigkeit der ersten Kugel und die y-Achse der Geschwindigkeit der zweiten entspricht.

Ein beliebiger Punkt in dem Koordinatensystem gibt also die Geschwindigkeit und Richtung (je nach Vorzeichen) der beiden Kugeln an. Doch nicht alle Werte sind möglich. Zum Beispiel ist die zweite Kugel immer langsamer oder maximal gleich schnell wie die erste ganz am Anfang. Um herauszufinden, welche Geschwindigkeitskombinationen erlaubt sind, braucht man die Energie- und die Impulserhaltung: Die Energie und der Impuls vor und nach einem Stoß bleiben im gesamten System immer gleich.

Starten wir mit der Energieerhaltung: Die Bewegungsenergie der ersten plus die der zweiten Kugel ist konstant. Indem man die Achsen des Koordinatensystems passend wählt, nimmt diese Formel die Gestalt einer Gleichung für einen Kreis an (v₁² + v₂² = konstant). Das heißt: Zu jedem Zeitpunkt nehmen die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln einen Wert auf dem Kreis im Phasenraum an.

Aber welchem Punkt entspricht das System zu einem bestimmten Zeitpunkt? Dafür kann man zunächst das System mit zwei gleichen Massen betrachten. Zu Beginn, wenn die zweite Kugel in Ruhe ist, bewegt sich nur die erste, das heißt, der y-Wert ist null. Daher befindet man sich bei einem Schnittpunkt des Kreises mit der x-Achse – das ist ganz links oder ganz rechts der Fall. Für welchen der zwei Punkte man sich entscheidet, hängt nur davon ab, wie man die Rollrichtung definiert. In unserem Fall starten wir ganz links. Die zweite Kugel bewegt sich die ganze Zeit mit konstanter Geschwindigkeit, daher bewegt sich der Punkt im Phasenraum nicht.

Doch dann kommt es erstmals zum Zusammenstoß mit der zweiten Kugel: Gemäß der Impulserhaltung bleibt die erste Kugel stehen (x = 0), während die zweite mit der Geschwindigkeit der ersten losrollt. Wir befinden uns also an einem Punkt, an dem der Kreis die y-Achse schneidet, beispielsweise am Südpol. Diesen Sprung vom äußersten linken Punkt zum Südpol bedingt die Impulserhaltung (Summe der Impulse beider Kugeln ist konstant), die als Formel ausgeschrieben im Phasenraum die Form einer Geraden annimmt. Möchte man wissen, wie man von einem Punkt im Phasendiagramm nach einem Zusammenstoß zum nächsten kommt, kann man die bewegliche Impulsgerade mit fixierter Steigung wie ein Lineal an einem Punkt auf dem Kreis anlegen und den zweiten Schnittpunkt mit dem Kreis bestimmen. In unserem Beispiel landet man dadurch, wie bereits erwähnt, beim Südpol.

Jetzt rollt die zweite Kugel mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf die Bande zu, während die erste Kugel ruht. Sobald die zweite Kugel gegen die Bande knallt, rollt sie genauso schnell wie zuvor in die entgegengesetzte Richtung. Daher muss man den Punkt im Phasendiagramm an der x-Achse spiegeln: Die erste Kugel ruht noch immer, aber die zweite hat ihre Bewegungsrichtung gewechselt. Folglich landet man am Nordpol des Kreises.

Nach einiger Zeit trifft die zweite Kugel wieder auf die erste, und es greift wieder die Impulserhaltung, das heißt, man kann die Impulsgerade an den Nordpol ansetzen und den Schnittpunkt mit dem Kreis ermitteln. Dieser befindet sich am äußersten rechten Rand des Kreises. Und das macht auch Sinn: Nach dem Stoß befindet sich die zweite Kugel in Ruhe (y = 0), und die erste rollt mit der gleichen Geschwindigkeit wie zu Beginn (nur in entgegengesetzter Richtung) weg – bis sie irgendwann vom Tisch rollt.

Unterschiedliche Massen lassen es krachen

Das Ganze lässt sich für andere Massenverhältnisse wiederholen. Auch dann bildet die Energieerhaltung einen Kreis. Die Impulserhaltung führt ebenfalls zu einer Geraden, allerdings mit einer anderen Steigung als zuvor. Das Vorgehen ist das gleiche wie zuvor: Man startet mit einer bewegten und einer ruhenden Kugel, also am äußersten linken Rand des Kreises, bei y = 0. Mit Hilfe der Impulsgeraden lässt sich der Punkt auf dem Kreis finden, welcher der Situation unmittelbar nach dem ersten Stoß entspricht. Dann knallt die zweite Kugel gegen die Bande (zweiter Stoß), es gibt einen Richtungswechsel für diese Kugel, daher spiegelt man den Punkt an der x-Achse. Daraufhin trifft sie auf die erste Kugel (dritter Stoß), weshalb man wieder die Impulsgerade heranzieht, um den passenden Punkt auf dem Kreis zu finden. Anschließend landet die zweite Kugel erneut an der Bande und so weiter – bis die zweite Kugel irgendwann nicht mehr genügend Bewegungsenergie hat, um die erste Kugel einzuholen. Im Phasendiagramm markiert das einen Punkt nahe der x-Achse im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

Die Anzahl der Stöße entspricht den Punkten (abzüglich des ersten) im Phasendiagramm. Für zwei gleich große Massen gibt es neben dem Startpunkt drei weitere, bei einem Massenverhältnis von 1 zu 100 hat das Phasendiagramm 31 Punkte, und bei einem Verhältnis von 1 zu 10 000 gibt es 314 Punkte. Indem man die erste Masse verhundertfacht, erhält man eine weitere Nachkommastelle von Pi. Doch wie hängt die Anzahl der Stöße mit der Kreiszahl zusammen?

Einige von Ihnen haben es wahrscheinlich schon vermutet: Die irrationale Zahl steckt in der runden Geometrie des Phasenraums. Tatsächlich sind die Bogenlängen, die benachbarte Punkte auf dem Kreis einschließen, immer gleich groß. Wenn also N die Anzahl der Stöße bezeichnet, L die Bogenlänge und r den Radius des Kreises, dann ergibt sich die Ungleichung: N · L · r ≤ 2π r. Weil der Radius auf beiden Seiten auftaucht, kann man ihn wegstreichen. Im Folgenden nehmen wir einfach an, er habe die Länge eins.

Die Gleichung ergibt sich, weil die Bogenlängen, die durch die Punkte begrenzt sind, höchstens den ganzen Kreis abdecken: Endet das System in einem Zustand, bei dem die zweite Kugel sich noch bewegt, aber nicht schnell genug ist, um die erste einzuholen, dann liegt der letzte Punkt oberhalb der x-Achse. Steht die zweite Kugel hingegen still, landet der letzte Punkt genau auf der x-Achse.

Um zu verstehen, warum die Anzahl der Stöße N die Nachkommastellen von Pi preisgibt, muss man die Bogenlänge L in der obigen Gleichung bestimmen. Aus elementarer Kreisgeometrie (um genau zu sein: aus dem Sehnentangentenwinkelsatz) folgt, dass der Steigungswinkel der Impulsgeraden θ halb so groß ist wie der Kreisbogen L, der somit 2 θ bemisst. Das heißt, die Länge des Kreisbogens ist durch die Steigung der Impulsgeraden bestimmt.

Sieht man sich die Formel für die Impulserhaltung an und berechnet daraus die Steigung der Geraden im Phasenraum, erhält man: L = 2θ = 2 · arctan[√(m/M)]. Der Arcustangens lässt sich nur schwer im Kopf berechnen, doch für kleine Werte kann man ihn durch sein Argument nähern (arctan[x] ≈ x). Somit erhält man schließlich die Formel: N · √(m/M) ≤ π (die Zahl Zwei konnte man auf beiden Seiten der Gleichung kürzen). Damit N also die Nachkommastellen von Pi liefert, muss der Wert von √(m/M) Werte wie 1/10, 1/100, 1/1000 und so weiter annehmen. Und das ist immer dann der Fall, wenn das Massenverhältnis 1 : 100ⁿ beträgt.

Auf diese Weise kann man die Kreiszahl – zumindest theoretisch – beliebig genau bestimmen. In der realen Welt wird das jedoch irgendwann schiefgehen. Zum einen wird es schwierig, eine so massige Kugel auf eine federleichte rollen zu lassen; zum anderen werden Effekte wie Reibung und Wärme dazu führen, dass die Stöße nicht 100-prozentig elastisch sind. Daher wird es zwangsweise zu Abweichungen kommen. Ganz zu schweigen davon, dass es ziemlich anstrengend wird, die unglaublich vielen extrem schnell aufeinander folgenden Stöße zu zählen, ohne dass sich ein Fehler einschleicht.

Aber die Kollisionen beim Billard sind nicht die einzigen ungewöhnlichen Phänomene, mit denen man die Kreiszahl konstruieren kann. Tatsächlich ist Pi an wesentlich mehr unerwarteten Orten anzutreffen. In einer späteren Kolumne werden wir beispielsweise sehen, wo sich π in der Mandelbrotmenge versteckt.

Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!