Die fabelhafte Welt der Mathematik: Warum löst die ABC-Vermutung immer wieder Streit aus?
»Ohne jegliches substanzielles mathematisches Verständnis«, »erinnert mich an die Halluzinationen von ChatGPT« und »offensichtlich mathematisch bedeutungslos«: In seiner niederschmetternden Kritik geht der Zahlentheoretiker Shinichi Mochizuki von der Universität Kyoto nicht zimperlich mit einer im März 2024 erschienenen Arbeit ins Gericht. Dabei wollte Kirti Joshi, Mathematiker an der University of Arizona und Autor der betreffenden Arbeit, ein Argument von Mochizuki in Bezug auf die so genannte ABC-Vermutung unterstützen. Doch der Versuch ging wohl nach hinten los: Weder Mochizuki selbst noch andere Kolleginnen und Kollegen konnte Joshi überzeugen. Und es ist nicht der einzige Zwischenfall dieser Art, der sich rund um die ABC-Vermutung ereignet. Das zahlentheoretische Rätsel sorgte in der Vergangenheit immer wieder für Schlagzeilen – und Konflikte.
Die ABC-Vermutung ist eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie. Sie handelt von der denkbar einfachsten Gleichung, die man sich überlegen kann: a + b = c und gibt an, wie sich Primzahlen in der Formel verteilen. Denn jede Zahl lässt sich in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen, den so genannten Primteilern, zum Beispiel 15 = 5·3. Die ABC-Vermutung sagt daher etwas darüber aus, wie die Primteiler der Summanden mit denen der Summe zusammenhängen. Ob die Vermutung allerdings richtig ist, ist noch unklar.
Doch noch nicht einmal darüber sind sich die Fachleute einig: 2012 präsentierte Mochizuki einen vermeintlichen Beweis – verpackt in einem 1000 Seiten umfassenden Werk, das eine völlig neue mathematische Theorie präsentiert, die so genannte »Inter-universal Teichmüller theory« (kurz: IUT-Theorie), die der Mathematiker über 20 Jahre lang im Alleingang entwickelt hatte. Dabei verwendete er einen äußerst ungewöhnlichen Stil und weigerte sich, ins Ausland zu reisen, um mit seinen Kolleginnen und Kollegen über seine Resultate zu sprechen. Es dauerte sechs Jahre, bis Experten anfingen, die Details seiner Arbeit zu durchschauen. Und zwei dieser Mathematiker, Jakob Stix und der Fields-Medaillengewinner Peter Scholze, fanden einen Fehler.
Hier nimmt das Drama seinen Lauf: Mochizuki lehnt bis heute die Argumentation seiner Kollegen ab; seiner Meinung nach verstehen Stix und Scholze seine Arbeit nicht. Trotz der vielen Kritik aus Fachkreisen wurde Mochizukis Beweis 2021 in überarbeiteter Form in einem Fachjournal veröffentlicht. Aus Sicht der meisten Zahlentheoretiker ist die ABC-Vermutung jedoch immer noch offen.
Um diese Kontroversen zu beseitigen, hat der Gründer des japanischen Medien- und Telekommunikationsunternehmens DWANGO im Sommer 2023 einen Preis in Höhe von einer Million US-Dollar ausgerufen, falls es jemandem gelingt, einen ernsthaften Fehler in Mochizukis IUT-Theorie zu finden. Macht man hingegen bedeutende Fortschritte in dem Bereich, locken Preise zwischen 20 000 und 100 000 US-Dollar. Und weniger als ein Jahr später sorgen die neuesten Veröffentlichungen von Joshi wieder einmal für Wirbel.
Ein junges Feld voller spannender Geschichten
Obwohl die ABC-Vermutung noch recht jung ist, ist ihre Geschichte erstaunlich turbulent. Sie entsprang 1985 aus einer Diskussion der beiden Mathematiker Joseph Oesterlé and David Masser, die über Möglichkeiten nachdachten, ein anderes zahlentheoretisches Problem zu lösen, die so genannte Vermutung von Szpiro. Schnell erkannten Oesterlé und Masser, dass die ABC-Vermutung der Schlüssel für eines des damals größten ungelösten Problems der Mathematik sein könnte: Ein Beweis der ABC-Vermutung würde gleichzeitig den großen Satz von Fermat belegen. (1995 konnte Andrew Wiles schließlich den großen Satz von Fermat auf völlig andere Weise beweisen – daraus folgt allerdings nicht die Gültigkeit der ABC-Vermutung).
Der große Satz von Fermat
Auf den ersten Blick sieht das Problem recht einfach aus: Es dreht sich um die Frage, ob die Gleichung xn + yn = zn ganzzahlige, positive Lösungen x, y und z besitzt.
Für n = 1 ist sie immer erfüllt: Egal, wie man die Werte für x und y wählt, z wird stets ein positives, ganzzahliges Ergebnis sein, zum Beispiel: 3 + 6 = 9. Bei n = 2 wird es schon etwas kniffliger, denn die Gleichung ist dann quadratisch: x2 + y2 = z2. Wenn x und y ganzzahlige Werte haben, muss das nicht notwendigerweise für z gelten, etwa ergibt für x = 1 und y = 2 die Formel 12 + 22 = 5 – und 5 ist keine Quadratzahl. Das heißt, es gibt zwar eine Lösung für z (die Wurzel aus 5), die ist aber nicht ganzzahlig. Dennoch findet man Ausnahmen, für welche die quadratische Gleichung doch ein passendes Ergebnis hat, zum Beispiel: 42 + 32 = 25 = 52.
Das lässt sich geometrisch interpretieren, ganz im Sinn von Pythagoras, dessen berühmte Formel Schülerinnen und Schülern in der Mittelstufe begegnet: Wenn x2 + y2 = z2 ganzzahlige Lösungen x, y und z besitzen, dann gibt es rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen x, y und z ebenfalls ganzzahlige Werte haben. Und wie sich herausstellt, gibt es davon unendlich viele.
Sobald man die Gleichung aber für n = 3 betrachtet, kann man für x3 + y3 = z3 erstaunlicherweise keine einzige ganzzahlige Lösung mehr finden. Das bedeutet, ein Würfel mit ganzzahligen Seitenlängen z lässt sich nicht in zwei weitere Würfel aufteilen, die ebenfalls ganzzahlige Seitenlängen (x und y) besitzen. Gleiches gilt für alle weiteren Werte von n.
Der französische Gelehrte Pierre de Fermat (1607–1665) erkannte das schon früh – und behauptete in einer Randnotiz, das belegen zu können. In einem Buch des antiken Wissenschaftlers Diophantos von Alexandria notierte er auf Latein: »Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.« Es war nicht das erste Mal, dass Fermat das tat. Tatsächlich hinterließ er zahlreiche ähnliche Hinweise an anderen Stellen. Alle übrigen konnte die Fachwelt nachträglich beweisen.
Davon überzeugt, dass auch dieser Beweis einfach zu realisieren sei, versuchten sich etliche Mathematikerinnen und Mathematiker, darunter namhafte Größen wie Leonhard Euler oder Ernst Eduard Kummer, daran – und scheiterten. Denn wie in dem abstrakten Fach üblich, lässt sich ein Problem nicht notwendigerweise leicht lösen, nur weil es einfach zu formulieren ist.
Tatsächlich dauerte es mehr als 350 Jahre, bis das Rätsel geknackt wurde. Der Geniestreich gelang Andrew Wiles 1994. Seine eindrucksvolle Arbeit schlug hohe Wellen: Wiles entwickelte neuartige Methoden, die zu weiteren bahnbrechenden Entdeckungen in dem Bereich führten. Dafür wurde er unter anderem 2016 mit dem Abelpreis geehrt.
Für den Beweis muss man die Algebra, die man aus der Schule kennt, verlassen und in verzweigtere mathematische Gebiete eindringen. Gerhard Frey stellte 1984 die Vermutung auf, dass man aus den Lösungen x, y und z der Gleichung xn + yn = zn für n > 2 eine seltsame Art von Kurve konstruieren könnte: eine elliptische Kurve, für die es allerdings keine Darstellung als Modulform gebe – so nennt man eine höchst symmetrische Funktion, die im Reich der komplexen Zahlen (mit Wurzeln aus negativen Werten) existiert.
Eine andere Vermutung besagt jedoch, dass sich jede elliptische Kurve als Modulform darstellen lässt. Wenn man also beide Hypothesen beweisen würde, hätte man gleichzeitig gezeigt, dass xn + yn = zn für n > 2 keine ganzzahligen Lösungen besitzt – und damit Fermats großen Satz bestätigt.
1986 konnte der Mathematiker Ken Ribet den Verdacht von Frey verifizieren. Also blieb nur noch der zweite Teil offen: Man musste zeigen, dass jede elliptische Kurve eine dazugehörige Modulform hat. Wiles gelang es Mitte der 1990er Jahre, auch diese Lücke zu schließen.
Eine Frage bleibt dabei aber offen: Fermat konnte vor mehr als drei Jahrhunderten nichts von den mathematischen Zusammenhängen gewusst haben, die Wiles und Ribet in ihrer Veröffentlichung genutzt haben. Elliptische Kurven und Modulformen waren damals unbekannt. Hatte sich der Gelehrte mit der Randnotiz einen Scherz erlaubt? Oder hatte er nur geglaubt, einen Beweis gefunden zu haben, und sich verrechnet? Es gibt eine dritte Möglichkeit: Eventuell existiert eine wesentlich einfachere Beweismethode, die bisher noch niemand anderem eingefallen ist.
Daher beschäftigt die ABC-Vermutung weiterhin die Fachwelt. Sie dreht sich um Zahlentripel a, b und c, die folgende Gleichung erfüllen: a + b = c. Wie in der Zahlentheorie üblich, handelt die Vermutung von Primzahlen: Sie sagt etwas über die Verteilung der Primteiler in dieser Gleichung aus. Primteiler stellen sozusagen das Periodensystem der Zahlen dar. Zum Beispiel ist 15 = 3·5 oder 24 = 23·3 oder 324 = 22·34. Letzteres ist ein Beispiel für eine »reiche« Zahl, denn sie hat viele gleiche Primteiler (die 2 kommt zweimal und die 3 viermal vor). Solche Zahlen sind selten. Und noch seltener ist die Summe aus zwei reichen Zahlen erneut reich. Die ABC-Vermutung gibt an, wie reich die Summe aus zwei teilerfremden Zahlen a und b höchstens sein kann.
Um das zu verstehen, hilft ein Beispiel. Angenommen, a = 1024 = 210 und b = 81 = 34 sind reiche, teilerfremde Zahlen. Ihre Summer ergibt: c = 210 + 34 = 1105. Nun kann man c ebenfalls in seine Primteiler zerlegen: c = 1105 = 5·13·17. Um den Reichtum von a, b und c zu beurteilen, kann man das so genannte Radikal der Zahlen heranziehen. Das Radikal einer Zahl entspricht dem Produkt der unterschiedlichen Primfaktoren (ohne deren Häufigkeit, also deren Exponent zu berücksichtigen). Das Radikal von 1024 ist zum Beispiel rad(1024) = rad(210) = 2 und das von 81 ist rad(81) = rad(34) = 3. Reiche Zahlen haben also kleine Radikale.
Die ABC-Vermutung besagt konkret, dass für die meisten Zahlentripel a, b und c Folgendes gilt: Das Radikal von abc ist größer als c. Das oben genannte Beispiel erfüllt beispielsweise diese Ungleichung: rad(abc) = rad(1024·81·1105) = 2·3·5·13·17 = 13 260. Und tatsächlich – das Ergebnis ist größer als c = 1105.
Keine Regel ohne Ausnahme
Allerdings erfüllen nicht alle Zahlentripel diese Ungleichung. Wenn man zum Beispiel a = 3 und b = 125 = 53 wählt, dann ist c = 128 = 27. Damit ist c eine reiche Zahl. Die ABC-Ungleichung gilt für dieses Beispiel nicht mehr: rad(abc) = rad(3·125·128) = 3·5·2 = 30. Das Ergebnis ist eindeutig kleiner als c = 128. Wie sich herausstellt, gibt es unendlich viele Ausnahmen zur ABC-Ungleichung rad(abc) < c. Unter anderem widersprechen alle Tripel mit a = 1 und b = 9n-1 der Ungleichung: Das Radikal rad(1·(9n-1)·9n) ist beispielsweise für jedes n kleiner als 9n.
Wie Oesterlé und Masser jedoch erkannten, kann man die Ausnahmen erheblich reduzieren, indem man die ABC-Ungleichung leicht abändert. Statt bloß das Radikal von abc zu betrachten, potenziert man das Radikal um eine Zahl κ, die größer ist als eins. Der Exponent braucht nur einen winzigen Hauch größer zu sein – es genügt, um nur noch endlich viele ABC-Ausnahmen zuzulassen. Die vollständige ABC-Vermutung lautet daher: Für jedes κ > 1 gibt es nur endlich viele teilerfremde Tripel a, b, c mit a + b = c, für die rad(abc)κ < c gilt.
Ein Beweis für diese Aussage steht noch aus. Um die Vermutung zu widerlegen, müsste man zum Beispiel eine unendliche Menge von Tripeln identifizieren, die die obige Ungleichung erfüllen. Über eine computergestützte Suche wird das nicht gelingen. Die Fachleute setzen dennoch auf verteilte Rechensysteme, um nach den ABC-Ausnahmen zu suchen – für alle Werte von c kleiner als 1018 fanden sie insgesamt knapp 14,5 Millionen solcher Beispiele. Das zeigt einerseits, dass die Ausnahme-Tripel wirklich eine Ausnahme bilden (14,5 Millionen ist verglichen mit 1018 eine sehr kleine Zahl). Andererseits verdeutlicht es, dass die Ausnahmen nicht besonders selten sind. Die Fachleute hofften, durch die berechneten Ausnahme-Tripel auf Muster zu stoßen, die sie einem Beweis näherbringen könnten. Doch dieser Wunsch blieb bisher unerfüllt.
Dennoch arbeiten Fachleute weiterhin an der ABC-Vermutung – denn ein Beweis hätte weit reichende Folgen. Es gibt eine Vielzahl offener Fragen aus der Zahlentheorie, die durch einen Beweis oder einen Gegenbeweis beantwortet würden. Die ABC-Vermutung ist für sich genommen sehr interessant, denn sie verbindet additive Eigenschaften (die sich in der Form der Gleichung a + b = c widerspiegeln) von Zahlen mit ihren multiplikativen Merkmalen (den Primteilern) – zwei Dinge, die eigentlich als grundverschieden gelten.
In der Mathematik gibt es keine Kompromisse
All das macht die Vermutung für Fachleute attraktiv. Dass die ABC-Vermutung auch außerhalb der Fachwelt hohe Wellen schlägt, dürfte einerseits an der Einfachheit der Gleichung a + b = c liegen, andererseits an den darum herum stattfinden Streitereien und den exzentrischen Charakteren. Auf der einen Seite gibt es Mochizuki, der mit allen mathematischen Konventionen bricht und 20 Jahre lang im Verborgenen an einer völlig neuen – und nur schwer verständlichen – Theorie arbeitete. Auf der anderen Seite sind all die etablierten Zahlentheoretiker, darunter einer der renommiertesten Forscher des Fachs, Peter Scholze, die einen Fehler in Mochizukis Arbeit gefunden haben wollen. Und dann winkt noch das große Geld. Ein japanischer Mediengründer, der kaum etwas mit Mathematik am Hut hat, lobt völlig unerwartet ein Preisgeld über eine Million US-Dollar aus.
Auch Kirti Joshi hatte sich in seiner neuesten Arbeit an die ABC-Vermutung herangewagt. Sein Ziel war es, die Unstimmigkeiten in Mochizukis Beweis zu beheben. Der Knackpunkt ist dabei ein Abschnitt, in dem Mochizuki zwei Objekte miteinander vergleicht, von denen Scholze und Stix behaupten, sie seien gleich – und Mochizukis Schlussfolgerungen daher falsch. Joshi behauptet nun, eine Lösung für das Problem gefunden zu haben und präsentiert ein neues Argument, um die beiden Objekte miteinander zu vergleichen. Doch Joshi konnte Mochizuki damit nicht überzeugen. Und auch Scholze sagte zu »New Scientist«: »Leider wird in dieser Arbeit keine leistungsfähige mathematische Technik vorgestellt, und es wird bei Weitem nicht der Beweis für die ABC-Vermutung geliefert.«
Damit bleibt die ABC-Vermutung nach wie vor unbewiesen – auch wenn Mochizuki und seine Anhängerinnen und Anhänger anderer Meinung sind. Doch in der Mathematik genügt es nicht, einen Beweis aufzuschreiben. Man muss ihn verständlich vermitteln können und mit anderen Fachleuten diskutieren, insbesondere wenn diese Bedenken äußern. Wann und ob ein zufrieden stellender Beweis (oder Gegenbeweis) zur ABC-Vermutung geliefert ist, lässt sich nicht sagen. Doch eines ist fast sicher: Der nächste Streit darum wird kommen.
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