In seiner »Metaphysik« schrieb Aristoteles über die Lehren der Anhänger des Pythagoras von Samos. Nach ihm ist nicht nur der berühmte Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) benannt. Er hat um seine Mathematik herum eine komplette religiös-philosophische Weltanschauung konstruiert. Dort, so Aristoteles, habe man zehn grundlegende Entsprechungspaare definiert: Eines und vieles, rechts und links, Ruhe und Bewegung, Licht und Finsternis, gut und schlecht, und so weiter. Und auch das Paar »gerade und krumm« findet sich in der Liste. Es ist leicht, diesen Unterschied zu verstehen: Die Form einer Banane ist zum Beispiel fast immer gekrümmt. Ihn mathematisch exakt zu definieren, braucht aber ein bisschen mehr Aufwand.

Die Krümmung einer Kurve ist durch folgende Formel gegeben:

Wenn wir eine Kurve der Form y=f(x) haben, kann man mit dieser Gleichung durch die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung die Stärke der Kurvenkrümmung im Punkt (x,y) bestimmen. In dieser Form ist die Krümmung ein Maß dafür, wie stark der Verlauf der Kurve in der Umgebung von (x,y) von einer Geraden abweicht. Der Wert von κ kann positiv oder negativ sein, je nachdem spricht man von einer Links- oder Rechtskrümmung. Die zweite Ableitung im Zähler der Formel macht außerdem gleich deutlich, dass eine lineare Funktion eine Krümmung gleich 0 haben muss.

Das anschauliche Phänomen der Krümmung mathematisch exakt zu fassen, ist von großer Bedeutung – auch außerhalb der abstrakten Welt der Zahlen. Ich zum Beispiel erlebe das jeden Morgen aufs Neue, wenn ich meine Brille aufsetze. Nur weil die Gläser auf genau die richtige Weise gekrümmt sind, kann ich die Welt scharf sehen (obwohl sich mittlerweile schon die Altersweitsichtigkeit zu meiner normalen Kurzsichtigkeit gemischt hat und ich vermutlich bald noch komplexer gekrümmte Brillengläser benötigen werde). Wenn ich mit einem Zug fahre, dann folgen die Schienen in den Kurven einer genau berechneten Krümmung, um zu verhindern, dass der Zug durch die Fliehkraft entgleist. Es gibt noch jede Menge weitere Beispiele: Die moderne Astronomie ist darauf angewiesen, dass die Spiegel und Linsen der Teleskope die korrekte Krümmung aufweisen (und diese auch korrekt berechnet wurde). Und auch in der theoretischen Physik spielt Krümmung eine fundamentale Rolle.

Wie ist unser Universum gekrümmt?

Die allgemeine Relativitätstheorie ist neben der Quantenmechanik einer der beiden Grundpfeiler der modernen Physik. Diese geniale Beschreibung der Schwerkraft von Albert Einstein fußt auf der Erkenntnis, dass die Raumzeit durch Masse und Energie gekrümmt wird. Das Ausmaß dieser Krümmung nehmen wir als Gravitationskraft wahr. Um das zu berechnen, braucht es deutlich kompliziertere Formeln als die, die ich weiter oben gezeigt habe.

Wenn die Raumzeit durch die Anwesenheit von Masse verformt wird, kann natürlich auch unser gesamtes Universum gekrümmt sein. Einen krummen Kosmos kann man sich im Gegensatz zu einer gekrümmten Kurve allerdings nicht mehr so einfach vorstellen. Hier hat man es mit der Geometrie eines vierdimensionalen Raums zu tun, die sich nur noch durch mathematische Formeln fassen lässt. Falls wir eines Tages herausfinden sollten, welche Form das Universum hat, dann nur, weil wir verstanden haben, wie es sich krümmt.

In seinem Drama »Wallensteins Tod« lässt Friedrich Schiller seinen Protagonisten Max sagen: »Dein Weg ist krumm, er ist der meine nicht.« Wenn man die Welt verstehen will, dann lohnt es sich jedoch, den Weg der Krümmung zu gehen!